專題03二項式定理一、單選題1．（2022·北京八中高二期末）展開式中第3項的二項式系數為（）A．6 B． C．24 D．【答案】A【解析】【分析】根據二項展開式的通項公式，即可求解.【詳解】由題意，二項式展開式中第3項為，所以展開式中第3項的二項式系數為.故選：A.2．（2022·四川綿陽·二模（理））二項式的展開式中，的系數為（）A． B． C．10 D．15【答案】A【解析】【分析】首先求出二項式展開式的通項，再令求出，再代入計算可得；【詳解】解：二項式展開式的通項為，令，解得，所以，故的系數為；故選：A3．（2022·福建福州·高三期末）展開式中的常數項為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據給定條件求出二項展開式的通項公式，再求指定項作答.【詳解】二項式展開式的通項公式為，由解得：，則，所以展開式中的常數項為.故選：D4．（2022·河南駐馬店·高三期末（理））的展開式中的系數為（）A．－50 B．－10 C．10 D．50【答案】A【解析】【分析】根據二項式定理得出展開式的通項，求出，，進而得出的系數.【詳解】展開式的通項為，則，，故展開式中的系數為.故選：A5．（福建省漳州市2022屆高三畢業班第一次教學質量檢測數學試題）已知二項式的展開式的所有項的系數和為32，則的展開式中常數項為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據賦值法以及二項展開式的通項公式即可求出．【詳解】令，可得展開式的所有項的系數之和，得，所以，其通項，令，得，所以展開式中常數項為．故選：A．6．（2022·河南·模擬預測（理））若的展開式中的系數為75，則（）A．3 B．2 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】結合二項式的展開式的通項公式以及多項式的乘法運算可得，進而可求出結果.【詳解】的展開式的通項公式為，所以的展開式中的系數為，由題知，，解得．故選：A.7．（2022·遼寧·大連八中高二期末）若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設，計算出、的值，利用平方差公式可求得結果.【詳解】設由已知可得，，因此，.故選：D.8．（2022·浙江·模擬預測）設，若二項式的展開式中第二項的系數是1，則二項式的展開式中第三項的系數是（）A． B．1 C． D．5【答案】C【解析】【分析】由二項展開式的公式展開可得二項式的展開式中第二項的系數，再由二項式的展開式中第三項的系數為，代入即可得解.【詳解】由二項式的展開式中第二項，所以，二項式的展開式中第三項，所以.故選：C二、多選題9．（2022·浙江·鎮海中學高二期末）在的展開式中，若第六項為二項式系數最大的項，則n的值可能為（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】ABC【解析】【分析】結合二項式系數對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】當時，二項式系數最大項是第項，符合題意，當時，二項式系數最大項是第項，符合題意，當時，二項式系數最大項是第項，符合題意，當或時，二項式系數最大項不包括第項.故選：ABC10．（2021·江蘇蘇州·高二階段練習）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的．以下關于楊輝三角的猜想中正確的有（）第一行11第二行121第三行1331第四行14641第五行15101051第六行1615201561A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項式系數相等”猜想：B．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它‘肩上’兩個數的和”猜想：C．由“第行所有數之和為”猜想：D．由“”猜想：【答案】ABC【解析】【分析】結合楊輝三角、合情推理以及二項式有關知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項式系數相等”猜想：，A正確.由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它‘肩上’兩個數的和”猜想：，B正確.由“第行所有數之和為”猜想：，C正確.，所以D錯誤.故選：ABC11．（福建省龍巖市20212022學年高二上學期期末教學質量檢查數學試題）關于的展開式，下列結論正確的是（）A．各項二項式系數之和為32 B．各項系數之和為C．存在常數項 D．項的系數為80【答案】ABD【解析】【分析】由二項展開式的二項式系數的性質判斷A；取求得所有項的系數和判斷B；寫出展開式的通項，由的指數為3和0求得值，可判斷CD．【詳解】的展開式的所有二項式系數和為，故A正確；取，可得所有項的系數和為，故B正確；展開式的通項為，由，得舍去，故不存在常數項，C錯誤，由，得，含項的系數為，故D正確．故選：ABD．12．（2022·遼寧丹東·高二期末）若的二項展開式共有8項，則該二項展開式（）A．各項二項式系數和為128B．項數為奇數的各項系數和為﹣64C．有理式項共有4項D．第4項與第5項系數相等且最大【答案】AC【解析】【分析】根據二項式共有8項，確定n=7，根據二項式系數和為，可判斷A正確；計算出項數為奇數的各項系數和為64，可判斷B錯誤；根據通項公式可看到有理項有四項，可判斷C正確；算出第4項與第5項系數，可判斷D的正誤.【詳解】的二項展開式共有8項,故n=7;則二項式系數和為，故A正確；的通項公式為，故項數為奇數的各項系數和為,故B錯誤；根據，當r取0，2，4，6時，為有理式項，故C正確；，第四項與第五項的系數互為相反數，故D錯誤，故選：AC.三、雙空題13．（2019·浙江·高考真題）在二項式的展開式中，常數項是________；系數為有理數的項的個數是_______.【答案】【解析】【分析】本題主要考查二項式定理、二項展開式的通項公式、二項式系數，屬于常規題目.從寫出二項展開式的通項入手，根據要求，考察的冪指數，使問題得解.【詳解】的通項為可得常數項為，因系數為有理數，，有共5個項14．（2021·浙江·高考真題）已知多項式，則___________，___________.【答案】;.【解析】【分析】根據二項展開式定理，分別求出的展開式，即可得出結論.【詳解】，，所以，，所以.故答案為：.四、填空題15．（2021·遼寧營口·高二期末）若，若，則______．【答案】2【解析】【分析】首先利用二項展開式的通項公式，求，再利用賦值法求系數的和以及．【詳解】展開式的通項為，令，則，即，故，令，得.又，所以故故答案為：16．（2022·福建漳州·高二期末）若n展開式中前三項的系數和為163，則展開式中系數最大的項為_______．【答案】5376【解析】【分析】先求展開式的通項公式，由此確定前3項的系數，根據前三項的系數和為163，求參數n，再列不等式求展開式中系數最大的項.【詳解】展開式的通項公式為，由題意可得，，解得，設展開式中項的系數最大，則解得，又∵，∴，故展開式中系數最大的項為.故答案為：5376.五、解答題17．（2021·全國·高二課時練習）在的展開式中，前3項的系數成等差數列，求展開式中x的一次項．【答案】【解析】【分析】求出展開式通項，根據前3項的系數成等差數列建立關系即可求出，再令的指數為1即可求出一次項.【詳解】的展開式通項為，前3項的系數分別為，因為前3項的系數成等差數列，所以，即，解得（舍去）或，則，令，解得，所以展開式中x的一次項為.18．（2021·全國·高二課時練習）設，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）令，即可求得.（2）令，求得，結合，即可求解.（3）令和，分別求得和，結合，即可求解.(1)解：由，令，可得.(2)解：令，可得，所以.(3)解：令，可得，令，可得，所以19．（2022·江西新余·高二期末（理））已知的展開式中，第4項的系數與倒數第4項的系數之比為.(1)求m的值；(2)求展開式中所有項的系數和與二項式系數和.【答案】(1)(2)所有項的系數和為，二項式系數和為【解析】【分析】(1)寫出展開式的通項，求出其第4項系數和倒數第4項系數，列出方程即可求出m的值；(2)令x＝1即可求所有展開項系數之和，二項式系數之和為2m.(1)展開式的通項為：，∴展開式中第4項的系數為，倒數第4項的系數為，∴，即.(2)令可得展開式中所有項的系數和為，展開式中所有項的二項式系數和為.20．（2021·河北·武安市第一中學高二階段練習）已知二項式展開式中各項系數之和比各二項式系數之和大240，(1)求n；(2)求展開式中所有含x的有理項.【答案】(1)(2)，，【解析】【分析】（1）由于各項系數之和為，二項式系數之和為，，解方程求得的值；（2）利用二項展開式的通項公式寫出第項，使得的指數是整數，列舉出結果，寫出這幾項即可．(1)解：令，則各項系數之和為，二項式系數之和為，因為展開式中各項系數之和比各二項式系數之和大240，所以，所以；(2)解：二項展開式的通項為，由，則，所以展開式中所有x的有理項為：.21．（2022·全國·高二）在(2x－3y)10的展開式中，求：(1)二項式系數的和；(2)各項系數的和；(3)奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和；(4)奇數項系數和與偶數項系數和.【答案】(1)210(2)1(3)29，29(4)奇數項系數和為，偶數項系數和為【解析】【分析】（1）二項式系數的和直接使用公式進行求解；（3）奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和，直接利用公式進行求解；第（2）問和第（4）問：設(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*),各項系數和為a0＋a1＋…＋a10，奇數項系數和為a0＋a2＋…＋a10，偶數項系數和為a1＋a3＋a5＋…＋a9.由于(*)是恒等式，故可用“賦值法”求出相關的系數和.(1)二項式系數的和為.(2)令x＝y＝1，各項系數和為(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇數項的二項式系數和為，偶數項的二項式系數和為.(4)設(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②其中①＋②得：，∴奇數項系