2020-2021學年上海市松江區九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．下列各組線段中，能組成比例線段的（）A．2，3，4，5 B．2，3，4，6 C．2，3，5，7 D．3，4，5，62．下列圖形中一定相似的是（）A．兩個等腰三角形 B．兩個菱形 C．兩個直角三角形 D．兩個正方形3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正確的是（）A．tanA＝ B．cotA＝ C．sinA＝ D．cosA＝4．已知△ABC中，D、E分別是邊AB、AC上的點，下列各式中，不能判斷DE∥BC的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝5．已知、和都是非零向量，在下列選項中，不能判定∥的是（）A．＝2 B．∥，∥ C．||＝|| D．＝，＝26．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，對角線AC與BD相交于點O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面積分別記作S1、S2、S3、S4，那么下列結論中，不正確（）．A．S2＝2S1 B．S1＝S3 C．S2＝2S4 D．S3＝2S4二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．若＝＝≠0，則＝．8．在比例尺為1：1000000的地圖上，量得兩地間的距離為3厘米，那么兩地間的實際距離是千米．9．已知兩相似三角形的對應中線的比是2：3，其中較大的三角形的面積為27，則較小的三角形的面積是．10．如果線段a＝4cm，b＝9cm，那么它們的比例中項是cm．11．已知點M是線段AB的黃金分割點（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝cm．12．如圖，G是△ABC的重心，過點G作EF∥BC，分別交AB、AC于點E、F，若BC＝6，則EF＝．13．如圖，梯形ABCD中，點E、F分別在AB、DC邊上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，則FD＝．14．在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，則BD＝．15．在平面直角坐標系xOy中有一點A（3，4），如果OA與x軸正半軸的夾角為α，那么sinα＝．16．如圖，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝．17．如圖，在平行四邊形ABCD中，點F是CD的中點，BF和AC交于點E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝．18．如圖，在△ABC中，D是AC邊的中點，連接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，聯結AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，則點D到BC′的距離為．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：cos245°﹣+cot230°．20．（10分）如圖，已知兩個不平行的向量、，先化簡，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．（不要求寫作法，但要指出圖中表示結論的向量）21．（10分）已知：如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：（1）△ABC的面積；（2）∠C的余弦值．22．（10分）△ABC是一塊直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如圖將它加工成正方形零件，試說明哪種方法利用率高？（得到的正方形的面積較大）23．（12分）已知：如圖，BF、CE分別是△ABC的邊AC、AB上的高，BF與CE相交于點O，AN是∠BAC的角平分線，交EF于點M，交BC于點N．（1）求證；△ABF∽△ACE；（2）求證：＝．24．（12分）已知如圖，D是△ABC的邊AB上一點，DE∥BC，交邊AC于點E，延長DE至點F，使EF＝DE，聯結BF，交邊AC于點G，聯結CF（1）求證：＝；（2）如果CF2＝FG?FB，求證：CG?CE＝BC?DE．25．（14分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，點D為BC邊上的動點（點D不與點B、C重合）．以D為頂點作∠ADE＝∠B，射線DE交AC邊于點E．（1）如圖2，當ED∥AB時，求AE的長；（2）設BD＝x，AE＝y，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；（3）當△ADE是等腰三角形時，直接寫出線段BD的長．

2020-2021學年上海市松江區九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．下列各組線段中，能組成比例線段的（）A．2，3，4，5 B．2，3，4，6 C．2，3，5，7 D．3，4，5，6【分析】判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可．【解答】解：A、2×5≠3×4，不成比例；B、2×6＝3×4，成比例；C、2×7≠3×5，不成比例；D、3×6≠4×5，不成比例；故選：B．2．下列圖形中一定相似的是（）A．兩個等腰三角形 B．兩個菱形 C．兩個直角三角形 D．兩個正方形【分析】根據相似圖形的定義，對選項進行一一分析，排除錯誤答案．【解答】解：A、兩個等腰三角形，屬于形狀不唯一確定的圖形，不一定相似，故錯誤；B、兩個菱形，屬于形狀不唯一確定的圖形，不一定相似，故錯誤；C、兩個直角三角形，屬于形狀不唯一確定的圖形，不一定相似，故錯誤；D、兩個正方形，圖形的形狀相同，但大小不一定相同，符合相似性的定義，故正確．故選：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正確的是（）A．tanA＝ B．cotA＝ C．sinA＝ D．cosA＝【分析】根據勾股定理求出AB，根據銳角三角函數的定義計算，判斷即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理得，AB＝＝13，則tanA＝＝，A選項計算正確；cotA＝＝，B選項計算錯誤；sinA＝＝，C選項計算錯誤；cosA＝＝，D選項計算錯誤；故選：A．4．已知△ABC中，D、E分別是邊AB、AC上的點，下列各式中，不能判斷DE∥BC的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】若使DE∥BC，則其對應邊必成比例，進而依據對應邊成比例即可判定DE∥BC．【解答】解：如圖，若使線段DE∥BC，則其對應邊必成比例，即＝，＝，＝，故B選項答案錯誤；故選：B．5．已知、和都是非零向量，在下列選項中，不能判定∥的是（）A．＝2 B．∥，∥ C．||＝|| D．＝，＝2【分析】根據平行向量的判定一一判斷即可；【解答】解：A、由＝2，可以推出∥．本選項不符合題意；B、由∥，∥，可以推出∥．本選項不符合題意；C、由||＝||，不可以推出∥．本選項符合題意；D、由＝，＝2，可以推出∥．本選項不符合題意；故選：C．6．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，對角線AC與BD相交于點O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面積分別記作S1、S2、S3、S4，那么下列結論中，不正確（）．A．S2＝2S1 B．S1＝S3 C．S2＝2S4 D．S3＝2S4【分析】由AD∥BC，推出△AOD∽△COB，推出＝＝＝，利用等高模型以及相似三角形的性質解決問題即可．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝＝＝，∴S△BOC＝2S△AOB＝2S△ODC，S△DOC＝2S△AOD，＝（）2＝，∴選項A，B，D正確，故選：C．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．若＝＝≠0，則＝．【分析】設＝＝＝k≠0，得出x＝2k，y＝5k，z＝4k，再代入要求的式子進行計算即可得出答案．【解答】解：設＝＝＝k≠0，則x＝2k，y＝5k，z＝4k，則＝＝；故答案為：．8．在比例尺為1：1000000的地圖上，量得兩地間的距離為3厘米，那么兩地間的實際距離是30千米．【分析】根據比例尺＝圖上距離：實際距離，可知實際距離＝圖上距離÷比例尺．【解答】解：根據題意，3÷＝3000000厘米＝30千米．即實際距離是30千米．故答案為：30．9．已知兩相似三角形的對應中線的比是2：3，其中較大的三角形的面積為27，則較小的三角形的面積是12．【分析】根據相似三角形的性質得到兩相似三角形的面積比是4：9，根據題意列式計算即可．【解答】解：∵兩相似三角形的對應中線的比是2：3，∴兩相似三角形的相似比是2：3，∴兩相似三角形的面積比是4：9，∵較大的三角形的面積為27，∴較小的三角形的面積為：27×＝12，故答案為：12．10．如果線段a＝4cm，b＝9cm，那么它們的比例中項是6cm．【分析】根據比例中項的定義，列出比例式即可得出中項，注意線段不能為負．【解答】解：根據比例中項的概念結合比例的基本性質，得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積．所以c2＝4×9，x＝±6，（線段是正數，負值舍去），故答案為：6．11．已知點M是線段AB的黃金分割點（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝（3﹣3）cm．【分析】根據黃金分割點的定義，知AM是較長線段；則AM＝AB，代入數據即可得出AM的長．【解答】解：∵M是線段AB的黃金分割點（AM＞MB），AB＝6cm，∴AM＝AB＝×6＝（3﹣3）cm，故答案為：（3﹣3）．12．如圖，G是△ABC的重心，過點G作EF∥BC，分別交AB、AC于點E、F，若BC＝6，則EF＝4．【分析】如圖，連接AG并延長，交BC于點P，由三角形的重心的性質可知AG＝2GP，則AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根據相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，從而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，結合BC＝6可求EF的長度．【解答】解：如圖，連接AG并延長，交BC于點P．∵G為△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，∵EF過點G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3，又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∵BC＝6，∴EF＝4．13．如圖，梯形ABCD中，點E、F分別在AB、DC邊上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，則FD＝5．【分析】根據AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，可得出FC：FD＝1：2，再根據FC＝2.5，即可得出FD的長度．【解答】解：∵AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，∴FC：FD＝1：2，∵FC＝2.5，∴FD＝5．故答案為5．14．在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，則BD＝4．【分析】由DE∥BC可判定△ADE∽△ABC，從而可得比例式，結合DE：BC＝1：3，可求得AB的值，最后根據BD＝AB﹣AD計算即可．【解答】解：依題意畫出圖形，如圖：在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵DE：BC＝1：3，∴＝，∵AD＝2，∴AB＝6，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4．故答案為：4．15．在平面直角坐標系xOy中有一點A（3，4），如果OA與x軸正半軸的夾角為α，那么sinα＝．【分析】根據勾股定理和A（3，4），可得OA的長，根據OA與x軸正半軸的夾角為α，可得sinα的值．【解答】解：∵A（3，4），∴OA＝＝5，∴sinα＝．故答案為：．16．如圖，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝12．【分析】首先由在△ABC中，∠ABD＝∠C，可以證明△ABD∽△ACB，然后利用相似三角形的性質和已知條件即可求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABD＝∠C，而∠A公共，∴△ABD∽△ACB，∴AB2＝AD?AC，而AD＝9，CD＝7，∴AC＝16，∴AB＝12．17．如圖，在平行四邊形ABCD中，點F是CD的中點，BF和AC交于點E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝（+）．【分析】根據平行四邊形的性質和平行線截線段成比例求得AE線段的長度，結合平行四邊形法則求得即可．【解答】解：∵點F是CD的中點，∴FC＝DC．又∵在平行四邊形ABCD中，CD∥AB，CD＝AB，∴＝，即＝＝，∴AE＝AC．∵＝，＝，∴＝+＝+，∴＝＝（+），故答案是：（+）．18．如圖，在△ABC中，D是AC邊的中點，連接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，聯結AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，則點D到BC′的距離為．【分析】連接CC'，交BD于點M，過點D作DH⊥BC'于點H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，證△ADC'為等邊三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的長，在△BDC'中利用面積法求出DH的長，則可得出答案．【解答】解：如圖，連接CC'，交BD于點M，過點D作DH⊥BC'于點H，∵AD＝AC′＝2，D是AC邊上的中點，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'為等邊三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'?DH＝BD?CM，∴DH＝3×，∴DH＝，∵∠DCB＝∠DBC'，∴點D到BC的距離為．故答案為：．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：cos245°﹣+cot230°．【分析】根據特殊角三角函數值，可得實數的運算，根據實數的運算，可得答案．【解答】解：原式＝（）2﹣+（）2＝﹣+3＝．20．（10分）如圖，已知兩個不平行的向量、，先化簡，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．（不要求寫作法，但要指出圖中表示結論的向量）【分析】根據平面向量的加法法則計算即可，利用三角形法則畫出圖形即可．【解答】解：2（2﹣）﹣3（+）＝4﹣2﹣3﹣＝﹣3．如圖，即為所求．21．（10分）已知：如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：（1）△ABC的面積；（2）∠C的余弦值．【分析】（1）根據題意作AD⊥BC于點D，然后根據題目中的條件可以求得AD的長，從而可以求得△ABC的面積；（2）根據題意和（1）中的條件可以求得CD和AC的，從而可以求得∠C的余弦值．【解答】解：（1）作AD⊥BC于點D，∵在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，∴∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，∴BD＝3，∴AD＝3，∴△ABC的面積是：；（2）由（1）知∠ADC＝90°，BD＝3，AD＝3，∵BC＝8，∴CD＝5，∴AC＝2，∴cos∠C＝．22．（10分）△ABC是一塊直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如圖將它加工成正方形零件，試說明哪種方法利用率高？（得到的正方形的面積較大）【分析】由勾股定理求得AB，所截的正方形的邊在△ABC的直角邊上，如圖1，設正方形CDEF邊長為x，則DE＝CD＝x，BD＝BC﹣CD＝6﹣x，先證明△BDE∽△BCA，于是可利用相似比求得x＝cm；當所截的正方形的邊在△ABC的斜邊上，如圖2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，先利用面積法計算出CH＝cm，設正方形MNPQ邊長為x，則QM＝x，BJ＝﹣x，證明△CMQ∽△CBA，則可利用相似比計算出x＝cm，然后比較兩個正方形的邊長的大小來判斷哪種方法利用率高．【解答】解：當所截的正方形的邊在△ABC的直角邊上，如圖1，設正方形CDEF邊長為x，則DE＝xcm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF邊長為cm；當所截的正方形的邊在△ABC的斜邊上，如圖2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，則MN∥CH，AB＝＝＝10，∵CH?AB＝AC?BC∴CH＝＝（cm），設正方形MNPQ邊長為x，則QM＝x，BJ＝﹣x，∵QM∥AB，∴△CMQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF邊長為（cm）；∵＝＞，∴圖1利用率高．23．（12分）已知：如圖，BF、CE分別是△ABC的邊AC、AB上的高，BF與CE相交于點O，AN是∠BAC的角平分線，交EF于點M，交BC于點N．（1）求證；△ABF∽△ACE；（2）求證：＝．【分析】（1）由“有兩個角分別相等的三角形相似“來判定即可；（2）由△ABF∽△ACE可得比例式＝，再結合夾角相等，可判定△EAF∽△CAB，從而可得＝①，∠AEF＝∠ACB；然后結合角平分線的定義可得∠EAM＝∠CAN，則可判定△EAM∽△CAN，進而得出比例式＝②，由①②可得結論．【解答】解：（1）證明：∵BF、CE分別是△ABC的邊AC、AB上的高，∴BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠CAE＝∠BAF，∴△ABF∽△ACE；（2）證明：∵△ABF∽△ACE，∴＝，∴＝，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴＝①，∠AEF＝∠ACB，∵AN是∠BAC的角平分線，∴∠EAM＝∠CAN，∴△EAM∽△CAN，∴＝②，由①②可得：＝．24．（12分）已知如圖，D是△ABC的邊AB上一點，DE∥BC，交邊AC于點E，延長DE至點F，使EF＝DE，聯結BF，交邊AC于點G，聯結CF（1）求證：＝；（2）如果CF2＝FG?FB，求證：CG?CE＝BC?DE．【分析】（1）首先證明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根據相似三角形的對應邊的比相等，以及DE＝EF即可證得；（2）首先證明△CFG∽△BFC，證得＝，∠FCE＝∠CBF，然后根據平行線的性質證明∠FEG＝∠CEF，即可證得△EFG∽△ECF，則＝＝，即可證得＝，則所證結論即可得到．【解答】證明：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，∴＝，＝，又∵DE＝EF，∴＝，∴＝；（2）∵CF2＝FG?FB，∴＝，又∵∠CFG＝∠CFB，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∠FCE＝∠CBF，又∵DF∥BC，∴∠EFG＝∠CBF，∴∠FCE＝∠EFG，又∵∠FEG＝∠CEF，∴△EFG∽△ECF，∴＝＝，∴＝，即CG?CE＝BC?DE．25．（