專題02平面向量痛點問題之三角形“四心”問題【題型歸納目錄】題型一：重心定理題型二：內(nèi)心定理題型三：外心定理題型四：垂心定理【知識點梳理】一、四心的概念介紹：（1）重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1．（2）內(nèi)心：角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等．（3）外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等．（4）垂心：高線的交點，高線與對應(yīng)邊垂直．二、三角形四心與推論：（1）是的重心：．（2）是的內(nèi)心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．【方法技巧與總結(jié)】（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上.為的內(nèi)心.（2）外心：為的外心.（3）垂心：為的垂心.（4）重心：為的重心.【典型例題】題型一：重心定理例1．（2023春·山東聊城·高一山東聊城一中?？茧A段練習）已知點G是三角形ABC所在平面內(nèi)一點，滿足，則G點是三角形ABC的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【答案】D【解析】因為，所以.以GA、GB為鄰邊作平行四邊形GADB，連接GD交AB于點O.如圖所示:則，所以，CO是AB邊上的中線，所以G點是△ABC的重心.故選：D例2．（2023春·山東·高一階段練習）已知G是的重心，點D滿足，若，則為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因為，所以為中點，又因為G是的重心，所以，又因為為中點，所以，所以，所以，所以.故選：A例3．（2023春·上海金山·高一上海市金山中學?？计谀┯泝?nèi)角的對邊分別為，點是的重心，若則的取值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，作出圖形，因為點是的重心，所以是的中點，故，由已知得，因為，所以，又因為點是的重心，所以，則，又因為，所以，則，又由余弦定理得，所以，整理得，因為，令，則，所以，則.故選：D.例4．（多選題）（2023春·安徽安慶·高一?？茧A段練習）在中，D，E，F(xiàn)分別是邊的中點，點G為的重心，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】如圖：對于選項A，，即選項A錯誤；對于選項B，點為的重心，則，即選項B正確；對于選項C，，即選項C正確；對于選項D，，即，即選項D正確，故選：BCD．題型二：內(nèi)心定理例5．（2023春·江蘇宿遷·高一沭陽縣修遠中學?？计谀┮阎cP為的內(nèi)心，，若，則______．【答案】【解析】在，由余弦定理得,設(shè)分別是邊上的切點，設(shè)，則，所以，由得，，即，①同理由,②聯(lián)立①②以及即可解得：，故答案為：例6．（多選題）（2023·高一單元測試）已知為所在的平面內(nèi)一點，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為銳角的外心，且，則C．若，則點的軌跡經(jīng)過的重心D．若，則點的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心【答案】ABC【解析】對于A選項，因為，，又因為為的垂心，所以，所以，故正確；對于B選項，因為且，所以，整理得：，即，設(shè)為中點，則，所以三點共線，又因為，所以垂直平分，故，正確；對于C選項，由正弦定理得，所以，設(shè)中點為，則，所以，所以三點共線，即點在邊的中線上，故點的軌跡經(jīng)過的重心，正確；對于D選項，因為，設(shè)中點為，則，所以，所以，所以，即，所以，故在中垂線上，故點的軌跡經(jīng)過的外心，錯誤.故選：ABC例7．（多選題）（2023春·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列命題正確的是（）A．若A＝30°，，，則△ABC有兩解B．若，則角A最大值為30°C．若，則△ABC為銳角三角形D．若，則直線AP必過△ABC內(nèi)心【答案】ABD【解析】對于選項A：bsinA＝4sin30°＝2，則bsinA＜a＜b，所以，△ABC有兩解，A選項正確；對于選項B：設(shè)（以為基底），則，∵∴=0則，即∴∵，∴，B選項正確；對于選項C：∵，∴，又∴C為銳角若C為最大角，則△ABC為銳角三角形，否則△ABC為銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形，C選項錯誤；對于選項D：∵表示與同向的單位向量，表示與同向單位向量

又∵與不共線∴與菱形對角線向量共線∴直線AP為角A的角平分線，即直線AP必過△ABC內(nèi)心，D選項正確．故選：ABD．例8．（2023春·上海浦東新·高一?？计谀┮阎c是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】分別表示方向的單位向量，令，，則，即，又，以為一組鄰邊作一個菱形，則點P在該菱形的對角線上，所以點P在，即的平分線上，故動點P的軌跡一定通過的內(nèi)心.故選：B..例9．（2023春·陜西西安·高一陜西師大附中?？计谥校┮阎狾是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【解析】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，則的方向與的角平分線一致，由，可得，即，所以點P的軌跡為的角平分線所在直線，故點P的軌跡一定經(jīng)過的內(nèi)心.故選：C.例10．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知為所在平面上的一點，且.若，則是的（

）A．重心 B．內(nèi)心 C．外心 D．垂心【答案】B【解析】因為，所以，所以，所以，所以在角A的平分線上，故點I在的平分線上，同理可得，點I在的平分線上，故點I在的內(nèi)心，故選：B.例11．（2023春·四川成都·高一樹德中學?？几傎悾┰凇鰽BC中，，O為△ABC的內(nèi)心，若，則x＋y的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖：圓O在邊上的切點分別為，連接，延長交于點設(shè)，則，則設(shè)∵三點共線，則，即即故選：D．題型三：外心定理例12．（2023·遼寧沈陽·高一東北育才學校校考階段練習）設(shè)為銳角的外心（三角形外接圓圓心），．若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取中點，連接，為的外心，，，，三點共線，，，，，，，，即，，，則，解得：.故選：A.例13．（2023·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知是的外心，且滿足，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)的中點為，則，所以，所以外心與中點重合，故為直角三角形.設(shè)，則，，，設(shè)為方向上的單位向量，則在上的投影向量為.故選：C.例14．（2023春·廣東深圳·高一?？计谥校┮阎獮榈耐庑?，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為為的外心，所以，設(shè)，又，，，且，，且，.故選:C.例15．（2023春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）設(shè)O為的外心，且滿足，，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（

）①；②；③.A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】因為，所以，所以，即，所以，故①正確，所以，即，所以，故②正確；因為，所以，所以，，所以，所以，則，所以，所以，即，故③正確；故選：A例16．（2023春·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）在中，是邊上的點，且為的外心，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因為，則是的中點，所以，設(shè)外接圓的半徑為，所以．故選：B．例17．（2023春·河南許昌·高一統(tǒng)考期末）已知P在所在平面內(nèi)，滿足，則P是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心【答案】A【解析】表示到三點距離相等，為外心．故選：A．例18．（2023春·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學?？茧A段練習）已知為的外心，若AB=1，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為點為的外心，設(shè)的中點為，連接，則，如圖所以.故選：B.題型四：垂心定理例19．（2023春·河南南陽·高一統(tǒng)考期中）若為所在平面內(nèi)一點，且則點是的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】D【解析】，得，即；，得，即；，，即，所以為的垂心.故選：D.例20．（2023春·河南商丘·高一商丘市第一高級中學?？茧A段練習）設(shè)H是的垂心，且，則_____．【答案】【解析】∵H是的垂心，∴，，∴，同理可得，，故，∵，∴，∴，同理可求得，∴，，∴，即.故答案為：．例21．（2023春·湖南永州·高一統(tǒng)考期末）已知在中，，點為的垂心，則=________．【答案】18【解析】延長交于點，因為，點為的垂心，所以為的中點，，所以，故答案為：18【同步練習】一、單選題1．（2023·浙江紹興·高三期末）邊長為2的正中，G為重心，P為線段BC上一動點，則（

）A．1 B．2C． D．【答案】B【解析】如圖：以所在直線為軸，線段的垂直平分線所在直線為軸，建立如圖所示直角坐標系，由題意可知：，因為G為的重心，所以，因為點為線段上一動點，設(shè)點，所以，，則，故選：．2．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考期末）中，為邊上的高且，動點滿足，則點的軌跡一定過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心【答案】A【解析】設(shè)，，以為原點，、方向為、軸正方向如圖建立空間直角坐標系，，，，則，，，，則，設(shè)，則，，，即，即點的軌跡方程為，而直線平分線段，即點的軌跡為線段的垂直平分線，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得點的軌跡一定過的外心，故選：A.3．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學?？计谀┰凇鰽BC中，O為重心，D為BC邊上近C點四等分點，，則m＋n＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接延長交于點，則點為的中點，連接，所以，所以，.故選：B.4．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）在中，，點D，E分別在線段，上，且D為中點，，若，則直線經(jīng)過的（

）.A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】因為，且D為中點，，則，又因為，則可得四邊形為菱形，即為菱形的對角線，所以平分，即直線經(jīng)過的內(nèi)心故選:A5．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）設(shè)為的重心，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】因為為重心，所以，所以，故選：B.6．（2023春·河北邯鄲·高三校聯(lián)考開學考試）已知O是的外心,且滿足,若在上的投影向量為,則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解:由題知,,所以,即,所以三點共線,且是的中點,因為O是的外心,所以是圓的直徑,故是以A為直角頂點的直角三角形,過向作垂線,垂足為,連接,如圖所示:因為在上的投影向量為,所以在上的投影向量為:,而,則.故選:C.7．（2023·全國·高三專題練習）的外心滿足，，則的面積為（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】設(shè)的中點為，則可化為即為，三點共線且，為等腰三角形，由垂徑定理得，代入數(shù)據(jù)得,解之：，.故選：B.8．（2023·高三課時練習）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】，令，則是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，即在的平分線上，，共線，故點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，故選：B9．（2023·全國·高三專題練習）已知P是的外心，且，則cosC=（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】因為P是的外心，所以，由題知，兩邊平方得即,即，所以，則，又由，得，因為，則C與外心P在AB的異側(cè)，即C在劣弧上，所以C為鈍角，即.故選：B10．（2023·全國·高三專題練習）在中，，為的外心，，，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)的中點為D,E，連接OD,OE,則,故，即,即，故,，即,即，故,故,故選：B11．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面內(nèi)一點，，，是平面內(nèi)不共線的三點，若，一定是的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心【答案】C【解析】由題意知，中，，則，即，所以，即，同理，，；所以是的垂心.故選：C12．（2023·全國·高三專題練習）若為所在平面內(nèi)一點，且則點是的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】D【解析】，得，即；，得，即；，，即，所以為的垂心.故選：D.13．（2023·全國·高三專題練習）在平面上有及內(nèi)一點O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】記點O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點P是△ABC的內(nèi)心.故選：B14．（2023·高一課時練習）已知O是△ABC所在平面上的一點，若，則點O是△ABC的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】C【解析】作BD∥OC，CD∥OB，連接OD，OD與BC相交于點G，則BG=CG(平行四邊形對角線互相平分)，∴，又，可得=，∴=，∴A，O，G在一條直線上，可得AG是BC邊上的中線，同理，BO，CO也在△ABC的中線上.∴點O為三角形ABC的重心.故選：C.15．（2023·高一課時練習）已知是平面上的一定點，，，是平面上不共線的三個動點，若動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（

）A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心【答案】C【解析】設(shè)為的中點，則，則，即，三點共線，又因為為的中點，所以是邊的中線，所以點的軌跡一定通過的重心.故選：C.16．（2023·廣西欽州·高三?？茧A段練習）在中，設(shè)，那么動點的軌跡必通過的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【答案】C【解析】設(shè)的中點是，，即，所以，所以動點在線段的中垂線上，故動點的軌跡必通過的外心，故選：C.17．（2023·全國·高三專題練習）已知H為的垂心，若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】依題意，，同理．由H為△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得，，又，所以．故選：C．18．（2023·全國·高三專題練習）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是的垂心，延長交與點，∴，同理可得，∴：，又，∴，又，∴，不妨設(shè)，其中，∵，∴，解得或，當時，此時，則都是鈍角，則，矛盾.故，則，∴是銳角，，于是，解得.故選：A.二、多選題19．（2023·全國·高三專題練習）點在所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）A．若，則點O為的重心B．若，則點為的垂心C．若，則點為的外心D．若，則點為的內(nèi)心【答案】AC【解析】對于A，設(shè)邊、、的中點分別為、、,則，所以所以、、三點共線，即點在中線上，同理點在中線上，則是的重心.故A正確對于B，若，則，所以所以為的外心，故B錯誤對于C，設(shè)邊、、的中點分別為點、、，則,所以為線段的中垂線，同理、分別為線段、的中垂線，所以是的外心，故C正確對于D，由已知，，即垂直，也即點在邊的高上；同理，點也在邊的高上，所以則是的垂心，故D錯誤.故選：AC20．（2023·全國·高三專題練習）瑞士數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：“三角形的外心?垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半，”這就是著名的歐拉線定理.設(shè)中，點O?H?G分別是外心?垂心和重心，下列四個選項中結(jié)論正確的是(

)A． B．C． D．【答案】ABC【解析】如圖：根據(jù)歐拉線定理可知，點O?H?G共線，且.對于A，∵，∴，故A正確；對于B，G是重心，則延長AG與BC的交點為BC中點，且AG