專題11導數(shù)及其應用綜合練習一、選擇題1．函數(shù)的導數(shù)是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由題意得，函數(shù)的導數(shù)為，故選A。2．已知，為的導函數(shù)，則的圖像是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由題意得，，∴，∴函數(shù)為奇函數(shù)，即函數(shù)的圖像關于原點對稱，當時，，當時，恒成立，故選A。3、若曲線的一條切線為，、為正實數(shù)，則的取值范圍是()。A、B、C、D、【答案】C【解析】設切點為，則有，∵，∴，，故選C。4．已知函數(shù)的導數(shù)為，且對恒成立，則下列函數(shù)在實數(shù)集內一定是增函數(shù)的為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】設，，∵對恒成立，且，∴，∴在上遞增，故選D。5．已知曲線，則曲線在點處的切線方程是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，∴，∴，又，∴，故曲線在點處的切線方程為，即，故選A。6．設曲線()上任意一點處切線斜率為，則函數(shù)的部分圖像可以為()。A、B、C、D、【答案】D 【解析】∵()上任一點處切線率為，∴，∴，∴該函數(shù)為奇函數(shù)，且當時，，故選D。7．已知可導函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意的，都有，且，則不等式的解集為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】構造函數(shù)，則，∴函數(shù)在上單調遞減，∵，∴，由得，∴，∵函數(shù)在上單調遞減，∴，故選C。8．已知函數(shù)()，，在上的最大值為，當時，恒成立，則的取值范圍是()。A、B、C、D、【答案】C【解析】，∴在上是增函數(shù)，上是減函數(shù)，∴當時取極小值也是最小值，，∴在上恒成立，由知，，∴恒成立等價于在時恒成立，令，，恒有，∴在上是增函數(shù)，有，∴，故選C。9．已知函數(shù)()，若關于的方程恰好有個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】當時，，，∴在為減函數(shù)，，當時，，，則時，，時，，即在上遞增，在上遞減，，其大致圖像如圖所示，若關于的方程恰好有個不相等的實數(shù)根，則，即，故選A。10．設，若，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】將不等式變形為，當時，不等式恒成立；當時，不等式變形為，記，則，而，因此在上單調遞增，故，∴，故，∴的取值范圍是，故選A。11．設直線、分別是函數(shù)圖像上點、處的切線，與垂直相交于點，且、分別與軸相交于點、，則的面積的取值范圍是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】設，()，，則，，∵，∴，則，又切線：，：，于是，，∴，聯(lián)立，解得，∴，∵，∴，∴的取值范圍是，故選A。12．已知函數(shù)(是以為底的自然對數(shù)，)，若存在實數(shù)、()，滿足，則的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖像如圖所示：∵存在實數(shù)、()，滿足，∴根據(jù)函數(shù)圖像可得，，∴，即，∴，構造函數(shù)，，則，令，解得，當時，，則在上單調遞減，當時，，則在上單調遞增，∴當時取極小值也是最小值，∴，∵，，，∴，∴的取值范圍為，故選C。二、填空題13．曲線在處的切線方程為。【答案】【解析】由求導可得，故在處切線斜率為，∴切線方程為。14．已知函數(shù)()，若直線與曲線相切，則。【答案】【解析】，設切點為，則切線斜率為，故，即，故，令()，則，∴當時，故在上單調遞減，當時，故在上單調遞增，∴，即有唯一實數(shù)根，∴。15．若函數(shù)在其定義域內的一個子區(qū)間內存在極值，則實數(shù)的取值范圍。【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，令，解得或(舍)，∴要使函數(shù)在子區(qū)間內存在極值等價于，即，解得。16．設函數(shù)在上存在導數(shù)，有，在上，若，則實數(shù)的取值范圍是。【答案】【解析】令，則∵的定義域為，又，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∵時，，∴函數(shù)在上為減函數(shù)，又由題可知，，，∴函數(shù)在上為減函數(shù)，∴，即，∴，，，即填。三、解答題17．（10分）已知函數(shù)，討論的單調區(qū)間。【解析】由題意可知的定義域為，，2分①若，則，在上為減函數(shù)，4分②若，則得，6分當時，在上為減函數(shù)，8分當時，在上為增函數(shù)。10分18．（12分）已知函數(shù)()。(1)若，求在上的最小值和最大值；(2)若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。【解析】(1)的定義域為，，1分由得，解得，∴，3分令，即，解得或，4分極小值∴在上的最小值是，最大值是；5分(2)由題意得：在區(qū)間上恒成立，∴，8分又當時，是增函數(shù)，其最小值為，∴，11分即實數(shù)的取值范圍是。12分19．（12分）已知函數(shù)，。(1)若函數(shù)的圖象在處的切線與軸平行，求的值；(2)若，恒成立，求的取值范圍。【解析】(1)由題意可知的定義域為，，1分∵在處的切線與軸平行，即在切線斜率為，即，∴；3分(2)，令，則，4分∴在內單調遞增，，5分①當，即時，，在內單調遞增，要想，只需要，解得，從而，7分②當，即時，由在內單調遞增知，存在唯一使得，有，令，解得，令，解得，從而在處取最小值，又，，從而應有，即，解得，由可得，有，11分綜上所述，。12分20．（12分）已知函數(shù)()。(1)若，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的值；(2)設，若函數(shù)有極值，求實數(shù)的取值范圍。【解析】(1)的定義域為，，1分若，則恒成立，∴在上單調遞增，2分∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則；4分(2)由題意得：()，的定義域為，5分則，而，當且僅當時取等號，分兩種情況：6分①當時，對任意，恒成立，此時無極值，7分②當時，令，方程有兩根，，，8分∴有兩個根，，9分當時，，在區(qū)間上單調遞減，當或時，在區(qū)間和上單調遞增，從而在處取極大值，在處取極小值，11分綜上，若函數(shù)有極值，則實數(shù)的取值范圍為。12分21．（12分）已知函數(shù)，常數(shù)。(1)若，過點做曲線的切線，求的方程；(2)若曲線與直線只有一個交點，求實數(shù)的取值范圍。【解析】(1)設切點，則處的切線方程為，1分該直線經(jīng)過點，則，2分化簡得，解得或，3分∴切線方程為和；4分(2)由題意可知只有一個根，設，5分則，∵，∴有兩個零點、，6分即有兩個根、，，，，7分設，則在和單調遞增，在單調遞減，8分則為極大值，為極小值，則方程只有一個根等價于：或，9分又當時，10分設，，∴為減函數(shù)，又，∴時，時，∴、都大于或小于，又，則，11分則且，∴。12分22．（12分）已知函數(shù)。(1)討論的單調性；(2)求證：當時，對都有。【解析】(1)∵，其定義域為，∴，，1分當時，即時，恒成立，∴在上單調遞增，2分當時，即時，有兩個根為、，，3分∴當和時，，單調遞增，4分當時，，單調遞減；5分(2)由(1)知，當時，，在上單調遞增，∵對有，不妨設，∵在上單調遞增，∴，則原式可以轉化為，7分即有，即證，設