江蘇省七年級開學分班考專項復習06競賽知識（4種題型）題型一：整數的綜合運用一、單選題1．（2021·全國·競賽）從正整數里取出k個不同的數，使得這k個數中任意兩個數之差的絕對值是質數，則k的最大值是（

）．A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題2．（2021·全國·競賽）下列豎式是1995減去一個三位數其差仍為一個三位數的算式，每個“○”內蓋住一個數字．設被“○”蓋住的六個數字之和為a，六個數字之積為b，則的最小值是___________．3．（2021·全國·競賽）一個十位數，其數碼只能是2或3，且沒有2個3是相鄰的，則這樣的十位數共有______個．4．（2021·全國·競賽）一本書共有61頁，順次編號為1，2，…，61，某人將這些數相加時，有兩個兩位數的頁碼都錯把個位數和十位數弄反了（形如的兩位數被當成了兩位數），結果得到總和是2008，那么書上這兩個兩位數頁碼之和的最大值是_________．5．（2021·全國·競賽）把正整數1，2，3，…，10分成兩組，其中A組：；B組：．現從A、B兩組中各取出一個數，把取出的數相乘，則所有不同的兩個數乘積的和的最大值為_________．6．（2021·全國·競賽）將n個棋子放于10個盒子內，可以找到一種放法，使每個盒子內都有棋子，且這10個盒子內的棋子數都不同．若將（）個棋子放入11個盒子內，都找不到一種放法，能使每個盒子內都有棋子，并且這11個盒子內的棋子數都不相同，則n的最大值等于_______，最小值等于_________．三、解答題7．（2021·全國·競賽）對某個正整數n進行一次操作：如果為偶數，則將除以2，得到；若為奇數，則加上1再除以2，求證：對任意正整數，經過有限次操作后必變為18．（2021·全國·競賽）在黑板上寫上三個整數，然后將其中一個擦去，換上其他兩個數之和與1的差．將這個過程重復若干次后得到．問一開始黑板上寫出的三個數是否可能是或？9．（2021·全國·競賽）在格子紙的每一個方格中放上一個正整數，我們每次可進行如下的操作：在格子紙上任取一個或的子棋盤，并將這個子棋盤內每個數都加上1，問是否能經過有限次這樣的操作，使得這個格子紙上的64個方格中的數均為10的倍數？10．（2021·全國·競賽）黑板上寫著從1到1988的正整數，對這些數交替進行操作和操作，即先后，再，再，并這樣繼續下去．操作為將黑板上寫的每一個數都減去同一個正整數（在不同次的操作中，減去的數可以不同）；操作為擦去某兩個數，然后寫上該兩數的和，操作過程一直進行到某次之后，黑板上僅剩下一個數時為止．已知該數非負，求這個數．11．（2021·全國·競賽）有一堆火柴共有1千萬根，甲、乙兩人進行如下游戲：甲先取并且兩人輪流取火柴，在每一步中游戲者可從堆中取走根火柴，其中為質數，．誰取到最后根火柴，誰就獲勝．問甲、乙兩人誰有必勝策略？怎樣獲勝？12．（2021·全國·競賽）桌上有3堆火柴，根數分別是100，200，300，甲、乙兩人進行游戲．甲先開始并輪流進行如下操作：每次取走一堆火柴，再把余下的兩堆火柴中的一堆分成非空的兩堆，輪到誰不能進行操作，就算誰輸．問在兩人都能確操作的前提下，誰有必勝策略？說明理由．13．（2021·全國·競賽）甲、乙兩人進行數學游戲，先寫出數0，1，2，…，1024．甲先從中勾掉512個數，然后乙從余下的數中勾去256個數，然后甲再勾掉128個．如此繼續下去，在第10步乙勾掉一個數后還剩下兩個數，此時乙應付給甲分數，分數之值等于余下兩個數之差，試問怎樣勾數對甲有利，怎樣勾數對乙有利？如果兩人都以最佳的方式執步，乙將付給甲多少分？14．（2021·全國·競賽）2006個都不等于119的正整數排列成一行數，其中任意連續若干項的和都不等于119，求的最小值．15．（2021·全國·競賽）某學生在黑板上寫出了17個自然數，每個自然數的個位數碼只能是這5個數字中的一個，求證：從這17個數中可以選出5個數，它們的和能被5整除．16．（2021·全國·競賽）從1，2，…，205共205個正整數中，最多能取出多少個數，使得對于取出來的數中的任意三個數a，b，c（）都有．17．（2021·全國·競賽）如果兩個整數x，y的和、差、積、商的和等于100，那么這樣的整數有幾對？并求x與y的和的最小值，及x與y的積的最大值．18．（2021·全國·競賽）設a，b，c，，，，是七個兩兩不同的質數，且a，b，c中兩數之和是800．設d是這七個實數中最大數與最小數的差，求d的最大可能值．19．（2021·全國·九年級競賽）如圖，在方格內已填有16個數字，可以對問題格中數字進行如下的操作：將一行或一列或一條對角線上的4個數同時加上或減去同一個正整數．問能否經過有限次操作使16個數都相等？187620103245568920．（2021·全國·競賽）已知三個正整數倒數之和等于，求這三個數．21．（2021·全國·競賽）從1，2，3，…，50這50個正整數中任取n個數，在這n個數中總能找到3個數，它們兩兩互質．求n的最小值．22．（2021·全國·競賽）設正整數n有如下性質：1，2，…，n中任取99個不同的數，這99個數中必有兩個數的差等于7，求n的最大值．23．（2021·全國·競賽）從1，2，3，…，2010這2010個正整數中，最多能取出多少個數，使得對于任意取出的一個數x，都有不在取出的數中？24．（2021·全國·競賽）已知n個（）正整數，把它們從小到大排列為．若這n個正整數的和等于這n個正整數的積，求的最大值．25．（2021·全國·競賽）（1）證明：在任意連續13個正整數中，必存在一個數，它的各位數字之和被7整除；（2）在任意連續12個正整數中，是否一定存在一個數，它的各位數字之和被7整除？如果一定存在，請給出證明；如果不一定存在，請舉出實例說明．題型二：十進制整數及表示法一、填空題1．軍訓基地購買蘋果慰問學員．已知蘋果總數用八進位制表示為，七進位制表示為．那么，蘋果的總數用十進位制表示為________．二、解答題2．把化為十進制小數．3．將十進制數2002化成二進制數．4．有一個寫成七進制的三位數，如果把各位數碼按相反順序寫出，并把它看成是九進制的三位數，且這兩數相等，求這個數．5．在哪種進位制中，16324是125的平方？6．N是整數，它的b進制表示是777，求最小的正整數b，使得N是十進制整數的4次方．7．在哪種進位制中，？8．化為二進制數．9．求證：對于任意進位制的數，10201都是合數．10．將化為下列進位制的數：（1）二進位制的數；（2）八進位制的數．11．設在三進位制中，數N的表示是20位數：12112211122211112222，求N在九進位制中表示最左邊的一位數字．12．設1987可以在b進位制中寫成三位數，且，試確定出所有可能的x，y，z和b．13．計算：（1）；（2）；（3）．題型三：整除性一、填空題1．大約1500年前，我國偉大的數學家祖沖之，計算出的值在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個把的值精確到7位小數的人，現代入利用計算機已經將的值計算到了小數點后515億位以上．這些數排列既無序又無規律，但是細心的同學發現：由左起的第一位3是質數，31也是質數，但314不是質數，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，質數是______．2．在0，1，2，…，49，50這51個數中，能同時被2，3整除的數共有______個．3．已知p，q均為質數，其中有一個是一位數，，如果今天是星期一，且天后的那一天不是星期一，那么是星期_________．二、解答題4．已知，a，b為正整數，求a的最小值．5．任給5個整數，證明必能從中選出3個，使得它們的和被3整除．6．從1，2，3，…，2010中最多能挑出多少數，使其中的任何兩個數之和不被其差整除？7．（1）求出所有的正整數n，使被7整除．（2）求證：沒有正整數n能使2被7整除．8．能同時被6，7，8，9整除的五位數有多少個?9．p是質數，設也是質數，試確定q的值．10．已知p為大于3的質數．證明：p的平方被24除的余數為1．題型四：素數、合數、最大公因數與最小公倍數一、單選題1．滿足個位數字與百位數字之和是十位數字的5倍的三位數共有（

）A．8個 B．9個 C．18個 D．29個二、填空題2．已知a是質數，b是奇數，且，則_________．3．若a，b，c是1998的三個不同的質因數，且，則______．4．已知都是質數，且，那么滿足上述條件的最小質數______，______．5．立方體的每一個面都寫著一個自然數，并且相對兩個面所寫兩個數之和相等，10，12，15是相鄰三面上的數，若10的對面寫的是質數a，12的對面寫的是質數b，15的對面寫的是質數c，則的值等于_________．6．在算式中，A，B，C是三個互不相等的質數，那么_____．7．已知，其中a，b均為小于1000的質數，x是偶數，那么x的最大值是_______．8．9個連續的正奇數中，最多有___________個質數．9．已知，，為素數，且整除，則__________．10．若素數，滿足，則______．三、解答題11．若p和q都是質數，并且關于x的