達標訓練基礎?鞏固1.如圖28.2-21，電線桿AB的中點C處有一標志物，在地面D點處測得標志物的仰角為45°，若點D到電線桿底部點B的距離為a，則電線桿AB的長可表示為()圖28.2-21A.aB.2aC.D.思路解析：直接用等腰直角三角形的性質.答案：B2.如圖28.2-22，梯形護坡石壩的斜坡AB的坡度i=1∶3，壩高BC為2米，則斜坡AB的長是()圖28.2-22A.米B.米C.米D.6米思路解析：坡度的定義，所以BC∶AC∶AB=1∶3∶.答案：B3.AE、CF是銳角△ABC的兩條高，如果AE∶CF=3∶2，則sinA∶sinC等于()A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶9思路解析：畫出圖形，在Rt△AFC中，sinA=；在Rt△AEC中，sinC=.所以sinA∶sinC==CF∶AE=2∶3.[來源:學#科#網]答案：B4.如圖28.2-23，等腰三角形ABC的頂角為120°，腰長為10，則底邊上的高AD=________.圖28.2-23思路解析：等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊，Rt△ADC中，AC=10，∠DAC=60°.答案：55.如圖28.2-24是一口直徑AB為4米，深BC為2米的圓柱形養蛙池，小青蛙們晚上經常坐在池底中心O觀賞月亮，則它們看見月亮的最大視角∠COD=_______度(不考慮青蛙的身高).圖28.2-24思路解析：在Rt△OBC中，OB=OC，可以得到∠BOC=45°，所以∠COD=2∠BOC=90°.答案：90°6.如圖28.2-25，小勇想估測家門前的一棵樹的高度，他站在窗戶C處，觀察到樹頂端A正好與C處在同一水平線上，小勇測得樹底B的俯角為60°，并發現B點距墻腳D之間恰好鋪設有六塊邊長為0.5米的正方形地磚，因此測算出B點到墻腳之間的距離為3米，請你幫助小勇算出樹的高度AB約多少米？(結果保留1位小數)圖28.2-25[來源:]思路解析：在Rt△ABC中，∠A=90°,∠BCA=60°，AC=3米，用正切函數關系求出AB的長.解：如圖，在Rt△ABC中，AC=BD=3米，tan∠BCA=，所以AB=AC×tan∠BCA=3×tan60°=3×≈5.2(米).答：樹的高度AB約為5.2米.綜合?應用7.如圖28.2-26，天空中有一個靜止的廣告氣球C，從地面A點測得C點的仰角為45°，從地面B點測得C點的仰角為60°.已知AB=20米，點C和直線AB在同一鉛垂平面上，求氣球離地面的高度(結果保留一位小數).圖28.2-26思路解析：作出氣球離地面的高度，構成了直角三角形，利用直角三角形求解.解：作CD⊥AB,垂足為D.設氣球離地面的高度是x米.在Rt△ACD中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x.在Rt△CBD中，∠CBD=60°，所以tan60°=，BD=.因為AB=AD-BD，所以20=x-.解得x≈47.3(米).答：氣球離地面的高度約是47.3米.8.初三(5)班綜合實踐小組去湖濱花園測量人工湖的長，如圖28.2-27所示，A、D是人工湖邊的兩座雕塑，AB、BC是湖濱花園的小路，小東同學進行如下測量，B點在A點北偏東60°方向，C點在B點北偏東45°方向，C點在D點正東方向，且測得AB=20米，BC=40米，求AD的長.(結果精確到0.01米)圖28.2-27思路解析：作高構造直角三角形并尋找線段之間的關系.解：過點B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分別為E、F.由題意，知AD⊥CD.因為四邊形BFDE為矩形，所以BF=ED.在Rt△ABE中，AE=AB×cos∠EAB，在Rt△BCF中，BF=BC×cos∠FBC，所以AD=AE+BF=20×cos60°+40×cos45°=20×+40×=10+，即AD≈10+20×1.414=38.28(米).9.如圖28.2-28，城市規劃期間，要拆除一電線桿AB，已知距電線桿水平距離14米的D處有一大壩，背水坡的坡度i=2∶1，壩高CF為2米，在壩頂C處測得桿頂A的仰角為30°，D、E之間是寬為2米的人行道.請問：在拆除電線桿AB時，為確保行人安全，是否需要將此人行道封上?請說明理由(在地面上，以點B為圓心，以AB長為半徑的圓形區域為危險區域).圖28.2-28思路解析：有沒有必要將此人行道封上，就要看電線桿倒下時，能不能到達人行道上，若AB＞BE，則電線桿會倒到人行道上.只要計算出AB的長，利用30°仰角這個條件，可以在點Ｃ處作CH⊥AB，在Rt△AHC中解直角三角形.解：在拆除電線桿AB時，不需要將此人行道封上.理由如下：作CH⊥AB，垂足為H.在Rt△CDF中，I=，所以DF=CF=×2=1(米).所以HC=BF=BD+DF=14+1=15(米).在Rt△AHC中，tan∠ACH=，所以AH=HC×tan∠ACH=15×tan30°=15×≈8.7(米).因此AB=AH+HB=AH+CF=8.7+2=10.7(米).因為BE=BD-DE=14-2=12(米)，10.7<12,所以電線桿不會倒到人行道上，不需要將此人行道封上.回顧?展望10.(2010湖北武漢模擬)如圖28.2-29，某飛機于空中A處探測倒地面目標B，此時從飛機上看目標B的俯角α=30°，飛行高度AC=1200米，則飛機到目標B的距離AB為()圖28.2-29A.1200米B.2400米C.米D.米思路解析：∠ABC=α，解直角三角形.答案：B11.(山東泰州模擬)一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡筆直滑下，滑下的距離s(米)與時間t(秒)間的關系為s=10t＋2t2，若滑到坡底的時間為4秒，則此人下降的高度為()圖28.2-30A.72mB.36mC.36mD.m思路解析：根據公式，算出斜坡的坡長，構造斜邊為s的直角三角形，用坡比的定義解答.[來源:]答案：C12.(湖北荊州模擬)如圖28.2-31，測量隊為了測量某地區山頂P的海拔高度，選M點作為觀測點，從M點測量山頂P的仰角為30°，在比例尺為1∶50000的該地區等高線地形圖上，量得這兩點的圖上距離為6厘米，則山頂P的海拔高度為()圖28.2-31A.1732米B.1982米C.3000米D.3250米思路解析：等高線地圖上，兩點的圖上距離是指兩點的水平距離，山頂的海拔高度是指P點的豎直高度，畫出視線、兩點的水平距離、高度的示意圖，它們可以構成直角三角形，通過解直角三角形求出.如圖，在Rt△POM中，∠O=90°，∠M=30°，OM=6×500=3000(米)，因為tanM=，所以OP=OM×tan30°=3000×≈1732(米).答案：A13.(2010吉林長春模擬)某商場門前的臺階截面積如圖28.2-32所示.已知每級臺階的席度(如CD)均為0.3m，高度(如BE)均為0.2m.現將此臺階改造成供輪椅行走的斜坡，并且設計斜坡的傾斜角∠A為9°，計算從斜坡的起點A到臺階前點B的距離(精確到0.1m)(參考數據：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).圖28.2-32思路解析：根據圖形，構造直角三角形.解：如圖，過C作CF⊥AB交AB的延長線于F.由條件，得CF=0.8m，BF=0.9m.在Rt△CAF中，∵tanA=，∴AF≈=5(m).∴AB=AF-BF=5-0.9=4.1(m).答：從斜坡起點A到臺階前點B的距離約為4.1m.14.(2010四川廣安模擬)如圖28.2-33，海上有一燈塔P，在它周圍3海里處有暗礁.一艘客輪以9海里/時的速度由西向東航行,行至A點處測得P在它的北偏東60°的方向,繼續行駛20分鐘后,到達B處又測得燈塔P在它的北偏東45°方向.問客輪不改變方向繼續前進有無觸礁的危險?[來源:學#科#網]圖28.2-33[來源:Z。xx。k]思路解析：構造直角三角形，用方程求解點P到AB的距離，若這個距離大于3海里，表明客輪在暗礁范圍外，客輪不會觸礁.解：過P作PC⊥AB于C點，據題意知:AB=9×=3.∵∠PCB=90°，∠PBC=90°-45°=45°,∴PC=BC.在Rt△PAC中，∠PAB=90°-60°=30°，∴tan30°=,即.∴.∴客輪不改變方向繼續前進無觸礁危險.15.(2010浙江諸暨模擬)如圖28.2-34，由山腳下的一點A測得山頂D的仰角是45°，從A沿傾斜角為30°的山坡前進1500米到B，再次測得山頂D的仰角為60°，求山高CD.圖28.2-34思路解析：題目中知道AB的長，需要把AB轉化到直角三角形中，考慮∠DBE=60°，過點B分別向AC、DC作垂線，構成直角三角形.解：過點B作CD、AC的垂線，垂足分別為E、F.∵∠BAC=30°，AB=1500米,∴BF=EC=750米，AF=米.設FC=x米,[來源:]∵∠DBE=60°,∴DE=米.又∵∠DAC=45°,∴AC=CD,即+x=750+米.得x=750.∴CD=(750+)米.答：山高CD為(750+)米.16.如圖28.2-35所示，A、B為兩個村莊，AB、BC、CD為公路，BD為田地，AD為河寬，且CD與AD互相垂直.現在要從E處開始鋪設通往村莊A、村莊B的一條電纜，共有如下兩種鋪設方案：圖28.2-35方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.經測量得AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.已知：地下電纜的修建費為2萬元/千米，水下電纜的修建費為4萬元/千米.(1)求出河寬AD(結果保留根號)；(2)求出公路CD的長；(3)哪種方案鋪設電纜的費用低？請說明你的理由.思路解析：這是一道幾何應用題，解題時要善于把實際問題抽象成幾何圖形，并領會圖形中的幾何元素代表的意義，由題意可分析出，當A點距臺風中心不超過160千米時，會受臺風影響，若過A作AD⊥BC于D，設E，F分別表示A市受臺風影響的最初、最后時臺風中心的位置，則AE=AF=160千米；當臺風中心位于D處時，A市受臺風影響的風力最大.解：(1)如圖，經過點A作AD⊥BC，垂足為D.在Rt△ABD中，AB=220，∠B=30°.所以AD=110(千米).由題意，當A點距臺風中心不超過160千米時，將會受到臺風的影響.故該城市會受到這次臺風的影響.(2)由題意，當A點距臺風中心不超過160千米時，將會受到臺風的影響，由對稱性可以知道AE=AF=160千米.當臺風中心從E處移到F處時，該城市都會受到這次臺風的影響.在Rt△ADE中，由勾股定理，得.所以EF=(千米).因為該臺風中心以15千米／時的速度移動.所以這次臺風影響該城市的持續時間為(小時).(3)當臺風中心位于D處時，A市所受這次臺風的風力最大，其最大風力為(級).17.臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數十千米范圍內形成氣旋風暴，有極強的破壞力.如圖28.2-36，據氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風中心，其中心最大風力為12級，每遠離臺風中心20千米，風力就會減弱一級，該臺風中心現正以15千米/時的速度沿北偏東30°方向往C移動，且臺風中心風力不變.若城市所受風力達到或超過四級，則稱為受臺風影響.圖28.2-36(1)該城市是否會受到這次臺風的影響?請說明理由.[來源:](2)若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市的持續時間有多長?(3)該城市受到臺風影響的最大風力為幾級?[來源:]思路解析：本題的實質是解兩個非直角三角形，一般是適當作高，運用特殊角解直角三角形.在△ABD中，過點B作AD邊的高，得到一個等腰直角三角形(大三角形)和一個含30°的特殊直角三角形.同理，CD的長也可以在△BCD中作高計算得到.比較兩個方案，就是計算兩種方案的鋪設費用大小，A→D需鋪設水下電纜.解：(1)過點B作BF⊥AD，交DA的延長線于F(