高三年級第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的定義域求出集合的元素，進而利用交集運算即可得出.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義域可得，故.故選：D.2.已知，則（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)，再由求模公式即可得解.【詳解】因為，所以.故選：A.3.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由可求的值，進而利用充分、必要條件的概念即可求解.【詳解】由可得，解得或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.近日我國相關(guān)企業(yè)研究表明，隨著鋰離子電池充放電循環(huán)次數(shù)的增加，電池內(nèi)阻增大，可用容量和能量衰減，削弱了電動汽車的續(xù)航里程．相關(guān)科研團隊利用數(shù)學(xué)建模的方法構(gòu)建理離子電池充放電循環(huán)次數(shù)單位：百次)與鋰離子電池性能指數(shù)的回歸模型，通過實驗得到部分數(shù)據(jù)如下表：充放電循環(huán)次數(shù)x3456電池性能指數(shù)y91888279由上表中的數(shù)據(jù)求得回歸方程為，則計算可得（）（參考公式及數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由是意，結(jié)合公式，利用最小二乘法，可得答案.【詳解】由，，且，，故故選：D.5.已知，且，則（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程，進而因式分解解方程并結(jié)合可得的值.【詳解】由題意可得，即，即，又，故.故選：B.6.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知在區(qū)間上恒成立，進而分離參數(shù)得，從而由函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可得在區(qū)間上恒成立，所以，設(shè)函數(shù)，易得在上單調(diào)遞減，故，即的最小值為.故選：C.7.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用余弦定理和正弦定理邊化角得，然后用二倍角公式進行化簡，從而可求的值.【詳解】由余弦定理化簡可得，即，由正弦定理可得，即，由題意，且，故，所以故選：A.8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理可求的取值范圍，進而由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】令，易知在上單調(diào)遞增，由，得，使得，故，而，因為，所以由指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減可得，故，又由指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減可得，即，故.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A.的相位為B.是曲線的一個對稱中心C.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱D.在區(qū)間上有且僅有2個極值點【答案】BD【解析】【分析】由函數(shù)最小正周期求出，得的相位判斷選項A；檢驗曲線對稱中心判斷選項B；由平移得新函數(shù)解析式求對稱性判斷選項C；結(jié)合函數(shù)圖象判斷極值點個數(shù)判斷選項D.【詳解】由題意可得的最小正周期為，所以，所以，故的相位為，故A錯誤；由A可得，且，是曲線的一個對稱中心，故B正確；，不為偶函數(shù)，其圖象不關(guān)于軸對稱，故C錯誤；時，，令，結(jié)合正弦曲線得函數(shù)在區(qū)間上有1個極小值點和1個極大值點，故D正確.故選：BD10.已知定義在上的函數(shù)滿足，則（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.為奇函數(shù)C.的最小正周期為4D.【答案】AB【解析】【分析】由可判斷A選項；由可得，結(jié)合奇偶性可判斷B選項；由題意化簡可得，可判斷C選項；用代入得f1=0，用，代入可得，可判斷D選項.【詳解】對于A：因為，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B：由，故為奇函數(shù)，故B正確；對于C：因為所以，即，故的最小正周期為2，故C錯誤；對于D：由題意可得f1對于，令可得，故D錯誤.故選：AB.11.已知函數(shù)，則（）A.若，則有且僅有兩個零點B.若，則0為的極值點C.當為定值時，曲線在處的切線在軸上的截距為定值D.若，當且僅當時，曲線上存在關(guān)于直線對稱的兩點【答案】ACD【解析】【分析】將代入，利用因式分解求的零點可判斷A選項；利用特殊情況，即用來判斷В選項；利用導(dǎo)數(shù)求曲線y=fx在1,f1處的切線方程即可判斷C選項；由曲線y=fx上存在關(guān)于直線對稱的兩點，可得即有非零的實根，進而轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，可判斷D選項；【詳解】對于A：若，有且僅有兩個零點，故A正確；對于B：若，當時沒有極值點，故В錯誤；對于C：，，故切線方程為，在軸上的截距為，為定值，C正確；對于D：曲線y=fx上存在關(guān)于直線對稱的兩點即有非零的實根，即，化簡得有非零的實根，故有非零的實根，故，得，由于每步都為充要條件，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知正數(shù)滿足，則最小值為__________.【答案】【解析】【分析】利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．【詳解】因為正數(shù)滿足，所以，當且僅當，即時取等號.故答案為：.13.已知命題“”為真命題，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】由題意分離參數(shù)可得，進而利用單調(diào)性求函數(shù)在上的最小值，即可得到答案.【詳解】由題知命題“”為真命題，故，易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，故.故答案為：.14.已知，且時，，則正整數(shù)__________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上單調(diào)遞減，列不等式求的取值范圍即可.【詳解】由題意可轉(zhuǎn)化為對于任意的，當時，恒成立，設(shè)函數(shù)，因為，所以，不妨設(shè)，則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上單調(diào)遞減，故解得，故可取的正整數(shù)只能為2.故答案為：2.【點睛】方法點睛：通過換元，設(shè)，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列不等式求的取值范圍即可.四、解答題：本題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）設(shè)為的中點，求的長度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用輔助角公式將把轉(zhuǎn)化為，進而即可求解；（2）根據(jù)題意利用余弦定理求得，再利用可求的值.【小問1詳解】因為，整理得，即.因為，所以，所以，所以.【小問2詳解】由余弦定理，且，則，又，故，又為的中點，則，，故16.已知橢圓的右焦點為，點在C上.（1）求C的離心率；（2）設(shè)恒過點D的直線交C于A，B兩點，且D為AB的中點，求直線AB的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，從而得到橢圓方程，進而求得其離心率；（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,【小問1詳解】由題意得，解得，，所以橢圓C的方程為，故C的離心率；【小問2詳解】設(shè)Ax1,聯(lián)立，消去y得，故，由直線化，恒過，故，即，所以，解得，此時二次方程為，滿足題意，故所求直線的方程為17.如圖，在長方體中，四邊形為正方形，點O是線段，的交點，點M在線段AB上，且平面（1）證明：；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面平行性質(zhì)證得，由，可得；（2）建立空間直角坐標系，先求出平面法向量，進而求解二面角的余弦，進而得解.【小問1詳解】連接，因為平面，平面，平面平面，所以，而在長方體中，四邊形是平行四邊形，則，故；【小問2詳解】連接，不妨設(shè)，則，在中，因為O為的中點，，所以，以D為原點，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設(shè)平面COM的法向量為，則，即，令，則，，故平面COM的一個法向量為設(shè)平面BCO的法向量為，則，即，令，則，，所以,設(shè)二面角為，則，則，即二面角的正弦值為18.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積；（2）求在區(qū)間上的零點個數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，得到與坐標軸交點，可求與坐標軸所圍成的三角形的面積；（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得在區(qū)間上存在唯一零點，當時，，函數(shù)無零點，可得在區(qū)間上的有1個零點.【小問1詳解】，則，得切點坐標為，由，得，則曲線y=gx在點處的切線斜率為-3，故切線方程為，易得該直線與坐標軸的交點坐標分別為，故其與坐標軸所圍成的三角形的面積為.【小問2詳解】由題意可得，則，當時，f′x<0，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，由零點存在性定理得，在區(qū)間上存在唯一零點.當時，，此時函數(shù)無零點，綜上所述，在上存在唯一零點，即函數(shù)在上的零點個數(shù)為1.【點睛】方法點睛：求在區(qū)間上的零點個數(shù)，當時，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)，當時，利用放縮得，此時函數(shù)無零點.19.設(shè)為正整數(shù)，已知數(shù)列，其中.若可以被分為組，使得每組各數(shù)之和不超過1，則稱數(shù)列為-可分的.（1）若，數(shù)列是-可分的，求的最小值；（2）若，證明：數(shù)列是可分的；（3）給定正實數(shù)，若任意滿足的數(shù)列均為-可分的，求的最小值（用含的表達式表示）.附：表示向上取整函數(shù)，其結(jié)果可表示為不小于的最小整數(shù)，即，如.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)所給定的定義即可求解；（2）根據(jù)題意先分組，進而利用定義即可得證；（3）分別對，分類，進而結(jié)合定義即可求解.【小問1詳解】一方面，兩兩不能同組，故；另一方面，按分組，，則數(shù)列為可分的；綜上所述，的最小值是5.【小問2詳解】證明：考慮以下分組方式，第組：，然后把放入第2組.此時，第組各數(shù)之和，第2組各數(shù)之和，