第05講拓展一：數學探究：楊輝三角的性質與應用知識點01：二項式系數的性質①各二項式系數和：；②奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等：知識點02：楊輝三角至少具有以下性質：①每一行都是對稱的，且兩端的數都是1②從第三行起，不在兩端的任意一個數，都等于上一行中與這個數相鄰的兩數之和．③當時，二項式系數是逐漸變大的；當時，二項式系數是逐漸變小的．(4)當是偶數時，中間一項的二項式系數最大，當是奇數時，中間兩項的二項式系數相等且最大．題型01二項展開式的系數問題【典例1】（2022·全國·高三校聯考競賽）設整數，的展開式中與xy兩項的系數相等，則n的值為.【典例2】（2023上·湖北·高三校聯考階段練習）的展開式中含項的系數為.【典例3】（2017·高二課時練習）已知(n∈N＋)的展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是10∶1，求展開式中含的項．【變式1】（2024·吉林白山·統考一模）已知二項式的展開式中第二、三項的二項式系數的和等于45，則展開式的常數項為．【變式2】（2023下·遼寧·高二校聯考階段練習）設，已知，則，的展開式中含的系數為.【變式3】（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學校考模擬預測）已知在的展開式中，第3項的二項式系數與第4項的二項式系數相等，且的系數為，則.題型02楊輝三角的有關問題【典例1】（多選）（2023下·重慶·高二統考期末）楊輝三角形又稱賈憲三角形，因首現于南宋杰出數學家楊輝的《詳解九章算法》而得名，它的排列規律如圖所示：在第一行的中間寫下數字1；在第二行寫下兩個1，和第一行的1形成三角形；隨后的每一行，第一個位置和最后一個位置的數都是1，其他的每個位置的數都是它左上方和右上方的數之和.那么下列說法中正確的是（

）

A．第行的第個位置的數是B．若從楊輝三角形的第三行起，每行第3個位置的數依次組織一個新的數列，則數列是兩項奇數和兩項偶數交替呈現的數列C．70在楊輝三角中共出現了3次D．210在楊輝三角中共出現了6次【典例2】（多選）（2021下·湖北武漢·高二統考階段練習）中國古代數學史曾經有自己光輝燦爛的篇章，其中“楊輝三角”的發現就是十分精彩的一頁.而同楊輝三角齊名的世界著名的“萊布尼茨三角形”如下圖所示（其中n是行數，r是列數，）下面關于萊布尼茨三角形的性質描述正確的是（

）A．每一行的對稱性與增減性與楊輝三角一致B．第10行從左邊數第三個數為C．D．【典例3】（2022下·北京朝陽·高二統考期末）我國南宋數學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》里，出現了圖1這張表.楊輝三角的發現比歐洲早500年左右.如圖2，楊輝三角的第行的各數就是的展開式的二項式系數.則第10行共有個奇數；第100行共有個奇數.【典例4】（2021下·江蘇·高二專題練習）在楊輝三角形中，從第2行開始，除1以外，其它每一個數值是它上面的兩個數值之和，該三角形數陣開頭幾行如圖所示.（1）在楊輝三角形中是否存在某一行，使該行中有三個相鄰的數之比是3：4：5？若存在，試求出是第幾行；若不存在，請說明理由；（2）已知n，r為正整數，且，求證：任何四個相鄰的組合數不能構成等差數列.【變式1】（多選）（2022下·廣東深圳·高二深圳市高級中學校考期中）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現．如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，+

例如第行的為第行中兩個的和．則下列命題中正確的是(

)A．在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數是B．在“楊輝三角”中，當時，從第行起，每一行的第列的數字之和為C．在“楊輝三角”中，第行所有數字的平方和恰好是第行的中間一項的數字D．記“楊輝三角”第行的第個數為，則【變式2】（2022下·湖北·高二校聯考階段練習）如圖，在楊輝三角形中，斜線的上方從1按箭頭所示方向可以構成一個“鋸齒形”的數列：，記此數列的前項之和為，則的值為.【變式3】（2022下·湖南常德·高二臨澧縣第一中學校考階段練習）在的展開式中（其中，，…，叫做項式系數），當，2，3，…，得到如下左圖所示的展開式，如圖所示的“廣義楊輝三角”：（1）若在的展開式中，的系數為75，則實數的值為；（2）（可用組合數作答）.【變式4】（2022下·上海奉賢·高三上海市奉賢中學校考階段練習）如圖，我們在第一行填寫整數到，在第二行計算第一行相鄰兩數的和，像在三角（楊輝三角）中那樣，如此進行下去，在最后一行我們會得到的整數是.題型03求二項展開式中的系數最大項問題【典例1】（2022下·河北邯鄲·高二統考期末）若的展開式中各項的二項式系數之和為512，且第6項的系數最大，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【典例2】（2022·上海·統考一模）已知展開式的二項式系數的最大值為，系數的最大值為，則.【典例3】（2022下·江蘇泰州·高二統考期中）已知二項式，（且）．若、、成等差數列．（1）求展開式的中間項；（2）求的最大值．【典例4】（2022下·湖北武漢·高二江夏一中校考階段練習）已知二項式．（1）若它的二項式系數之和為512．求展開式中系數最大的項；（2）若，求二項式的值被7除的余數．【變式1】（多選）（2023下·江蘇蘇州·高二校聯考期中）在的展開式中（

）A．常數項為 B．項的系數為C．系數最大項為第3項 D．有理項共有5項【變式2】（2022下·廣西玉林·高二統考期末）已知為正整數，在二項式的展開式中，若前三項的二項式系數的和等于79，則的值為，展開式中第項的系數最大.【變式3】（2022下·湖北武漢·高二校聯考期中）已知展開式中第3項和第7項的二項式系數相等（1）求展開式中含的項的系數；（2）系數最大的項是第幾項？【變式4】（2022上·內蒙古包頭·高二北重三中校考期中）（1）已知，求的值.（2）已知的展開式中，各項的系數和比各項的二項式系數和大992.求展開式中系數最大的項.題型04二項式定理的應用【典例1】（2023·河北·高三河北衡水中學校考階段練習）從這100個自然數中隨機抽取三個不同的數,這三個數成等差數列的取法數為,隨機抽取四個不同的數,這四個數成等差數列的取法數為,則的后兩位數字為（

）A．89 B．51 C．49 D．13【典例2】（2023下·上海浦東新·高二校考期中）對于，將n表示為，當時，.當時，為0或1.記為上述表示中為0的個數，（例如，，故，）.若，則.【典例3】（2022上·上海黃浦·高三格致中學校考階段練習）給定數列.對于任意的，若恒成立,則稱數列是互斥數列.(1)若數列，判斷是否是互斥數列，說明理由；(2)若數列與都是由正整數組成的且公差不為零的等差數列，若與不是互斥數列，求證:存在無窮多組正整教對，使成立；(3)若(是正整數)，試確定滿足的條件，使是互斥數列.【變式1】（2022·山西呂梁·統考模擬預測）偉大的數學家歐拉28歲時解決了困擾數學界近一世紀的“巴賽爾級數”難題．當時，，又根據泰勒展開式可以得到，根據以上兩式可求得（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·廣東湛江·統考一模）已知函數，記為函數的2次迭代函數，為函數的3次迭代函數，…，依次類推，為函數的n次迭代函數，則；除以17的余數是．【變式3】（2022·青海·校聯考模擬預測）已知正項數列的前n項和為滿足，．(1)求數列的通項公式；(2)若數列滿足，記為數列的前n項和，表示x除以3的余數，求．第05講拓展一：數學探究：楊輝三角的性質與應用知識點01：二項式系數的性質①各二項式系數和：；②奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等：知識點02：楊輝三角至少具有以下性質：①每一行都是對稱的，且兩端的數都是1②從第三行起，不在兩端的任意一個數，都等于上一行中與這個數相鄰的兩數之和．③當時，二項式系數是逐漸變大的；當時，二項式系數是逐漸變小的．(4)當是偶數時，中間一項的二項式系數最大，當是奇數時，中間兩項的二項式系數相等且最大．題型01二項展開式的系數問題【典例1】（2022·全國·高三校聯考競賽）設整數，的展開式中與xy兩項的系數相等，則n的值為.【答案】51【詳解】解：由題意得：.其中項，僅出現在求和指標r=4時的展開式中，其項系數為；而xy項僅出現在求和指標r=n-1時的展開式中，其xy項系數為.因此有.注意到n>4，化簡得，故只能是n為奇數且n-3=48，解得n=51，故答案為：51.【典例2】（2023上·湖北·高三校聯考階段練習）的展開式中含項的系數為.【答案】【詳解】要得到的展開式中含有的項，分以下兩種情形：情形一：先在第一個括號中選取“”，然后在后面四個括號中選取3個“”和1個“”，由分步乘法計數原理可知此時“”的系數為；情形二：先在第一個括號中選取“”，然后在后面四個括號中選取2個“”和2個“”，由分步乘法計數原理可知此時“”的系數為.綜上所述：由分類加法計數原理可知的展開式中含項的系數為.故答案為：.【典例3】（2017·高二課時練習）已知(n∈N＋)的展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是10∶1，求展開式中含的項．【答案】T2＝－16【詳解】試題分析：根據展開式中第五項的系數與第三項的系數比求項數n,然后利用通項公式求特定項即可.試題解析：由題意知第五項的系數為C·(－2)4，第三項的系數為C·(－2)2，則＝，解得n＝8(n＝－3舍去)．所以通項為Tr＋1＝C()8－r·r＝C(－2)r·.令＝，得r＝1.

∴展開式中含的項為T2＝－16.【變式1】（2024·吉林白山·統考一模）已知二項式的展開式中第二、三項的二項式系數的和等于45，則展開式的常數項為．【答案】【詳解】∵，解得，展開式的通項為，令，得，常數項為．故答案為：.【變式2】（2023下·遼寧·高二校聯考階段練習）設，已知，則，的展開式中含的系數為.【答案】9【詳解】令，得，由二項展開式的通項公式可知，由，得，解得.由9個連乘得到，要得到含的項，有兩種情形：①這9個式子中：8個式子中取，剩下的1個式子中取；②這9個式子中：7個式子中取，剩下的2個式子中取1.故含的系數為.故答案為：9，-18.【變式3】（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學校考模擬預測）已知在的展開式中，第3項的二項式系數與第4項的二項式系數相等，且的系數為，則.【答案】【詳解】二項式的展開式的通項公式為，，所以第3項的二項式系數，第4項的二項式系數為，因為第3項的二項式系數與第4項的二項式系數相等，所以，解得，所以在的展開式中的系數為，由已知，解得，故答案為：.題型02楊輝三角的有關問題【典例1】（多選）（2023下·重慶·高二統考期末）楊輝三角形又稱賈憲三角形，因首現于南宋杰出數學家楊輝的《詳解九章算法》而得名，它的排列規律如圖所示：在第一行的中間寫下數字1；在第二行寫下兩個1，和第一行的1形成三角形；隨后的每一行，第一個位置和最后一個位置的數都是1，其他的每個位置的數都是它左上方和右上方的數之和.那么下列說法中正確的是（

）

A．第行的第個位置的數是B．若從楊輝三角形的第三行起，每行第3個位置的數依次組織一個新的數列，則數列是兩項奇數和兩項偶數交替呈現的數列C．70在楊輝三角中共出現了3次D．210在楊輝三角中共出現了6次【答案】BCD【詳解】對于A選項：第行的第個位置的數是，故A錯誤；對于B選項：由題，數列的奇數項與前一項奇偶性相反，偶數項與前一項奇偶性相同，為奇數，為奇數，為偶數，為偶數，為奇數，是奇數項且為奇數，這與情況一致，從而奇偶性產生循環，B正確；由于，不妨設，令，當時，，，當時，，無正整數解，當時，，當時，當時，，而遞增，從而無解；當時，，當時，由于是第9行中最中間的數，楊輝三角中以該數為頂點的下方三角形區域中的數都大于70，所以當時，共出現3次，C正確；類似于前，以為頂點的下方三角形區域中的數都大于,D正確.故選：BCD【典例2】（多選）（2021下·湖北武漢·高二統考階段練習）中國古代數學史曾經有自己光輝燦爛的篇章，其中“楊輝三角”的發現就是十分精彩的一頁.而同楊輝三角齊名的世界著名的“萊布尼茨三角形”如下圖所示（其中n是行數，r是列數，）下面關于萊布尼茨三角形的性質描述正確的是（

）A．每一行的對稱性與增減性與楊輝三角一致B．第10行從左邊數第三個數為C．D．【答案】BCD【詳解】對于A，“楊輝三角”每行數左右對稱，由1開始逐漸變大，而“萊布尼茨三角形”每行數左右對稱，從第3行開始，由行數的倒數開始逐漸變小，A不正確；對于B，“萊布尼茨三角形”的一個數是它腳下兩數的和，則第9行的第二個數為，第10行的第二個數為，于是得第10行的第三個數為，B正確；對于C，，，C正確；對于D，，D正確.故選：BCD【典例3】（2022下·北京朝陽·高二統考期末）我國南宋數學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》里，出現了圖1這張表.楊輝三角的發現比歐洲早500年左右.如圖2，楊輝三角的第行的各數就是的展開式的二項式系數.則第10行共有個奇數；第100行共有個奇數.【答案】48【詳解】由楊輝三角可得如下表：第1行，2個；第2行，2個；第3行，4個；第4行，2個；第5行，4個；第6行，4個；第7行，8個；第8行，2個；第9行，4個；第10行，4個；第11行，8個；第12行，4個；第13行，8個；第14行，8個；第15行，16個；第16行，2個；第17行，4個；第18行，4個；第19行，8個；第20行，4個；第21行，8個；第22行，8個；第23行，16個；第96行，4個；第97行，8個；第98行，8個；第99行，16個；第100行，8個；故答案為：4；8.【典例4】（2021下·江蘇·高二專題練習）在楊輝三角形中，從第2行開始，除1以外，其它每一個數值是它上面的兩個數值之和，該三角形數陣開頭幾行如圖所示.（1）在楊輝三角形中是否存在某一行，使該行中有三個相鄰的數之比是3：4：5？若存在，試求出是第幾行；若不存在，請說明理由；（2）已知n，r為正整數，且，求證：任何四個相鄰的組合數不能構成等差數列.【答案】（1）存在，是第行；（2）證明見解析.【詳解】（1）假設，則，所以，所以，解得，故在楊輝三角形中的第行的第個數之比為.（2）假設，夠成等差數列，則，則，則，則，則，兩式相減得，即，所以，，，成等差數列，由組合數的性質可得，，根據等差數列的性質得，所以，所以，所以，所以，顯然不成立，所以假設不成立，即任何四個相鄰的組合數不能構成等差數列.【變式1】（多選）（2022下·廣東深圳·高二深圳市高級中學校考期中）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現．如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，+

例如第行的為第行中兩個的和．則下列命題中正確的是(

)A．在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數是B．在“楊輝三角”中，當時，從第行起，每一行的第列的數字之和為C．在“楊輝三角”中，第行所有數字的平方和恰好是第行的中間一項的數字D．記“楊輝三角”第行的第個數為，則【答案】ABC【詳解】對于A，在楊輝三角中，第9行第7個數是，故A正確；對于B，當時，從第行起，每一行的第列的數字之和為，故B正確；對于C，在“楊輝三角”中，第行所有數字的平方和恰好是第行的中間一項的數字，即，證明如下：，則由項和項相乘即可得到這一項的系數為：，而是二項式的展開式中第項的二項式系數(即的系數)，故，故C正確；對于D，第行的第個數為，∴，即，故D錯誤．故選：ABC．【變式2】（2022下·湖北·高二校聯考階段練習）如圖，在楊輝三角形中，斜線的上方從1按箭頭所示方向可以構成一個“鋸齒形”的數列：，記此數列的前項之和為，則的值為.【答案】452【詳解】設數列為{}，當為偶數時，易知；前23項里面有偶數項11項，奇數項12項，偶數項是首項為3，公差為1的等差數列，且，所以偶數項之和為：；當為奇數時，，，，，…，所以，則，所以前23項里面奇數項和為：====364，所以.故答案為：452.【變式3】（2022下·湖南常德·高二臨澧縣第一中學校考階段練習）在的展開式中（其中，，…，叫做項式系數），當，2，3，…，得到如下左圖所示的展開式，如圖所示的“廣義楊輝三角”：（1）若在的展開式中，的系數為75，則實數的值為；（2）（可用組合數作答）.【答案】2【詳解】（1）由題意可得廣義楊輝三角形第4行為：1，4，10，16，19，16，10，4，1；第5行為：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1；所以的展開式中，項的系數為，解得；（2）由題意可知，，根據二項式定理可得，所以，可視為二項式展開式中的系數，而二項式的展開式通項為，令，解得，所以，．故答案為：2；．【變式4】（2022下·上海奉賢·高三上海市奉賢中學校考階段練習）如圖，我們在第一行填寫整數到，在第二行計算第一行相鄰兩數的和，像在三角（楊輝三角）中那樣，如此進行下去，在最后一行我們會得到的整數是.【答案】【詳解】將數陣倒置，計第行第個數為，則倒置后的數陣為：則有，且有.，，.依此類推，，因此，.故答案為.題型03求二項展開式中的系數最大項問題【典例1】（2022下·河北邯鄲·高二統考期末）若的展開式中各項的二項式系數之和為512，且第6項的系數最大，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，，，，，第6項的系數最大，，則.故選：.【典例2】（2022·上海·統考一模）已知展開式的二項式系數的最大值為，系數的最大值為，則.【答案】12【詳解】由題意可知展開式的二項式系數為，當時，取得最大值展開式的系數為，當滿足時，系數最大.即，即解得又時，系數的最大值為則故答案為：12【典例3】（2022下·江蘇泰州·高二統考期中）已知二項式，（且）．若、、成等差數列．（1）求展開式的中間項；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）7．【詳解】（1），則，，，由題意知，則，即，因為，所以.展開式的中間項是（2）設最大，則有，即，解得,又，∴或6所以的最大值為.【典例4】（2022下·湖北武漢·高二江夏一中校考階段練習）已知二項式．（1）若它的二項式系數之和為512．求展開式中系數最大的項；（2）若，求二項式的值被7除的余數．【答案】（1）；（2）2.【詳解】（1）二項式的二項式系數之和為512，，．由，解得：，展開式中系數最大的項為第8項，為．（2）若，，問題轉化為被7除的余數，，即余數為2．【變式1】（多選）（2023下·江蘇蘇州·高二校聯考期中）在的展開式中（

）A．常數項為 B．項的系數為C．系數最大項為第3項 D．有理項共有5項【答案】BCD【詳解】的展開式的通項公式，對于A：令，解得，可得，即常數項為，故A錯誤；對于B：令，解得，可得，即項的系數為，故B正確；對于C：由通項公式可得：第項的系數為，當為偶數時，；當為奇數時，；取為偶數，令，則，整理得，解得，所以系數最大項為第3項，故C正確；對于D：令，則，所以有理項共有5項，故D正確；故選：BCD.【變式2】（2022下·廣西玉林·高二統考期末）已知為正整數，在二項式的展開式中，若前三項的二項式系數的和等于79，則的值為，展開式中第項的系數最大.【答案】1211【詳解】（1）根據題意得，，即，整理得，解得或（舍去），∴.（2）二項式展開式的通項為.設二項式的展開式中第的系數最大，由題意得，解得，又，∴，∴展開式中第11項的系數最大.【變式3】（2022下·湖北武漢·高二校聯考期中）已知展開式中第3項和第7項的二項式系數相等（1）求展開式中含的項的系數；（2）系數最大的項是第幾項？【答案】(1)；(2)第3項或第4項.【詳解】（1）依題意，，由組合數的性質得，于是得展開式的通項，由得，則，所以展開式中含的項的系數為；（2）令Tr＋1項的系數最大，由(1)得，即，整理得，解得，而，從而得或，所以展開式中系數最大項是第3項或第4項.【變式4】（2022上·內蒙古包頭·高二北重三中校考期中）（1）已知，求的值.（2）已知的展開式中，各項的系數和比各項的二項式系數和大992.求展開式中系數最大的項.【答案】（1）-13；（2）【詳解】解：（1），令可得，可令可得，兩式相減可得，；（2）令可得各項系數和為，二項式系數和為，由題意可得，即，解得（舍去），解得．設第項的系數最大，則有，解得．再由，可得．故系數最大的項為．題型04二項式定理的應用【典例1】（2023·河北·高三河北衡水中學校考階段練習）從這100個自然數中隨機抽取三個不同的數,這三個數成等差數列的取法數為,隨機抽取四個不同的數,這四個數成等差數列的取法數為,則的后兩位數字為（

）A．89 B．51 C．49 D．13【答案】C【詳解】解:由題知,當抽取三個不同的數,成等差數列時,記公差為,當時,數列可為:共計98個,當時,數列可為:共計96個,當時,數列可為:共計94個,,當時,數列可為:共計4個,當時,數列可為:共計2個,故,當抽取四個不同的數,成等差數列時,記公差為,當時,數列可為:共計97個,當時,數列可為:共計94個,當時,數列可為:共計91個,,當時,數列可為:共計4個,當時,數列可為:共計1個,故,所以,所以的后兩位與的后兩位一致,,因為,因為的后兩位一定是00,故的后兩位數與的后兩位一致,因為,故的后兩位數為49,即的后兩位數為49.故選:C【典例2】（2023下·上海浦東新·高二校考期中）對于，將n表示為，當時，.當時，為0或1.記為上述表示中為0的個數，（例如，，故，）.若，則.【答案】【