專題十三第四章復習與檢測知識精講一知識結構圖內容考點關注點第四章指數、對數的運算冪、對數的運算性質指數函數的應用指數函數的圖象與性質對數函數的應用對數函數的圖象與性質函數的應用指數函數、對數函數的性質二.學法指導1.指數、對數的運算應遵循的原則指數式的運算首先注意化簡順序，一般負指數先轉化成正指數，根式化為分數指數冪運算，其次若出現分式則要注意分子、分母因式分解以達到約分的目的.對數運算首先注意公式應用過程中范圍的變化，前后要等價，熟練地運用對數的三個運算性質并結合對數恒等式，換底公式是對數計算、化簡、證明常用的技巧.2.識別函數的圖象從以下幾個方面入手：(1)單調性：函數圖象的變化趨勢；(2)奇偶性：函數圖象的對稱性；(3)特殊點對應的函數值．3．指數函數與對數函數圖象經過定點的實質是a0＝1，loga1＝0.4.比較兩數大小常用的方法有單調性法、圖象法、中間值法等．5．當兩個數都是指數冪或對數式時，可將其看成某個指數函數、對數函數或冪函數的函數值，然后利用該函數的單調性比較．6．比較多個數的大小時，先利用“0”“1”作為分界點，然后在各部分內再利用函數性質比較大小．7.換元法的作用是利用整體代換，將問題轉化為常見問題．該類問題中，常設u＝logax或u＝ax，轉化為一元二次方程、二次函數等問題．要注意換元后u的取值范圍。8.指數函數模型的應用在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常可以用指數函數模型表示.通常可以表示為y＝N1＋px其中N為基礎數，p為增長率，x為時間的形式.三.知識點貫通知識點1指數與對數的運算1.正分數指數冪：規定：aeq\s\up5(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)2.負分數指數冪：規定：a－eq\s\up5(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)3.冪的運算性質(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．4、對數的運算性質如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．例1.計算：(1)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53；(2)1.5－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))0＋80.25×eq\r(4,2)＋(eq\r(3,2)×eq\r(3))6－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up5(\f(2,3))).【解析】(1)原式＝log3eq\f(22×8,\f(32,9))－3＝2－3＝－1.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up5(\f(1,3))＋2eq\s\up5(\f(3,4))×2eq\s\up5(\f(1,4))＋22×33－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up5(\f(1,3))＝21＋4×27＝110.知識點二指數函數、對數函數的圖象及應用1.指數函數的性質a的范圍a＞10＜a＜1圖象性質定義域R值域(0，＋∞)過定點(0,1)，即當x＝0時，y＝1單調性在R上是增函數在R上是減函數奇偶性非奇非偶函數對稱性函數y＝ax與y＝a－x的圖象關于y軸對稱2.對數函數的圖象與性質a的范圍0<a<1a>1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質定點(1,0)，即x＝1時，y＝0單調性在(0，＋∞)上是減函數在(0，＋∞)上是增函數例題2：(1)若函數y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數正確的是()ABCD(2)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.①如圖，畫出函數f(x)的圖象；②根據圖象寫出f(x)的單調區間，并寫出函數的值域．（1）【答案】B【解析】由已知函數圖象可得，loga3＝1，所以a＝3.A項，函數解析式為y＝3－x，在R上單調遞減，與圖象不符；C項中函數的解析式為y＝(－x)3＝－x3，當x>0時，y<0，這與圖象不符；D項中函數解析式為y＝log3(－x)，在(－∞，0)上為單調遞減函數，與圖象不符；B項中對應函數解析式為y＝x3，與圖象相符．故選B.(2)【解析】①先作出當x≥0時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，利用偶函數的圖象關于y軸對稱，再作出f(x)在x∈(－∞，0)時的圖象．②函數f(x)的單調遞增區間為(－∞，0)，單調遞減區間為[0，＋∞)，值域為(0,1]．知識點三指數函數、對數函數的性質1.指數函數的性質a的范圍a＞10＜a＜1圖象性質定義域R值域(0，＋∞)過定點(0,1)，即當x＝0時，y＝1單調性在R上是增函數在R上是減函數奇偶性非奇非偶函數對稱性函數y＝ax與y＝a－x的圖象關于y軸對稱2.對數函數的圖象與性質a的范圍0<a<1a>1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質定點(1,0)，即x＝1時，y＝0單調性在(0，＋∞)上是減函數在(0，＋∞)上是增函數例題3.設函數f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是()A．奇函數，且在(0,1)上是增函數B．奇函數，且在(0,1)上是減函數C．偶函數，且在(0,1)上是增函數D．偶函數，且在(0,1)上是減函數【答案】A【解析】由題意可得，函數f(x)的定義域為(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數．又f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)－1))，易知y＝eq\f(2,1－x)－1在(0,1)上為增函數，故f(x)在(0,1)上為增函數．五易錯點分析易錯一比較大小例題4.若0<x<y<1，則()A．3y<3xB．logx3<logy3C．log4x<log4yD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y【答案】C【解析】因為0<x<y<1，則對于A，函數y＝3x在R上單調遞增，故3x<3y，A錯誤．對于B，根據底數a對對數函數y＝logax的影響：當0<a<1時，在x∈(1，＋∞)上“底小圖高”．因為0<x<y<1，所以logx3>logy3，B錯誤．對于C，函數y＝log4x在(0，＋∞)上單調遞增，故log4x<log4y，C正確．對于D，函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x在R上單調遞減，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y，D錯誤．誤區警示

比較大小，底數相同，利用對數函數、指數函數、冪函數的單調性比較大小，底數不同，找中間量，比較大小。易錯二集合中元素的互異性例題5.已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函數f(x)＝logax在區間[a,3a]上的最大值與最小值之差為1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函數y＝(logax)2－logaeq\r(x)＋2的值域．【解析】①因為loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上為增函數．又f(x)在[a,3a]上的最大值與最小值之差為1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函數y＝(log3x)2－log3eq\r(x)＋2＝(log3x)2－eq\f(1,2)log3x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3x－\f(1,4)))2＋eq\f(31,16).令t＝log3x，因為1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－