第8章理想光學系統8.1理想光學系統的基點和基面8.2理想光學系統的物像關系8.3理想光學系統的組合8.4厚透鏡及其基點與基面8.5矩陣在近軸光學系統中的應用8.6

ABCD法則及其在激光束傳輸中的應例題8.1理想光學系統的基點和基面8.1.1理想光學系統的基本特性理想光學系統具有以下基本特性：①點成點像。即物空間的每一點，在像空間必有一個點與之對應，且只有一個點與之對應，這兩個對應點稱為物像空間的共軛點。②線成線像。即物空間的每一條直線在像空間必有一條直線與之對應，且只有一條直線與之對應，這兩條對應直線稱為物像空間的共軛線。③平面成平面像。即物空間的每一個平面，在像空間必有一個平面與之對應，且只有一個平面與之對應。這兩個對應平面稱為物像空間的共軛面。④對稱軸共軛。即物空間和像空間存在著一對唯一的共軛對稱軸。當物點A繞物空間的對稱軸旋轉一個任意角α時，它的共軛像點A′也繞像空間的對稱軸旋轉同樣的角度α，這樣的一對共軛軸稱為光軸。根據理想光學系統上述特征，可以得到如下推論：物空間的任一個同心光束必對應于像空間中的一個同心光束；若物空間中的兩點與像空間中的兩點共軛，則物空間兩點的連線與像空間兩點的連線也一定共軛；若物空間任意一點位于一直線上，則該點在像空間的共軛點必位于該直線的共軛線上。

上述定義只是理想光學系統的基本假設。在均勻透明介質中，除平面反射鏡具有上述理想光學系統的性質外，任何實際的光學系統都不能絕對完善成像。

研究理想光學系統成像規律的實際意義在于，用它所成的像可以作為衡量實際光學系統成像質量的標準。通常把理想光學系統計算公式(近軸光學公式)計算出來的像，稱為實際光學系統的理想像。另外，在設計實際光學系統時，用理想像近似表示實際光學系統所成像的位置和大小，即實際光學系統設計的初始計算。8.1.2理想光學系統的基點和基面如圖8-1所示，在一個光學系統的近軸區，已知兩個物面π1和π2的共軛像面分別為π1′和π2′，其垂軸放大率分別為β1和β2。現考慮任一物點A，通過它的任一條入射光線與兩個已知物面的交點分別為B1和B2，它們相對光軸的高度為y1和y2。B1和B2經過光學系統成像的像點B1′和B2′必然位于兩個已知物面的共軛面π1′和π2′上，其相對光軸的高度分別等于β1y1和β2y2，從而可以確定像點B1′和B2′的位置，并且經過B1′和B2′的光線就是入射光線對應的出射光線。通過A點再作另外一條光路，它與兩個已知物面的交點為C1和C2；同理，可以作出相應的出射光線,它與π1′和π2′的交點為C1′和C2′。顯然，兩條出射光線B1′B2′和C1′C2′的交點就是A點的像點A′。由此可見，當光學系統成完善像時，已知兩個共軛面及其垂軸放大率就可以完全確定光學系統的成像關系。

圖8-1由兩個共軛面確定物像位置關系在圖8-2所示的另一個光學系統的近軸區，已知一個物面π和其共軛像面π′，它們之間的垂軸放大率為β，還已知兩對共軛點，即B0、C0和其高斯像點B0′、C0′。現考慮任一物點A，作出通過它和B0的一條入射光線，該入射光線與已知的物面π的交點為B1，根據π的共軛像面π′的位置和它們之間的垂軸放大率可以確定B1的像點B1′，則由B0′和B1′就確定了出射光線。同理，可以確定出與通過A和C0的入射光線相應的出射光線C0′C1′。這兩條出射光線B0′B1′和C0′C1′的交點即為A的像點A′。由此可見，當光學系統成完善像時，已知一對共軛面及其垂軸放大率和兩對共軛點，也可以完全確定光學系統的成像關系。圖8-2由一對共軛面和兩對共軛點確定物像位置關系

1.主點和主平面在理想光學系統中，將垂軸放大率為1的一對共軛面稱為主平面，其中物面稱為物方主平面，像面稱為像方主平面。物方主平面和光軸的交點稱為物方主點，習慣用H表示；像方主平面和光軸的交點稱為像方主點，習慣用H′表示。主平面具有以下的性質：假定物空間的任意一條光線和物方主平面的交點為P，如圖8-3所示，它的共軛光線與像方主平面交于P′點，則P和P′距光軸的距離相等。圖8-3主平面的性質

2.焦點和焦平面在理想光學系統中定義了兩對特殊的共軛點。一對共軛點為光軸上位于無窮遠的物點和其像點F′，F′稱為理想光學系統的像方焦點，如圖8-4(a)所示。另外一對共軛點為光軸上位于無窮遠的像點和其共軛物點F，F稱為物方焦點，如圖8-4(b)所示。像方焦點相對像方主點沿光軸的線度稱為像方焦距，表示為f′，物方焦點相對物方主點沿光軸的線度稱為物方焦距，表示為f，如圖8-4所示。經過像方焦點和光軸垂直的平面稱為像方焦平面，經過物方焦點和光軸垂直的平面稱為物方焦平面。圖8-4理想光學系統的像方焦點和物方焦點

3.節點和節平面焦點是按照共軛點的空間位置定義的，有時根據光學系統對光線的傳播方向的影響定義共軛點，這就是節點。理想光學系統的節點是指角放大率為+1的一對共軛點。在物空間的節點稱為物方節點，像空間的節點稱為像方節點，分別用字母J和J′表示。過物方節點并垂直于光軸的平面稱為物方節平面，過像方節點并垂直于光軸的平面稱為像方節平面。

節點具有以下的性質：通過物方節點的光線經過光學系統后，出射光線必然通過像方節點，并且光的傳播方向不變，如圖8-5所示，恒有U＝U′。

節點和節平面與焦點和焦平面、主點和主平面統稱為理想光學系統的基點和基面。顯然，已知H、H′、F和F′，光學系統的成像完全確定，通常表示理想光學系統時給出該四個點，同時畫出兩個主平面。

圖8-5節點的性質8.1.3基本幾何光學元件的基點和基面

1.薄透鏡的基點和基面由上一章薄透鏡成像關系知道，當薄透鏡的l=0時，則有l′=0，β=1,γ=1，所以薄透鏡的物方主點和像方主點重合，位于薄透鏡光心的位置，同時物方節點和像方節點也位于光心處。

2.折射球面的基點和基面在折射球面中，軸向放大率β=nl′/n′l，所以主平面相對頂點的位置滿足根據折射球面的成像公式可得

即折射球面的物方主點和像方主點重合，位于頂點上。由于節平面上角放大率，因而，根據折射球面成像公式可得

即折射球面的物方節點和像方節點重合，位于球心處。

3.球面反射鏡的基點和基面根據軸向放大率β=－l′/l和γ=l/l′，球面反射鏡的主平面和節平面相對頂點的位置滿足

根據球面反射鏡的成像公式可得即球面反射鏡的物方主點和像方主點重合，位于頂點上；球面反射鏡的物方節點和像方節點重合，位于球心處。8.2理想光學系統的物像關系8.2.1圖解法求像如圖8-6所示，理想光學系統的主點和焦點位置已知時，欲求一垂軸物體AB經光學系統的像，只需過B點作兩條特殊的入射光線，其中一條光線平行于光軸，出射光線必過像方焦點F′；另一條光線過物方焦點，出射光線必平行于光軸。兩出射光線的交點B′就是物點B的像點。因AB垂直于光軸，故過像點B′作垂直于光軸的線段A′B′就是物體AB經系統后所成的像。圖8-6理想光學系統圖解法求像為了作圖方便起見，有時需要知道任意光線經過光學系統后的出射方向，這時可以根據焦平面的性質作圖，下面介紹兩種常用的方法。一種方法是過物方焦點作一條與任意光線平行的輔助光線，任意光線與輔助光線所構成的和光軸有一定夾角的平行光束經光學系統折射后應會聚于像方焦平面上一點，這一點可由輔助光線的出射線平行于光軸而確定，從而求得任意光線的出射線的方向，如圖8-7(a)所示。圖8-7任意入射線的出射線的作圖另一種方法是認為任意光線是由物方焦平面上一點發出的光束中的一條。這時過該入射光線與物方焦平面的交點作一條平行于光軸的輔助線，其出射線必過像方焦點。由于入射光線的出射線平行于輔助光線的出射線，因而可求得任意光線的出射線方向，如圖8-7(b)所示。圖解法求解物像關系，方法簡單、直觀，便于判斷像的位置和虛實，但精度較低。為了更全面地討論物體經光學系統的成像規律，常采用解析法確定物像的關系。由此可得這就是牛頓公式。(8.2-1)8.2.2理想光學系統成像公式

1.牛頓公式在物方和像方分別以物方焦點和像方焦點作為參考點確定物面和像面的位置時，聯系物距和像距的公式為牛頓公式。如圖8-8所示，有一垂軸物體AB，其高度為y，經理想光學系統后成一倒像A′B′，像高為y′。由相似三角形△BAF和△FHN，△H′M′F′和△F′A′B′得圖8-8理想光學系統物像關系導出用圖(8.2-2)這就是高斯公式。

2.高斯公式在物方和像方分別以物方主點和像方主點作為參考點確定物面和像面的位置時，聯系物距和像距的公式稱為高斯公式。l和l′分別表示以物方主點為參考點的物距和以像方主點為參考點的像距，由圖可知l=x+fl′=x′+f′代入牛頓公式，整理后可得因代入上式得(8.2-4)

3.焦距間的關系如圖8-9所示，A′B′是物體AB經理想光學系統所成的像，由軸上點A發出的任意一條成像光線AQ，其共軛光線為Q′A′。AQ和Q′A′的孔徑角分別為u和u′。HQ和H′Q′的高度均為h。由圖得(8.2-3)圖8-9理想光學系統導出兩焦距關系用圖對于理想光學系統，不管角度u和u′有多大，上式均能成立。因此，當QA和Q′A′是近軸光時，上式也能成立。上式在近軸近似tanu≈u、tanu′≈u′情況下，可表示為與光學系統近軸區成完善像時的拉亥不變量nuy=n′u′y′相比較，可得理想光學系統物方和像方兩焦距之間關系的重要公式(8.2-5)當光學系統處于同一介質中時，即n′=n時，兩焦距絕對值相等、符號相反，即(8.2-6)

4.光焦度光焦度是光學系統對光線的會聚本領或發散本領的數值表示，它與光學系統的焦距有關。光學系統的光焦度，用字母j表示，定義為(8.2-7)

5.拉亥不變量將(8.2-5)式代入(8.2-4)式，得到理想光學系統的拉亥不變量公式(8.2-8)此式對任何能成完善像的光學系統均成立。8.2.3放大率

1.垂軸放大率理想光學系統的垂軸放大率β定義為像高y′與物高y之比。由圖8-8得(8.2-9)因為l′=x′+f′,l=f+x，上式又可以表示為(8.2-10)此式與單個折射球面近軸區成像的垂軸放大率公式完全相同，表明理想光學系統的成像性質可以在實際光學系統的近軸區得到實現。在一對共軛面間垂軸放大率為定值，與物體在物面的位置無關。(8.2-11)(8.2-12)

2.軸向放大率當軸上物點A沿光軸移動一微小距離dx(或dl)時，像A′沿光軸相應移動dx′(或dl′)，則理想光學系統的軸向放大率α定義為對牛頓公式或高斯公式關于物距和像距微分，可以求得(8.2-13)如果光學系統處于同一介質中，則α=β2。結合垂軸放大率公式(8.2-10)，可得α和β的關系為(8.2-14)

3.角放大率理想光學系統的角放大率γ定義為像方孔徑角u′的正切與物方孔徑角u的正切之比，即由(8-3a)式，角放大率γ可以表示為(8.2-15)結合垂軸放大率公式(8.2-9)和(8.2-10)，角放大率γ也可以表示為(8.2-16)可得γ和β的關系為(8.2-17)可見，理想光學系統的角放大率只和光線與光軸的交點的位置有關，而與孔徑角大小無關。光軸上同一對共軛點，所有像方孔徑角的正切和與之相應的物方孔徑角的正切之比恒為常數。將(8.2-13)和(8.2-17)式相乘，得到三種放大率之間的關系為αγ=β(8.2-18)8.2.4理想光學系統的基點位置關系光學系統中焦點和主點已知，光學系統的成像關系確定，隨之節點也確定。根據角放大率為1的節點的定義，以及理想光學系統角放大率公式(8.2-16)，可得節點相對于焦點的位置為xJ=f′，xJ′=f(8.2-19)即物方節點相對物方焦點的線度等于系統像方焦距，像方節點相對像方焦點的線度等于系統物方焦距，如圖8-10所示。這時有基本的線度公式HJ=H′J′=f′+f

(8.2-20)當光學系統物方和像方折射率相同時，根據(8.2-6)式，有HJ=H′J′＝0，這時節點和主點重合，如圖8-11所示。圖8-10理想光學系統的基點關系圖8-11同一介質中理想光學系統的基點關系8.2.5光學系統基點的測量

1.節點測量節點有一個重要的性質：通過節點的光線，傳播方向不變，即入射和出射光線彼此平行，利用該性質可以進行節點測量。實驗的裝置如圖8-12所示，在水平導軌上有一個轉臺，轉臺可以沿與導軌垂直的鉛垂線360°轉動。將測量的光學系統放置在轉臺上，學系統在轉臺上可以前后移動。當轉臺與導軌平行時，平行光管發出的平行于導軌軸線方向的平行光通過光學系統后，成像在像方焦平面上。因此可以在光學系統后用屏接收像，確定像方焦平面。圖8-12節點測量裝置確定像方焦平面后，小角度轉動轉臺，這時如果像方節點J′偏離導軌的軸線，如圖8-13所示，則由于入射光線的傳播方向沒變，經過像方節點J′的出射光線的方向仍然平行于導軌的軸線，該出射光線和光學系統像方焦平面的交點P就是平行光管發出的平行光的會聚像點。顯然，該像點偏離導軌軸線Δd。如果轉軸和光學系統像方節點J′重合，當轉臺小角度轉動時，經過像方節點的出射光線的位置不變，從而像點不動，據此就可以確定系統像方節點的位置。將轉臺旋轉180°，可以確定物方節點。當光學系統放置在同一種介質中時，實際上也確定了光學系統的主點。圖8-13節點測量原理圖

2.二次成像法測量焦距二次成像法測量焦距的原理如圖8-14所示，即：將物放置在兩個不同的物平面上，并測量兩次成像后像的大小，以及相對于第一次成像，第二次成像物面和像面的移動量Δx和Δx′，則由兩次成像后像的大小可以確定兩對共軛面的垂軸放大率β1和β2。根據理想光學系統垂軸放大率公式有圖8-14兩次成像法測焦距考慮到Δx=x2－x1，Δx′=x2′－x1′，將上面兩式相減得(8.2-21a)(8.2-21b)從而通過二次成像，并測量兩對共軛面的垂直放大率及其物面或像面的相對距離，就可以確定光學系統的焦距。

3.平行光線法測量焦距當光學系統放置在同一種介質中，讓平行光通過光學系統時，可以確定光學系統的像方焦平面。然后改變平行光管發出的平行光的方向，使其與光學系統光軸的夾角為U，如圖8-15所示，則在像方焦平面上像點將偏離光軸，偏離距離為h′，由圖可見，光學系統的焦距為(8.2-22)圖8-15平行光線法測焦距8.3理想光學系統的組合8.3.1雙光組組合雙光組組合是光組組合中常遇到的組合，也是最基本的組合。如圖8-16所示，系統由兩個光組構成，它們的焦距分別為f1′、f1和f2′、f2，各自物方和像方折射率分別為n1、n1′和n2、n2′，其中n2＝n1′，其基點位置如圖中所示。兩光組間的相對位置由第二光組的物方焦點F2相對第一光組的像方焦點F1′的相對線度Δ表示，Δ稱為該系統的光學間隔。以H1′為參考點，H2相對H1′的線度表示為d，稱為兩光組間的空間距離。顯然它們存在關系：d=f1′+Δ－f2

(8.3-1)圖8-16雙光組組合圖在物空間作一條平行于光軸的光線QQ1，經第一光組折射后過焦點F1′射入第二個光組，交第二個光組的物方主平面于R2點。利用物方焦平面的特性作出經第二個光組的出射線R2′F′，R2′F′與光軸交點F′就是合成光組的像方焦點。入射光線QQ1的延長線與其共軛光線R2′F′的交點Q′必位于合成光組的像方主平面上。過Q′作垂直于光軸的平面Q′H′，即為合成光組的像方主平面，它和光軸的交點H′為合成光組的像方主點。線段H′F′為合成光組的像方焦距f′,圖中f′＜0。同理，按照光路可逆，可以作出一條出射光線為平行于光軸的光線Q2′Q′的光路，自右向左重復上述步驟，即可求出合成光組的物方焦點F和物方主點H，HF為物方焦距f，圖中f＞0。上面通過圖解法得到了組合光組的基點，下面基于圖8-16給出確定基點位置的解析關系。組合光組的像方焦點F′和像方主點H′的位置可以以第二個光組的像方主點H2′為參考點確定，這時它們相對參考點的線度表示為lF′和lH′，也可以以第二個光組的像方焦點F2′為參考點確定，這時它們相對參考點的線度表示為xF′和xH′。按照符號法則，在圖8-16中它們均大于零。同樣，組合光組的物方焦點F和物方主點H的位置可以以第一光組的物方主點H1為參考點，也可以以第一個光組的物方焦點F1為參考點來確定，它們分別表示為lF、lH和xF、xH，在圖8-16中，它們均小于零。(8.3-2a)同理，合成光組的物方焦點F和第二光組的物方焦點F2對第一光組來說是一對共軛點。故有(8.3-2b)

1.焦點位置公式由圖8-16可見，合成光組的像方焦點F′和第一光組的像方焦點F1′對第二光組來說是一對共軛點。F′的位置xF′可用牛頓公式求得。這時公式中的x=－Δ，x′=xF′，所以有由于所以，將(8.3-2)式代入上式，可得基點相對于主點H2′和H1確定的組合光組焦點位置公式：(8.3-3)

2.焦距公式由圖8-16，根據△Q′H′F′與△N2′H2′F2′相似，△Q1′H1′F1′與△F1′F2E2相似，可以得到所以(8.3-4a)同理，△QHF與△F1H1N1相似，△Q2H2F2與相似，有所以(8.3-4b)

3.主點位置公式由圖8-16可見(8.3-5)將(8.3-2)式和(8.3-4)式代入上式，整理后得又由于(8.3-6a)將(8.3-5)式代入上式，并且考慮(8.3-1)式的關系，整理后得(8.3-6b)

4.光焦度公式根據光焦度的定義式(8.2-7)，以及組合光組的焦距公式(8.3-4a)，組合光組的光焦度j可以表示為(8.3-7)其中j1和j2為構成組合光組的兩個光組的光焦度。采用雙光組組合的方法，原則上可以確定由多個光組構成的光學系統。但是當光組的數目較大時，這種方法的求解過程將比較復雜。這時可以采取別的方法，譬如下面將要介紹的正切法和截距法。8.3.2正切法如圖8-17所示，已知三個光組的基點及各光組之間的間隔，作任意一條平行于光軸的入射光線通過三個光組的光路。當光學系統確定，該光路完全確定，其光線在每個光組上的入射高度分別為h1、h2、h3，出射光線與光軸的夾角為u3′。由圖可知將上式推廣到由多個光組構成的系統，例如系統有k個光組，則(8.3-8a)(8.3-8b)(8.3-8c)圖8-17三光組組合由此可見，如果確定了入射光線平行于光軸的一條光路，由出射光線和光軸的夾角以及它在最后一個光組的主平面上的截距，就可以確定像方焦點和主點。下面推導求解uk′和hk的公式。以第二個光組為例，設第二個光組的物方、像方焦距分別為f2和f2′，物距和像距分別為l2和l2′，將高斯成像公式兩邊同時乘以h2，可得由于，以及光焦度公式，上式可以表示為在轉面公式l3=l2′－d2的兩邊同時乘以tanu2′2，可得將其推廣到任一光組，有(8.3-9)(8.3-10)顯然，給定初值h1和tanu1，將上式應用到各個光組，就可以得到uk′和hk。在正切法求解基點時必須取tanu1=0，h1可以任意取值，通常取h1=f1′。通過上面的方法可以求得像方基點。將光學系統倒置，按照上述公式可以確定倒置后光學系統像方的基點，即為原來光學系統物方的基點。或者根據光路可逆，給定hk，取tanuk′=0求解h1和u1，則(8.3-11)8.3.3截距法截距法采用逐次成像法，通過確定無窮遠物逐次經過各個光組成像的物距和像距來確定基點。設光學系統由k個光組構成，第i個光組成像的物距和像距為li和li′，取l1=∞，根據像方焦距的定義可以知道，這時第k個光組的像點即為系統的像方焦點，即lF′=lk′(8.3-12)根據正切法像方焦距公式(8.3-8a)，像方焦距可以表示為如下的求解公式：由于(8.3-13)因而焦距可以表示為(8.3-14)上式結合(8.3-12)式就可以確定系統像方基點。將光學系統倒置，按照上述公式可以確定倒置后光學系統像方的基點，即為原來光學系統物方的基點。或者根據光路可逆，令lk′=∞，求解l1′，得8.3.4無焦系統當光學系統將無窮遠的物體成像在無窮遠時，即平行光束進入光學系統后，出射光束仍然是平行光束，這種系統稱為無焦系統或望遠鏡系統。在無焦系統中，當物位于有限距離時，物像關系就不能夠通過先確定光學系統的基點的辦法來確定。下面，將無焦系統看做圖8-18所示的兩個光組構成的系統，建立其物像關系。圖8-18無焦系統成像

1.物像關系根據牛頓成像公式，兩次成像的物像關系為x1x1′=f1f1′和x2x2′=f2f2′由于x1′=x2，因而x2′f1f1′=x1f2f2′(8.3-15)

2.垂軸放大率兩個光組的垂軸放大率公式為β1=－x1′/f1′，β1=－f2/x2，根據組合系統放大率公式β=β1β2，可得(8.3-16)

3.軸向放大率兩個光組的垂軸放大率公式為α1=－x1′/x1，α2=－x2′/x2，根據組合系統放大率公式α=α1α2，可得(8.3-17)

4.角放大率根據光學系統放大率之間的關系β=αγ，可得(8.3-18)(8.3-19)如果無焦系統處于空氣中，有f1′=－f1，f2′=－f2，則放大率公式可表示為由此可見，望遠鏡系統的放大率與物像位置無關，僅取決于構成它的兩個光組的焦距的大小。當這兩個光組確定后，其放大率為一常數。當兩個無焦系統組合后，依舊得到一個無焦系統。當用無焦系統觀察遠處物體時，由于無窮遠射來的平行光線經無焦系統后仍為平行光，此時在置于出射光束光路的屏上，我們不能看到任何像；若要獲得像就必須在無焦系統后面放一個有限焦距的光組，這里有限焦距光組可以是攝影物鏡，也可以是觀察者的眼睛。8.4厚透鏡及其基點與基面8.4.1厚透鏡基點一般公式確定厚透鏡基點常用的方法是將厚透鏡看做兩個折射球面的組合，通過雙光組組合方法來確定。現在以雙凸透鏡為例，推導厚透鏡的基點位置和結構參數的一般公式。如圖8-19所示，兩個曲率半徑為r1和r2的折射球面構成一個厚度為d的雙凸鏡，構成透鏡材料的折射率為n，透鏡前后介質為空氣。圖8-19厚透鏡的基點圖中畫出了兩個折射球面的基點，兩個折射球面的參數分別以下標1和2表示，兩個折射球面的焦距為光學間隔為根據以上參數，由雙光組組合(8.3-4)和(8.3-6)式可得由于透鏡放在同一介質中，節點和主點重合，通過上面三個關系，由結構就可以確定該透鏡的基點。(8.4-1)(8.4-2)(8.4-3)8.4.2厚透鏡基點厚透鏡有六種結構，即雙凸透鏡、雙凹透鏡、平凸透鏡、平凹透鏡、正彎月透鏡和負彎月透鏡，可參看圖7-22。下面對這六種結構透鏡的基點進行具體的分析。

1.雙凸透鏡雙凸透鏡的r1＞0，r2＜0，由(8.4-1)式可知，其像方焦距的正負與n(r2－r1)+(n－1)d異號，因此有：當時，f′＞0，透鏡為一個正透鏡。由式(8.4-2)和(8.4-3)可知，這時lH′＜0，lH＞0，圖8-20給出了一種基點分布結構。若使d增大到時，則f′＜0，雙凸透鏡變成了一個負透鏡。圖8-20凸透鏡的基點由于雙凸透鏡的厚度d一般均能滿足的條件，故雙凸透鏡一般是正透鏡。

2.雙凹透鏡雙凹透鏡的r1＜0，r2＞0，不管r1、r2、d為何值，恒有f′＜0，總為負透鏡。由(8.4-2)和(8.4-3)式可知，此時lH′＜0，lH＞0，兩個主平面均位于透鏡的內部，如圖8-21所示。圖8-21凹透鏡的基點

3.平凸透鏡平凸透鏡的r1＞0，r2=∞，對(8.4-1)式關于r2求極限，可得焦距公式為主點公式為即平凸透鏡總為正透鏡，它的像方主平面位于透鏡內部，物方主平面和球面頂點相切，如圖8-22所示。圖8-22平凸透鏡的基點

4.平凹透鏡平凹透鏡的r1＜0，r2=∞，類似于平凸透鏡，對(8.4-1)式關于r2求極限，可得即平凹透鏡總為負透鏡，其像方主平面位于透鏡內部，物方主平面和球面頂點相切，如圖8-23所示。圖8-23平凹透鏡的基點

5.正彎月透鏡正彎月形透鏡的r1r2>0，且r1<r2。由(8-39)式得f′＞0，即正彎月形透鏡的像方焦距f′恒為正值，即為正透鏡；當r1和r2大于零時，lH′＜0，lH＜0。圖8-24給出了一種基點分布。圖8-24正彎月透鏡的基點

6.負彎月透鏡負彎月形透鏡的r1r2>0，且r1>r2。與雙凸透鏡相似，負彎月形透鏡的焦距隨著厚度不同而可正可負。當時，f′<0，即此時的透鏡為一個負透鏡；當r1和r2大于零時，lH′＞0，lH＞0。圖8-25給出了一種基點分布。若增大d到時，則f′＞0，透鏡變為一個正透鏡。因負彎月形透鏡的厚度一般都比較小，故負彎月形透鏡的像方焦距通常是負值。圖8-25負彎月透鏡的基點8.5矩陣在近軸光學系統中的應用8.5.1光線矢量的線性變換矩陣光路追跡是分析和研究光學系統的成像和像質分析的基礎。光學系統給定，對于特定的入射光線，其光路完全確定。確定光路就是確定在各個橫截面上的光線矢量，即它的位置和方向。在共軸球面光學系統中，一般可以將問題限制在子午面內研究，這時確定橫截面上光線矢量的參數為光線與橫截面交點的高度和光線的方向。設一條光路在兩個不同橫截面上光線的參數分別為h、u和h′、u′，如圖8-26所示，則有h′=g1(h,u),

u′=g2(h,u)圖8-26光學系統光線矢量定義對于幾何光學元件構成的光學系統，在近軸區一般可以成完善像，這時不同橫截面光線參數之間的關系為線性關系，即可以表示為h′=ah+bu,

u′=ch+du

(8.5-1)如果光線矢量的兩個參數采用矩陣表示，定義(8.5-2)則光線矢量的線性變換關系可以通過矩陣表示為(8.5-3)上式中已將矩陣表示為。進一步，定義(8.5-4)為光學系統兩個橫截面間光線矢量的傳遞矩陣或高斯矩陣，則光線矢量的線性變換關系可表示為r′=Mr

(8.5-5)8.5.2基本光學元件的特征傳遞矩陣基本光學元件可以看做簡單的光學系統，在其入射面和出射面之間可以定義傳遞矩陣，稱為光學元件的光線矢量的特征傳遞矩陣。下面推導常見的基本光學元件在近軸區光線矢量的特征傳遞矩陣。

1.均勻介質的特征傳遞矩陣如圖8-27所示，在均勻介質中有兩個與光軸垂直的平面，兩者沿光軸的距離為d，一條光線在兩個平面上的光線參數為h、u和h′、u′。由于光線在均勻介質中作直線傳播，因而它們之間滿足h′=h－duu′=u圖8-27均勻介質中光線矢量關系將上式與(8.5-1)式對比，可以得到光線在均勻介質中傳播的特征傳遞矩陣為(8.5-6)

2.單個折射球面的特征傳遞矩陣如圖8-28所示，由折射率分別為n和n′兩種介質構成的曲率半徑為r的球面，近軸區的入射光線和折射光線的參數為h、u和h′、u′，根據折射球面的基本關系有將上式與(8.5-1)式對比，可以得到單個折射球面的特征傳遞矩陣為圖8-28折射球面上光線矢量關系

3.介質平面的特征傳遞矩陣介質平面可以看做是折射球面在曲率半徑為無窮大時的特例，所以在折射球面的特征傳遞矩陣(8.5-7)式中令r→∞，可以得到介質平面的特征傳遞矩陣為(8.5-8)

4.反射球面鏡的特征傳遞矩陣由于折射定律可以看做反射定律的特殊形式，因而在(8.5-7)式中令n′→－n，可以得到反射球面鏡的特征傳遞矩陣為(8.5-9)

5.平面反射鏡的特征傳遞矩陣在(8.5-9)式中，令r→∞，可以得到平面反射鏡的特征傳遞矩陣為(8.5-10)

6.薄透鏡的特征傳遞矩陣如圖8-29所示，一個像方焦距為f′的薄透鏡放在同一種介質中，薄透鏡入射面和出射面上光線矢量的參數為h、u和h′、u′，在近軸區有由于h＝h′，根據薄透鏡的成像公式，可以得到薄透鏡入射面和出射面上光線矢量參數的變換關系為圖8-29薄透鏡光線矢量關系從而可以得到薄透鏡的特征傳遞矩陣為(8.5-11)

7.理想光學系統的兩個主平面之間的特征傳遞矩陣如圖8-30所示，一個理想光學系統物方和像方的折射率為n和n′，焦距分別為f和f′，一條近軸區光路在物方主平面和像方主平面上光線矢量的參數為h、u和h′、u′，由圖可見：根據主平面的性質，即h＝h′，和理想光學系統的成像公式，以及焦距之間的關系式，可以得到薄透鏡入射面和出射面上光線矢量參數的變換關系為從而可以得到理想光學系統主平面之間的特征傳遞矩陣為(8.5-12)圖8-30理想光學系統光線矢量關系8.5.3光學系統的傳遞矩陣計算如圖8-31所示，由多個光學元件構成的系統，平面π1和平面π2分別是光學系統物空間和像空間任意的兩個平面，現在計算這兩個平面之間的光線參數的傳遞矩陣，即高斯矩陣。如果將兩個基本光學元件之間的均勻介質也看做基本光學單元，其特征傳遞矩陣由(8.5-6)式表示，則光線在π1和π2兩個橫截面之間的傳播，可以看做光線順次通過包括均勻介質在內的基本光學單元。如果光學系統由N個基本光學單元構成，它們的特征傳遞矩陣依次為M1、M2、…、MN－1和MN，任一光路中，光線在各個基本光學單元表面的光線矢量為r1、r2、…、rN和rN+1，則圖8-31光學系統光線矢量關系所以rN+1=MNMN－1…M2M1r1(8.5-13)如果令平面π1和π2上的光線矢量分別表示為r和r′，則r=r1，r′=rN+1，假如平面π1和π2之間的傳遞矩陣為M，則應該有r′=Mr將上式和(8.5-13)式對比，可以得到π1和π2之間的傳遞矩陣M為M=MNMN－1…M2M1(8.5-14)光學系統的結構參數決定了M矩陣的四個元素，這四個元素也體現了光學系統的成像關系，稱為高斯常數。由基本光學單元特征傳遞矩陣的表示可以看出，各個矩陣對應的行列式|Mi|=ni/ni′，由光學系統的折射率的轉面公式可得

(8.5-15)其中n和n′分別為光學系統物方和像方的折射率，當光學系統物方和像方的折射率相等時，|M|=1。現在考慮光學系統一對共軛面間的傳遞矩陣。光學系統一對共軛面間的傳遞矩陣可以看做由三個特征傳遞矩陣構成，即如圖8-32所示，從物平面到物方主平面間均勻介質的傳遞矩陣M1，理想光學系統兩個主平面間的傳遞矩陣M2，以及從像方主平面到像面之間均勻介質的傳遞矩陣M3。圖8-32理想光學系統共軛面間傳遞矩陣根據基本光學元件的特征矩陣，則所以物面到像面的傳遞矩陣M為由于因此共軛面間的傳遞矩陣為(8.5-16)根據上式，通過計算光學系統物空間和像空間兩個面間的傳遞矩陣，就可以由物面位置確定共軛像面位置，或者由像面位置確定共軛物面位置，同時還可以確定光學系統的焦距，以及兩個共軛面間的放大率。8.5.4高斯矩陣與光學系統主平面和焦點的位置關系設任一光學系統的任意物方平面π1和像方平面π2之間的傳遞矩陣為如圖8-33所示，考慮一條平行于光軸，高度為h的入射光線，經過光學系統后在像方平面π2上的光線參數為h′和u′，根據傳遞矩陣關系有圖8-33高斯矩陣與像方基點即h′=M11h，u′=－M21h如果以平面π2作為參考面，確定系統像方基點，將像方主平面和像方焦平面相對平面π2的線度表示為sH′和sF′，則(8.5-17)依據光路可逆，可以確定物方基點。如圖8-34所示，考慮一條平行于光軸的出射光線，它的高度為h′，相應的入射光線在物空間的平面π1上的光線矢量參數為h和u，它們滿足圖8-34高斯矩陣與物方基點由于可得所以如果以平面π1作為參考面，確定系統物方基點，將物方主平面和物方焦平面相對平面π1的線度表示為sH和sF，則(8.5-18)8.5.5傳遞矩陣在激光諧振腔設計中的應用

產生激光不僅需要能夠實現粒子數反轉的增益介質，還需要能夠形成光振蕩的腔體。共軸球面諧振腔體是非常重要的一種激光腔，特別對于氣體激光器。當在諧振腔體內建立了穩定的光場后，從波動光學的角度來說，形成了一定的電磁場模式。而從幾何光學的角度來說，光線在諧振腔內多次往返傳播后能夠再現。光線在諧振腔內的傳播實際上是光線交替在均勻介質中的傳播和球面的反射，所以采用矩陣研究諧振腔光線的傳播比較方便，它也經常用于共軸球面激光諧振腔穩定性的分析。圖8-35給出了一個典型的共軸球面諧振腔的結構。左右分別為曲率半徑為R1和R2的球面。為了簡單，假設腔體內為空氣，腔長為L。首先確定光線往返一次的傳遞

矩陣。光線往返一次可以看做4個過程：①在腔內從左向右傳播L，傳遞矩陣為M+；②經過右反射面的反射，其傳遞矩陣為Mr；③從右向左傳播L，傳遞矩陣為M－；④經過左面的反射，其傳遞矩陣為Ml。根據我們的符號法則，上面四個傳遞矩陣為而光線在諧振腔往返一次的傳遞矩陣為上述四個矩陣依次的乘積，即(8.5-19)圖8-35共軸球面激光諧振腔其中(8.5-20)光線往返一次前后光線參數間的關系為當光線往返n次后，變換矩陣為n個單次往返傳遞矩陣的乘積，即Mn。根據矩陣理論，有(8.5-22)其中(8.5-23)這時光線參數關系為(8.5-24)根據上式，可以確定光線任意次往返傳播后的參數。同樣，根據上式可以確定共軸球面諧振腔的穩定條件。要形成穩定的諧振腔，光線經過任意次的往返都不能逸出腔外，這時要求式(8.5-22)中各個元素必須有限，這要求式(8.5-23)給出的φ必須為實數，從而可以得到諧振腔穩定的

條件將式(8.5-20)代入，可得穩定性條件為(8.5-25)(8.5-26)8.6

ABCD法則及其在激光束傳輸中的應用8.6.1

ABCD法則——光波面曲率半徑在傳播介質中的變化規律如圖8-36所示，光學系統物空間近軸區任一球面波面，其半徑為R。R的符號規定為以球面曲率中心為參考點，參考點以右波面上點的曲率半徑為正，以左波面上點的曲率半徑為負，這樣就可以通過R正負區分會聚和發散的球面波。與該波面對應的光線沿球面的法線方向傳播，如果在球面上任一點的光線矢量參數為h和u，由幾何關系知道圖8-36光線參數與波面曲率半徑在近軸區同理，在光學系統像空間任一波面上有顯然，若任意球面波波面上任一光線矢量參數給定，則相應的波面的曲率半徑就可確定。假如光學系統兩個面的傳遞矩陣為，其光線矢量參數滿足可以得到兩個面上相應球面波波面曲率半徑的變化關系為(8.6-1)上述關系稱為ABCD法則，它被廣泛用于計算激光束的傳播。8.6.2

ABCD法則用于基模高斯光束的傳播

1.基模高斯光束及基本參數高斯光束是激光器所產生的光波，它是圓柱坐標系中的波動方程的解，依據激光腔的結構和工作條件不同，可為基模高斯光束、厄米分布高階模高斯光束、拉蓋爾分布高階模高斯光束和橢圓高斯光束等。其中基模高斯光束在橫截面內分布各向同性，比較簡單。基于標量場理論，它的電場強度復振幅的表示式為在與激光束傳播方向垂直的任意一個平面上，振幅隨著到光束中心的距離的增大，按照指數形式衰減，衰減函數關系為式中的w(z)為振幅衰減到中心幅值1/e時的位置到光束中心的距離，稱為光束在該平面上的光斑半徑。基模高斯光束的相位部分除了一個附加相位j(z)外，還存在一個二次相位因子，它表明在該平面上波面為一個球面，其曲率半徑為R(z)。一般基模高斯光束的光斑半徑、波面的曲率半徑和附加位相j(z)在不同橫截面上是不同的。光斑半徑最小的平面稱為激光束的束腰，束腰半徑為w0。假設激光束的波長為λ，以束腰位置作為z軸方向的參考面，則沿光波傳播方向上不同橫截面上光斑半徑和波面的曲率半徑可以表示為(8.6-2)(8.6-3)(8.6-4)上式中z0為一個由束腰大小決定的量，稱為激光束的共焦參量，它與束腰大小的關系為(8.6-5)(8.6-2)式也可以表示為(8.6-6)上式說明高斯光束的光斑邊緣的包絡隨z按照雙曲線變化，其半實軸大小為w0，半虛軸大小為共焦參量z0。通常以雙曲線的漸近線與傳播方向的夾角定義高斯光束的發散角，即

2.ABCD法則——復曲率半徑高斯光束與一般的球面波不同，在光波傳播的任一垂直的平面上，它除包含波面的曲率半徑外，還包含光束的光斑尺寸，所以通常定義復曲率半徑為q(z)，即(8.6-7)或q(z)=z－iz0

(8.6-8)

(8.6-10)(8.6-9)或者如果光學系統兩個平面間的傳遞矩陣為M，高斯光束在兩個平面上的復曲率半徑分別為q1(z)和q2(z)，則它們滿足8.6.3基模高斯光束經過薄透鏡的變換如圖8-36所示，一高斯光束經過一個焦距為f′的薄透鏡，入射光束的束腰半徑為w0，共焦參量為z0，束腰相對透鏡的物距為l。該光束經過透鏡后，其出射光束的束腰半徑為w0′，共焦參量為z0′，束腰相對透鏡的像距為l′。在透鏡表面上，入射光束和出射光束的曲率半徑分別為R和R′，光斑尺寸分別為w和w′。在這里，仍遵從第7章的符號法則：束腰位于薄透鏡前時，l為負，但是波面曲率半徑為正；位于薄透鏡后時，l為正，波面曲率半徑為負。根據(8.6-2)和(8.6-3)式有圖8-36高斯光束經過薄透鏡變換(8.6-11)(8.6-12)透鏡表面上入射光束和出射光束的復曲率半徑q和q′為(8.6-13)根據薄透鏡的特征矩陣和ABCD法則(8.6-10)式，q1和q2滿足(8.6-14)比較上式兩邊的實部和虛部，可得(8.6-15)可見薄透鏡對高斯光束變換時，在透鏡表面上光斑尺寸變換前后不變，波面的曲率半徑滿足薄透鏡的成像公式。上面成像公式等號右邊出現負號，是因為物距和像距以薄透鏡光心為參考點，而曲率半徑是以曲率中心為參考點，兩者相差一個符號。將(8.6-12)式代入(8.6-15)式，可以得到光束經透鏡變換前后束腰位置和大小的關系為(8.6-16)如果在物方入射光束的束腰以薄透鏡物方焦點為參考點，表示為x，在像方出射光束的束腰以薄透鏡像方焦點為參考點，表示為x′，則上式可以簡化為(8.6-17)可見，光束經過薄透鏡變換前后束腰的位置并不滿足薄透鏡成像的高斯公式。圖8-37給出了按照正透鏡焦距歸一化的不同共焦參量的光束經過正薄透鏡后束腰位置和大小隨入射光束束腰相對透鏡位置的變化關系。圖8-37不同歸一化共焦參量a=z0/f′的高斯光束經過薄透鏡變化關系由圖可以看出：①當入射光束束腰距離透鏡非常遠時，出射光束束腰位于像方焦點；②當入射光束束腰位于物方焦點時，出射光束束腰位于像方焦點，并且出射光束束腰達到最大，為。8.6.4基模高斯光束經過無焦系統的變換無焦系統經常被用于激光束的擴束和光斑的壓縮，現在采用ABCD法則研究激光束經過無焦系統變化的基本關系。如圖8-38所示，設無焦系統由兩個薄透鏡構成，它們的焦距分別為f1′和f2′，首先考慮從第一個薄透鏡的入射面到第二個薄透鏡的出射面間的傳遞矩陣M。這時無焦系統可以看做是由三個基本光學單元構成的，這三個單元即兩個薄透鏡和它們之間長度d＝f1′＋f2′的均勻介質單元。三個單元的特征矩陣依次為圖8-38高斯光束經過無焦系統變換(8.6-18)則傳遞矩陣為其中,β=－f2′/f1′,為望遠鏡系統的垂軸放大率。如果入射光束的束腰大小為w0，共焦參量為z0，束腰相對第一個薄透鏡的物距為l，經過透鏡后，出射光束的束腰大小為w0′，共焦參量為z0′，束腰相對第二個薄透鏡的像距表示為l′，在第一個薄透鏡上入射光束和第二個薄透鏡上出射光束的曲率半徑分別表示為R和R′，光斑大小分別表示為w和w′，復曲率表示為q和q′。根據ABCD法則，即(8.6-9)式有q′=β2q+β(f1′+f2′)通過比較等式兩邊的實部和虛部，可得(8.6-19)如果在物方入射光束的束腰以第一個薄透鏡物方焦點為參考點，表示為x，在像方出射光束的束腰以第二個薄透鏡像方焦點為參考點，表示為x′，