吉林省通鋼一中、集安一中、梅河口五中等聯誼校2020-2021學年高三第二學

期第五次月考數學

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位

置.

3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，

再選涂其他答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他

位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知/(x+2)是偶函數，Ax)在(—，2］上單調遞減，"0)=0,貝！)/(2-3幻>0的解集是

22

A.(^o,—)(2,+oo)B.(―,2)

2222

c.(---§)D.y,-?(->+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】

先由/(X+2)是偶函數，得到/(x)關于直線x=2對稱；進而得出單調性，再分別討論2-3x22和

2-3x<2,即可求出結果.

【詳解】

因為/(x+2)是偶函數，所以/(x)關于直線x=2對稱；

因此，由『(0)=0得"4)=0；

又/(x)在(-，2］上單調遞減，則/(x)在［2,+8)上單調遞增；

所以，當2-3x22即x4()時，由/(2-3x)>0得〃2-3x)>/(4),所以2-3x>4,

解得X<——5

當2-3x<2即x〉0時，由f(2—3x)>0得f(2—3x)>f(0),所以2-3x<0,

解得x>g;

22

因此，“2-3幻>0的解集是(-0),_,(1,+00).

【點睛】

本題主要考查由函數的性質解對應不等式，熟記函數的奇偶性、對稱性、單調性等性質即可，屬于常考題

型.

log?>0

3

2.已知函數/(尤)=(]丫，若關于x的方程/"*)]=0有且只有一個實數根，則實數a的取

a\3)，X-0

值范圍是()

A.(-=o,0)(0,1)B.(—8,0)51,”)

C.(-oo,0)D.(0,1)5L+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

利用換元法設f=/(x),則等價為/(。=()有且只有一個實數根，分。<0,。=0,。>0三種情況進行討

論，結合函數的圖象，求出。的取值范圍.

【詳解】

解：設r=/(x),則/(。=0有且只有一個實數根.

當。<0時，當xWO時，=<0,由/(。=0即解得f=l,

結合圖象可知，此時當f=l時，得/(x)=l,則x=；是唯一解，滿足題意；

當a=()時，此時當xVO時，/(x)=a-f->|=0.此時函數有無數個零點，不符合題意;

當a>0時，當xWO時，=G[CZ,+OO),此時/(x)最小值為a,

4

結合圖象可知，要使得關于X的方程/[/（x）]=o有且只有一個實數根，此時“＞1.

綜上所述：。＜0或。＞1.

故選:A.

【點睛】

本題考查了函數方程根的個數的應用.利用換元法，數形結合是解決本題的關鍵.

3.設）是方程%一1=0的兩個不等實數根，記%="'+夕'（〃eN*）.下列兩個命題（）

①數列｛q｝的任意一項都是正整數;

②數列｛。,,｝存在某一項是5的倍數.

A.①正確，②錯誤B.①錯誤，②正確

C.①②都正確D.①②都錯誤

【答案】A

【解析】

【分析】

利用韋達定理可得。+尸=1,皿=—1,結合a,,=a"+夕’可推出a,l+l=a?+a,”,再計算出《=1,4=3,

從而推出①正確;再利用遞推公式依次計算數列中的各項,以此判斷②的正誤.

【詳解】

因為a,乃是方程/一x-1=0的兩個不等實數根，

所以a+6=1,a"=T,

因為%=a"+〃，

所以凡M=a""+夕川

)?+(?"+/?")/?-B"a-an13

=(a”—奶(a'1+)

=(a"+〃)+("+〃)=4+%,

即當〃23時，數列｛a,,｝中的任一項都等于其前兩項之和，

又4=(2+0=1,%=a1+伊=(a+￡)--2a￡=3,

所以％=%+4=4,/=%+。2=7,。5=%+%=11,

以此類推，即可知數列｛q｝的任意一項都是正整數，故①正確；

若數列｛4｝存在某一項是5的倍數，則此項個位數字應當為0或5,

由4=1,4=3,依次計算可知，

數列｛q｝中各項的個位數字以1,3,4,7,1,8,97,6,3,9,2為周期，

故數列｛%｝中不存在個位數字為0或5的項，故②錯誤；

故選:A.

【點睛】

本題主要考查數列遞推公式的推導，考查數列性質的應用，考查學生的綜合分析以及計算能力.

22

4.已知點A（2技3比可在雙曲線器—￡=10＞0）上，則該雙曲線的離心率為（）

A.叵B.叵C.曬D.2710

32

【答案】C

【解析】

【分析】

將點A坐標代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實軸長和虛軸長，進而求得離心率.

【詳解】

22

將x=2，Ly=3而代入方程［-1=1（。＞0）得。=3而，而雙曲線的半實軸。=而，所以

10b

c=Ja2+b2=10＞得離心率e=￡=加,故選C?

a

【點睛】

此題考查雙曲線的標準方程和離心率的概念，屬于基礎題.

5.如圖，在A48C中，點M,N分別為C4,C8的中點，若=CB=\,且滿足

3AGMB=CA"+CB2'則AG-AC等于(

2

C.

3

【答案】D

【解析】

【分析】

選取就前為基底，其他向量都用基底表示后進行運算.

【詳解】

由題意G是A4BC的重心，

3AGMB=3X|A7V.(-BM)=-2(B7V-&4)-1(BC+&4)=(BA-1BC)-(BC+&4)

---212111

=BA——BC+—3AU5——+-BABC

2222

CA+CB=(BA-BC)2+\=BA-2BABC+BC+1==5-234BC+1+1，

91----------------------------------

：.-+-BA-BC=7-2BA-BC,BABC-\<

2--------21————21—23----——2

?a-AGAC=-^NAC=-{-BC-BA)[BC-BA)=-{-BC--BCBA+BA)

故選：D.

【點睛】

本題考查向量的數量積，解題關鍵是選取兩個不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運算，這

樣做目標明確，易于操作.

6.+且一是“J+/?1”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

畫出“一1mX+y41,-14%一丁＜1,工2+丁241,所表示的平面區域,即可進行判斷.

【詳解】

如圖，“一1?x+y?1且一14x-yW1”表示的區域是如圖所示的正方形,

記為集合P,“^+^^產表示的區域是單位圓及其內部，記為集合Q,

顯然P是。的真子集，所以答案是充分非必要條件，

故選:A.

【點睛】

本題考查了不等式表示的平面區域問題，考查命題的充分條件和必要條件的判斷，難度較易.

'2x+y-2<0

7.已知x,y滿足不等式組2y-1K0,則點尸(x,y)所在區域的面積是()

x>0

54

A.1B.2C.-D.-

45

【答案】C

【解析】

【分析】

畫出不等式表示的平面區域，計算面積即可.

【詳解】

不等式表示的平面區域如圖：

y

直線2x+y-2=0的斜率為—2,直線工一2丁一1的斜率為:，所以兩直線垂直，故A8CD為直角三角形,

易得8(1,0),D(O,-1),c(o,2),忸忸q=石所以陰影部分面積

故選：C.

【點睛】

本題考查不等式組表示的平面區域面積的求法，考查數形結合思想和運算能力，屬于常考題.

TTTT

8.已知函數/(x)=sin(2019x+丁)+cos(2019x-：)的最大值為M,若存在實數，幾〃，使得對任意實

44

數x總有/(加)《/(幻《/(〃)成立，則的最小值為()

冗2兀4兀兀

A.----B.-----C.-----D.-----

2019201920194038

【答案】B

【解析】

【分析】

根據三角函數的兩角和差公式得到/(%)=2sin(2()19x+?),進而可以得到函數的最值，區間(m,n)長度

要大于等于半個周期，最終得到結果.

【詳解】

函數

/(x)=sin2019x+^+cos(2019x-：)=^-(sin2019x+cos2019x+cos2019x+sin2019x)

=V2(sin2019x+cos2019x)=2sin(2019x+^)

則函數的最大值為2,M-\m-^^2\m-n\

存在實數利，?，使得對任意實數x總有成立，則區間(m,n)長度要大于等于半個周

期，§Pm-n>———/.2\m-n\.=

20191Mm2019

故答案為：B.

【點睛】

這個題目考查了三角函數的兩角和差的正余弦公式的應用，以及三角函數的圖像的性質的應用，題目比較

綜合.

9.甲、乙、丙、丁四人通過抓閹的方式選出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完閹后，甲說：“我

沒抓到.”乙說：“丙抓到了.”丙說：“丁抓到了”丁說：“我沒抓到.”已知他們四人中只有一人說了真話，根

據他們的說法，可以斷定值班的人是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】A

【解析】

【分析】

可采用假設法進行討論推理，即可得到結論.

【詳解】

由題意，假設甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，

T：我沒有抓到就是真的，與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的；

假設甲：我沒有抓到是假的，那么丁：我沒有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以斷定值班人是甲.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了合情推理及其應用，其中解答中合理采用假設法進行討論推理是解答的關鍵，著重考查了

推理與分析判斷能力，屬于基礎題.

10.歷史上有不少數學家都對圓周率作過研究，第一個用科學方法尋求圓周率數值的人是阿基米德，他用

圓內接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，開創了圓周率計算的幾何方法，而中國數學家劉徽只

用圓內接正多邊形就求得不的近似值，他的方法被后人稱為割圓術.近代無窮乘積式、無窮連分數、無窮

級數等各種〃值的表達式紛紛出現，使得力值的計算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個公式：

^=2x2x4x4x6x6x根據該公式繪制出了估計圓周率兀的近似值的程序框圖，如下圖所示，執行該

2Ix3x3x5x5x7x

程序框圖，已知輸出的7>2.8,若判斷框內填入的條件為kN機？，則正整數機的最小值是

/輸，出7'/

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

【詳解】

初始：k=l,T=2,第一次循環：T=2x：9x57=；R<2.8,k=2,繼續循環；

133

第二次循環：T=；8x4；x4^=f128>2.8,k=3,此時7>2.8,滿足條件，結束循環，

33545

所以判斷框內填入的條件可以是％23?,所以正整數機的最小值是3,故選B.

11.已知等差數列｛q｝的公差不為零，且,構成新的等差數列，5,,為｛4｝的前"項和，若存

4%%

在〃使得S“=o,貝!]〃=()

A.10B.11C.12D.13

【答案】D

【解析】

【分析】

利用等差數列的通項公式可得4=-6d,再利用等差數列的前及項和公式即可求解.

【詳解】

111

由一，一，一構成等差數列可得

4%a4

J___1__J___1_

〃3。4。3

u,-a%CIQ-ciA-2d-d_

即」~=—~￡=>——=—=4=2%

aya3a3a4a｝a4

又q=q+3d=>a[=2(q+3d)

解得：%=—6d

XS?=|[2a,+(n-l)j]=^(-12J+(rt-l)J)=|d(n-\3)

所以S“=0時，〃=13.

故選：D

【點睛】

本題考查了等差數列的通項公式、等差數列的前〃項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.

12.已知函數，則函數y=/(/(x))的零點所在區間為()

2+loggx9,x>0

A.0,g)B.(-1,0)0GBD-US

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求得x4()時，”X)的取值范圍.然后求得x>0時，“X)的單調性和零點，令/(/(x))=0,根

據“x40時，“X)的取值范圍”得到〃x)=2'+log3X-9=3,利用零點存在性定理，求得函數

丁=/(/(力)的零點所在區間.

【詳解】

當x40時，3</(x)<4.

當xNO時，/(%)=2*+1089X2—9=2*+log3X—9為增函數，且"3)=0,貝()x=3是/(x)唯一零

點.由于“當x40時，3</(%)<4所以

令/(.”x))=0,得〃x)=2，+k)g3X—9=3,因為〃3)=0<3,

/^=8V2+log31-9>8xl.414+log33-9=3.312>3,

所以函數y=/(/(x))的零點所在區間為(3彳1

故選：A

【點睛】

本小題主要考查分段函數的性質，考查符合函數零點，考查零點存在性定理，考查函數的單調性，考查化

歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

Inx,x>1

13.已知函數/(x)=,若則。的取值范圍是_

【答案】[0,l]u[e,+8)

【解析】

【分析】

根據分段函數的性質，即可求出。的取值范圍.

【詳解】

當a>l時,Ina.A,

a..e

當4,1時，3a..l,

所以噴必1,

故?的取值范圍是[0,11u[e,+O)).

故答案為：[0,1]u[e,+8).

【點睛】

本題考查分段函數的性質，已知分段函數解析式求參數范圍，還涉及對數和指數的運算，屬于基礎題.

14.在疫情防控過程中，某醫院一次性收治患者127人.在醫護人員的精心治療下，第15天開始有患者治

愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開始，每天出院的人數是前一天出院人數的2

倍，那么第19天治愈出院患者的人數為,第天該醫院本次收治的所有

患者能全部治愈出院.

【答案】161

【解析】

【分析】

由題意可知出院人數構成一個首項為1,公比為2的等比數列，由此可求結果.

【詳解】

某醫院一次性收治患者127人.

第15天開始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.

且從第16天開始，每天出院的人數是前一天出院人數的2倍，

???從第15天開始，每天出院人數構成以1為首項，2為公比的等比數列，

則第19天治愈出院患者的人數為%=1x2,=16,

5也4:127,

"1-2

解得〃=7,

.?.第7+15-1=21天該醫院本次收治的所有患者能全部治愈出院.

故答案為：16,1.

【點睛】

本題主要考查了等比數列在實際問題中的應用，考查等比數列的性質等基礎知識，考查推理能力與計算能

力，屬于中檔題.

15.能說明“在數列｛4｝中，若對于任意的犯〃eN*，am+),>am+aH,則｛a,,｝為遞增數列”為假命題的

一個等差數列是.(寫出數列的通項公式)

【答案】答案不唯一，如見=一“一1

【解析】

【分析】

根據等差數列的性質可得到滿足條件的數列.

【詳解】

由題意知，不妨設4,=一“一1,

a

則m+?=~（m+n）-\>一（加+“）一2=am+an,

很明顯｛凡｝為遞減數列，說明原命題是假命題.

所以1,答案不唯一，符合條件即可.

【點睛】

本題考查對等差數列的概念和性質的理解，關鍵是假設出一個遞減的數列，還需檢驗是否滿足命題中的條

件，屬基礎題.

16.已知數列｛4｝的前〃項和為S“，且滿足4+3/+…+3”%”=〃，貝US4=

……40

【答案】—

27

【解析】

【分析】

對題目所給等式進行賦值，由此求得””的表達式，判斷出數列｛q｝是等比數列，由此求得S&的值.

【詳解】

解：4+34++3"-%”=〃，可得〃=1時，q=l,

〃22時,q+3兄+.一+3"~=〃-1，又4+34+...+3'?=n,

兩式相減可得3"-%=1,即a“=K，上式對〃=1也成立，可得數列｛4｝是首項為1,公比為不的等

1-J-

比數列，可得S4=—=

1----

3

【點睛】

本小題主要考查已知求勺，考查等比數列前〃項和公式，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數/（可二%3-/一（4一16卜，g（x）=alnx,aeR.函數人（力=叢。-8（%）的

導函數/?’（x）在|,4上存在零點.

（1）求實數。的取值范圍；

(2)若存在實數。，當xe［O,。］時，函數/(x)在x=0時取得最大值，求正實數b的最大值;

(3)若直線/與曲線y=/(x)和y=g(x)都相切，且/在.丫軸上的截距為-12,求實數。的值.

【答案】⑴［10,28］；⑵4；⑶12.

【解析】

【分析】

(1)由題意可知，h(x)=x2-x-alnx-a+16,求導函數/?”,方程2/一萬一。=()在區間1,4上有

實數解，求出實數a的取值范圍；

(2)由/(x)=d-f-(a-16)T，則j/，(x)=3f—2x-a+16,分步討論，并利用導函數在函數的單

調性的研究，得出正實數的最大值；

(3)設直線/與曲線y=/(x)的切點為(如無；一片一(。—16)X)，因為/'(6=3/-2%-(。—16),所

以切線斜率左=3k一25一(。一16),切線方程為y=(24-a)x-12,設直線/與曲線y=g(x)的切點

為(A2Mln±),因為g'(x)=q,所以切線斜率攵=且，即切線方程為y=g(x-X2)+alnx2,

X%212

a—=24—675

整理得y=-x+alnx2-所以，求得々之三設G(x)=lnx+三-5

?^27

aynx2一。=一12

2x—1C

——2x^2>0

所以G(x)在1，+8］上單調遞增，最后求出實數a的值.

【詳解】

(1)由題意可知，/?(x)=x2-x-alnx-a+16,則//(*)=21_］，=2%二"二0

XX

即方程2d一x-a=0在區間|，4上有實數解，解得ae［10,28］；

2f2

⑵因為/(x)=d-x-(a-16)x,則f(x)=3x-2x-a+\6f

①當A=4-12(—a+16)W0,即lOWaM?時，/'(x)NO恒成立，

所以/(x)在［0,0上單調遞增，不符題意；

②當?<a<16時，令/"(x)=3f-2x-a+16=0,

解得._2±-^4-12(-a+16)_I+J3a-47

?A-6―

']_J3a_47)

當XG0,---------時，/,(x)>0,/(X)單調遞增，

<3?

所以不存在人〉0,使得/(X)在[0,句上的最大值為了(0),不符題意；

③當16WaW28時，/〈X)=3f-2x-a+16=0,

版省1—y/3a—471+J3a—47八

解得：X.=----------<0>%,=----------->0

'33

且當xw(0,%2)時，/,(x)<0,當xel/,”)時，r(x)>。，

所以/(x)在(0,%2)上單調遞減，在(々，+8)上單調遞增，

若0<此々,則“X)在[0,可上單調遞減，所以<(力皿=/(0),

若b>j,則〃力(0,%)上單調遞減，在(冷。)上單調遞增，

由題意可知，f(b)</(0),即》3一加一(。一16)區0,

整理得〃-/?<?-16>

因為存在a《16,28],符合上式，所以〃一。<12,解得0<〃44,

綜上，b的最大值為4；

(3)設直線/與曲線y=/(x)的切點為G，x；—x；—(a-16)xj,

因為/'(x)=3f—2,x—(a—16),所以切線斜率k——2F一(a-16),

即切線方程V=[3x：-2$一(a—16)](x—玉)+x；_*一(a_16)為

整理得：y=[3x；一2羽-(q_]6)]x_2x；+x：

由題意可知，~2x^+x；—12,即2父—X；—12=0,

即同一2)(2%；+3丹+6)=0,解得芭=2

所以切線方程為y=(24-〃卜一12,

設直線/與曲線y=g(x)的切點為(w,alnw)，

因為g'(x)=g,所以切線斜率左=巴，即切線方程為.V=g(x-X2)+alnx2,

XX2電

a,

整理得.丫=一%+。山工2—a.

—=24—a11

所以S,消去〃，整理得1。吃+:^---=o

2X22

a\nx2-a=-12

且因為幺=24_a(ae[10,28]),解得x?2’,

*27

設G(")=mx+?一貝"6'(、)=:一止=第>()，

所以G(x)在+8)上單調遞增，

因為G(l)=0,所以々=1，所以a=24—。，即。=12.

【點睛】

本題主要考查導數在函數中的研究，導數的幾何意義，屬于難題.

18.(12分)已知函數ln(x+a)(a>0).

(D證明：函數/(X)在(0,+8)上存在唯一的零點;

(2)若函數/0)在區間(0,+=。)上的最小值為1,求。的值.

【答案】(1)證明見解析；(2)!

【解析】

【分析】

(1)求解出導函數，分析導函數的單調性，再結合零點的存在性定理說明/(X)在((),+8)上存在唯一的

零點即可；

⑵根據導函數零點X。，判斷出/(x)的單調性，從而/(x)min可確定，利用/(力訕=1以及y=(-InX

的單調性，可確定出毛，。之間的關系，從而a的值可求.

【詳解】

(1)證明：?."(>)=e'-"—ln(x+a)(a>0),/'(x)=e""———.

X+Q

：e""在區間(0,+s)上單調遞增，一L在區間(0,+8)上單調遞減，

x+a

A函數/(x)在(。,+8)上單調遞增.

1Z7—2“

又/(0)="。一±=令gm)=Q—ea(a>0),g'3)=l—ea<0,

aaea

則g(a)在(0,+8)上單調遞減，g(a)<g(0)=-l,故/'(0)<0.

令根=a+1,貝!)f'{ni)=f\a+1)=e------->0

2a+\

所以函數/(x)在(0,+8)上存在唯一的零點.

(2)解：由(1)可知存在唯一的/e(0,+s),使得/(玉))=/"———=0,即/-“=」一(*).

x0+ax0+a

函數f'M=ex'a一——在((),+8)上單調遞增.

X+Q

.?.當xe(O,%)時，f'(x)<0,/(x)單調遞減；當xe(毛,+?)時，/'(x)>0,/(x)單調遞增.

???/(x)min=/5)=一ln(x(,+a).

由(*)式得/(x),”in=/(%)=U^Tn(Xo+a).

二二=顯然/+a=1是方程的解.

又???>=1-111》是單調遞減函數，方程」-一In(尤o+a)=l有且僅有唯一的解x0+a=l,

xxQ+a

把與=1-a代入(*)式，得e"2"=i，二。=；,即所求實數a的值為;.

【點睛】

本題考查函數與導數的綜合應用，其中涉及到判斷函數在給定區間上的零點個數以及根據函數的最值求解

參數，難度較難.(1)判斷函數的零點個數時，可結合函數的單調性以及零點的存在性定理進行判斷；(2)

函數的“隱零點”問題，可通過“設而不求”的思想進行分析.

19.(12分)已知函數/(x)=a+21nx,f(x)<ax.

(1)求a的值；

⑵令g(x)=必也在3+⑹上最小值為相，證明：6</(m)<7.

x-a

【答案】(1)。=2；(2)見解析.

【解析】

【分析】

(1)將/(x)Wax轉化為+21nxW0對任意x>0恒成立，令/i(x)=a-av+21nx,故只需

hix)^<0,即可求出a的值；

(2)由(1)知g(x)=23+2AIn?'(x)2),可得g'(x)=2("，2T4),令5(%)=x—21nx-4,可證

x-2(x-2)

3x0e(8,9),使得s(x°)=0,從而可確定g(x)在(2,x0)上單調遞減，在(x。,長。)上單調遞增，進而可得

g(x)min=g(與)=Xo，即帆=%，即可證出/(加)=/(%)=2+2也%=%—2e(6,7).

【詳解】

函數/(X)的定義域為((),+8),因為/(x)<ax對任意X>0恒成立，

即a-ax+21nxW0對任意x>0恒成立，

令h(x)=a—ax+21nx,貝！)/?’(，)=_〃+—=—,

xx

當。<0時，故〃(x)在(0,+8)上單調遞增，

又力(1)=0,所以當X>1時，h(x)>h(l)=09不符合題意；

2

當。〉0時，令〃'(工)=0得%=—,

a

22

當0<%<—時，/Z(x)>0；當工〉一時，〃'(x)v(),

aa

所以〃Q)在上單調遞增，在+8)上單調遞減，

(2、22

所以/z(x)max=〃|——-a—a,—F2In——ci—2+2In2-2Ina,

Ia,cici

所以要使力(x)W。在x〉0時恒成立，則只需〃(認1ax<0,即a-2+21n2-21na40,

令尸(a)=a-2+21n2-21n。，〃〉0,

所以F(a)=l-』2=?n-2，

aa

f

當0<a<2時，F(?)<0；當〃>2時，F(a)>09

所以F(“)在(0,2)單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，所以尸(a)之/(2)=0,

即a-2+21n2-21na20,又a-2+21n2-21na<0,所以a-2+21n2-21na=0,

故滿足條件的。的值只有2

..xf(x)2x+2xlnX/..丁…，/、2(x-21nx-4)

(2)由(1)知g(zx)x=--=--------(x>2),所以g(x)=一；~二~,

x-ax-2(x-2)

2r-2

令s(x)=%-21nx-4,貝!js'(x)=l——=----,

xx

當x>2,時s'(x)>0,即s(幻在(2,+0。)上單調遞增；

又s(8)v(),s⑼>0,所以*e(8,9),使得5(%)=0,

當2vxvx()時，5(x)<0；當］>天)時，5(x)>0,

即g(x)在(2,%)上單調遞減，在(4,48)上單調遞增，且%-2111/-4=0

所以g(x)疝n=g(x。)=氈丁馬=出坐二4)=直二浮

九09

x0-2乙)一2/一2

即機=%0，所以/(m)=/(Xo)=2+21n與=X()-2G(6,7),即6</Q〃)<7.

【點睛】

本題主要考查利用導數法求函數的最值及恒成立問題處理方法，第(2)問通過最值問題深化對函數的單調性

的考查，同時考查轉化與化歸的思想，屬于中檔題.

20.(12分)如圖，在四棱錐P—A8C。中，底面是邊長為2的菱形，ZBAD=60°,PB=PD=@

(2)設H在AC上，AH^-AC,若PH=旦,求PH與平面PBC所成角的正弦值.

33

【答案】(1)見解析；(2)逅

3

【解析】

【分析】

(1)記ACBD=O,連結PO,推導出BOLPO,30_L平面PAC,由此能證明平面PAC，平面

43cO；(2)推導出產"1AC,_L平面A6CO,連結”8,由題意得”為A48O的重心，BC1BH,

從而平面PHB1平面PBC,進而NHPB是PH與平面PBC所成角,由此能求出PH與平面PBC所成

角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：記ACBD=O,

連結PO,APB。中，OB=OD,PB=PD，：.BD上PO,

BD1AC,ACPO=O,二8。_L平面PAC,

Q80u平面ABC。，..平面PACJ_平面ABC。.

(2)APOB中，ZPOB=y,06=1,PB=母,：.PO=\,

AO=yf3>OH=J

3

P//2=(y^)2=|,:.PH-=PO2+OH-,

：.PHVAC,PH1平面ABCD,二PHIBC,

連結由題意得〃為A4BD的重心，

jr九

ZHBO=-,ZHBC=—,BCYBH,：.BC±￥ffiPHB

62

平面PHB1平面PBC,：.H在平面PBC的射影落在PB上,

ZHPB是PH與平面PBC所成角,

PH=1，P8=0，小，=平,

RtAPHB中，

3J

BP3氏3

：.PH與平面PBC所成角的正弦值為旦.

3

【點睛】

本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查線線、線面、面面的位置關系等基礎知識，

考查運算求解能力，是中檔題.

21.(125?^@a=2,(2)?=/?=2,(§)Z?=c=2這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求ABC

的面積的值(或最大值).已知A3c的內角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,三邊a,b,c與

面積S滿足關系式：45=^+c2-a2,且_____________,求A3C的面積的值(或最大值).

【答案】見解析

【解析】

【分析】

【詳解】

若選擇①，結合三角形的面積公式，得4s=4*：AcsinA=A2+c2—化簡得到

2

,222

sinA="+L-a-=cosA,則tanA=1,又0°<A<180°,從而得到A=45。，

2bc

,222

將。=2代入————=cosA,得匕2+/=y/2hc+4?

2bc

又伍c+4=〃+c2N2Z?c，???〃cK4+2夜，當且僅當匕=c=54+20時等號成立.

A5=^csinA<|x(4+2V2)x^-=V2+l,

故ABC的面積的最大值為0+1，此時〃=c=，4+2夜?

若選擇②，a=b=2,結合三角形的面積公式，得4s=4x：歷sinA=〃+c2-〃，化簡得到

2

j222

sinA=生土U二二=cosA,則tanA=l,又0°<A<180°,從而得到A=45。，

2bc

則A=B=45。，此時A3C為等腰直角三角形，S=-x2x2=2.

2

若選擇③，b=c=2,則結合三角形的面積公式，得4s=4x：歷sinA=^+c2—病，化簡得到

2

,222

sinA=生土二cosA,則tanA=l,又0°<A<180°,從而得到A=45。，貝!|

2bc

S=-x2x2xsin45°=V2.

2

1nx

22.(10分)已知函數〃x)=上.

x

(1)求函數/(力的極值；

(H)若根>〃>0,且〃/=〃"',求證：mn>e2-

【答案】(I)極大值為：無極小值；(H)見解析.

e

【解析】

【分析】

(I)求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可求出函數/(x)的極值；(H)得到

/(加)=/(〃),根據函數的單調性問題轉化為證明m>—>e,即證則<二9二.〃)，令

nne'

22

G(x)=elnx-2x+￡jnx(l<x<e),根據函數的單調性證明即可.

【詳解】

(I)/(無)=/.-./(x)的定義域為(0,+<0且:(x)=上詈

令r(x)>。，得0cx<e；令/'(x)<0,得x>e

.??/(x)在(0,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減

，函數“X)的極大值為/■)=?=：,無極小值

(II)m>n>0,mn=nmAn\nm=mln

即/㈣=/(〃)

mn

由(I)知/(x)在(o,e)上單調遞增，在(e,中?)上單調遞減

且則1<〃<6<根

2

要證加〃>儲，即證機>一>e>即證,即證/(〃)</

nJ,、〃>

n(2-lnn)

即日F1證F——ln〃<

n

由于即0<ln〃<l,即證e2]n〃v2〃2一〃2]n〃

令G(x)=/lnx-2f+x2lnx(l<x<e)

貝(JG<x)=J-4x+2xlnx+x=--x+2x(lnx_])=(e+x)(e_^+2x(lnx-l)

X〈X,X

\<x<e.,.G'(x)>0恒成立.??6(同在(1,6)遞增

.-.G(x)<G(e)=0在xe(1,e)恒成立

mn>e2

【點睛】

本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，考查不等式的證明,

考查運算求解能力及化歸與轉化思想，關鍵是能夠構造出合適的函數，將問題轉化為函數最值的求解問題,

屬于難題.

吉林省通鋼一中、集安一中、梅河口五中等聯誼校2020-2021學年高三第二學

期第五次月考數學

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆

將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.為計算5=1—2x2+3x22—4x23+...+100x（—2）",設計了如圖所示的程序框圖，則空白框中應

填入（）

（竿）

A.z<100B.z>100C.z<100D.z>100

2.已知向量a,力滿足同=4,〃在。上投影為一2,則|"3可的最小值為（）

A.12B.10C.710D.2

3.已知嗚）問05，匕…言卷，則（）

.cTC

A.2a+/?=耳B.cc/3——

C兀冗

C.a-j3=-D.a+2fi=-

4.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊

方