高二數學上學期期中質量檢測試卷（2024年11月）（考試時間：90分鐘試卷滿分：120分）第Ⅰ卷（選擇題，共55分）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構成空間的一個基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，2.已知，，動點P滿足，則動點P的軌跡方程為（）A. B.C. D.3.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標為（）A. B. C. D.4.已知直線：的傾斜角為，則（）A.1 B.-1 C. D.5.已知在四面體中，，，，，N為的中點，若.則（）A. B. C. D.36.已知點關于直線對稱的點Q在圓C：外，則實數m的取值范圍是（）A. B. C. D.或7.已知圓：及點，則下列說法錯誤的是（）A.圓心C的坐標為B.若點，在圓C上，則直線的斜率為C.點Q在圓C外D.若M是圓C上任一點，則的取值范圍為8.已知直線：與橢圓：相交于A、B，且的中點為，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.二、多選題（本題共3小題，每小題5分，共15分）9.對于直線：與圓：，下列說法正確的是（）A.過定點 B.C的半徑為9C.與C可能相切 D.被C截得的弦長最小值為10.已知點P是平行四邊形所在的平面外一點，如果，，.則下列結論正確的有（）A. B.與夾角的余弦值為C.是平面的一個法向量 D.11.設，分別為橢圓的左、右焦點，直線過且交橢圓于A，B兩點，則以下說法正確的是（）A.的周長為定值8 B.的最大值4C.的最小值為 D.若面積為1，則第II卷（非選擇題，共65分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.實數x、y滿足，則的最大值是________.13.已知空間向量，，兩兩夾角均為60°，其模均為1，則_______.14.雙曲線的焦點到漸近線的距離等于_______.四、解答題（本題共4小題，共50分）15（6分）.已知點M到定點的距離與到定直線l：的距離之比為，求點M的軌跡方程.16（18分）.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，.（1）求證：平面；（2）求直線平面夾角的正弦值；（3）求點B到平面的距離.17（12分）.已知圓C經過點和，且圓心在直線：上.（1）求圓C的標準方程；（2）若過點作圓C的切線，求該切線方程.18（14分）.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線右支（且不在坐標軸上），（1）若雙曲線C與橢圓有共同的焦點，且雙曲線C過點，求該雙曲線的標準方程；（2）若，，求的面積.

參考答案：題號12345678910答案BDDCBCBBADABC題號11答案AB1.B【分析】直接利用空間向量的基底概念判斷選項即可.【詳解】，A錯誤.設，，，不共面，所以不存在x，y使其成立，故三個向量不共面，B正確.，C錯誤.，D錯誤.故選：B2.D【分析】根據雙曲線的定義求解即可.【詳解】由可知，點P的軌跡是以，為焦點的雙曲線上支，設雙曲線的方程為，可知，，所以，，，所以雙曲線的方程為.故選：D.3.D【分析】根據投影向量的定義求解即可.【詳解】因為，，所以，，則向量在向量上的投影向量為：.故選：D.4.C【分析】利用直線傾斜角求出斜率，然后根據一般式方程的斜率形式列方程求解即可.【詳解】因為直線的傾斜角為，所以斜率，所以，解得.故選：C5.B【分析】根據空間向量的基本定理與應用即可求解.【詳解】因為，N為的中點，所以，又，則，，，所以.故選：B.6.C【分析】設，利用點關于線對稱列方程求得Q坐標，代入圓方程得出不等式計算即可.【詳解】設點關于直線對稱的點，則，解得，.因為在C外，所以，可得且表示圓可得，即得綜上可得.故選：C.7.B【分析】A選項，把圓的一般方程化為標準方程，求出圓心坐標；B選項，把P點坐標代入，求出m的值，進而求出直線的鈄率；C選項，求出的長度，與半徑相比，判斷點與圓的位置關系；D選項，由B選項求出點Q在圓C外，M是圓C上任一點，所以的長度滿足，求出的取值范圍.【詳解】對于A，將化為，所以圓心C坐標為，故A正確；對于B，因為點在圓C上，所以，所以，即.所以直線的斜為，故B錯誤，對于C，因為，兩點之間的距離為，所以點Q在圓C外，故C正確；對于D，因為圓心，半徑，，所以，即，故D正確.故選：B.8.B【分析】利用點差法求得a，b關系，再利用橢圓的離心率公式可得答案.【詳解】設A，B兩點坐標分別為，，因為且的中點為，所以，，因為，在橢圓C上，所以①，兩式相減，得，根據，，上式可化簡為，整理得，又，所以，即，所以.故選：B.9.AD【分析】根據含參直線方程求定點坐標判斷A項；根據圓的一般方程與標準方程的互化判斷B項；根據直線所過定點在圓內，知直線與圓必相交判斷C項；當直線與過定點和圓心的直線垂直時，被C截得的弦長最小，從而計算弦長最小值可判斷D項.【詳解】對于A，可變形為，由得所以直線過定點（2，3），故A正確；對于B，圓：，化為標準方程為，所以圓的半徑為3，故B錯誤；對于C，因為，所以點（2，3）在圓C內部，所以直線與C不可能相切，故C錯誤；對于D，設直線所過定點為P，則當直線時，直線被C截得的弦長最小.因為圓心，所以，所以直線的斜率，解得，此時直線：.因為圓心到直線的距離，所以弦長，故D正確.故選：AD.10.ABC【分析】根據題意，利用向量的數量積的坐標運算公式，以及向量的夾角公式和平面的法向量的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】由向量，，，對于A中，由，得，即，所以A正確：對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，得，又由A知，且且都在面，所以向量是平面的一個法向量，所以C正確：對于D中，由是平面的法向量，且平面，易知，所以D錯誤.故選：ABC.11.AB【分析】對于選項A，根據橢圓的幾何性質可得答案.對于選項B，問題等價于以為直徑的圓與橢圓C是否有交點，求出圓的方程與橢圓方程聯立，對于選項C，通過弦長公式得答案.對于選項D，分析面積表達式可得答案.【詳解】對于選項A：因為橢圓的方程，所以，即，由橢圓的定義可得，，兩式相加得，所以得，所以的周長為8，故A正確；對于B選項：，，當且僅當時相等，此時，故B選項正確.對于選項C：設直線方程為，與橢圓方程聯立得，消去x，，設，，又，則，.故，當時，即垂直于x時，最小為3，故C錯誤.對于選項D：∵，∴，∴，設，將A代入橢圓方程，，∴，∴.故D錯誤.故選：AB12.49【分析】根據幾何意義為圓上的點與距離的平方，找出圓上的與的最大值，再平方即可求解.【詳解】解：由題意知：設，，則為圓上的點，圓的圓心，半徑，則表示圓上的點與距離的平方，又因為，所以；故的最大值是49.故答案為：49.13.【分析】利用空間向量數量積的運算法則計算即得.【詳解】單位向量，，兩兩夾角均為60°，則，所以.故答案為：14.2.【分析】先求出焦點坐標和漸近線方程，進而求出焦點到漸近線的距離即可.【詳解】由題意，，漸近線方程為：，焦點到漸近線的距離為：.故答案為：2.15.【分析】利用兩點距離公式及點到直線的距離公式計算即可.【詳解】設點P的坐標為，由題意，得，左、右平方，得，整理，得，所以點M的軌跡方程為.16.（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）由線線平行得到線面平行即可證明；（2）由線面垂直得到線線垂直，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面的法向量，由線面角的夾角向量公式求出直線平面夾角的正弦值；（3）在（2）基礎上，由點到平面距離向量公式求出答案.【詳解】（1）因為底面為正方形，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）因為平面，平面，所以，，以為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，，，，，設平面的法向量為，則，令，則，，則，直線平面夾角的正弦值為；（3）由（2）知，平面的法向量為，點B到平面的距離為.17.（1）（2）或.【分析】（1）先設圓的標準方程，再代入點的坐標及圓心在直線上即可求參；（2）設直線方程，利用直線與圓的位置關系計算即可求解.【詳解】（1）設圓的標準方程為，因為圓經過和點，且圓心在直線：上，所以，解得：，所以圓的標準方程為.（2）當直線的斜率不存在時，：，此時圓心到直線的距離為5，等于半徑，故滿足題意；當直線的斜率存在時，設：，即，