江蘇省宿遷市2024-2025學年高三上學期第一次調研考試數學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合河={引-2〈工vl},N={-2,-l,0,l},則Mf|N=（）

A.{-1,1}B.{-2,—1,0}C.{-1,0,1}D.

2.命題“3xwR,f+x+i<o”的否定為（）

A.★wR,x2+x+l>0B.3x^R,x2+x+l>0

C.VXGR,x2+x+l>0D.\/x^R,x2+x+l>0

3.若。>0*>0,a+2Z?=3,則?的最小值為（）

ab

A.9B.18C.24D.27

4.已知函數/⑺的值域為[-2,3],則函數2）的值域為

A.[T,l]B.[0,5]C.H，1]O[0,5]D.[-2,3]

5.我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為&型，比如：當x-?0時，史匚的極限

即為:型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出

洛必達法則:在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：

r2-l

則lim號」

lim-------=lim----------=lim—=P)

%—>0JQX—>0￡x—>0]11x\nx

A.0B.-C.1D.2

2

6.2018年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國89歲高齡的著名數學家阿蒂亞

爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數學界的震動.在1859年，德國數學家黎曼

向科學院提交了題目為《論小于某值的素數個數》的論文并提出了一個命題，也就是著名的

黎曼猜想.在此之前著名的數學家歐拉也曾研究過這個何題，并得到小于數字x的素數個數

大約可以表示為兀（尤卜荻的結論.若根據歐拉得出的結論,估計100。。以內的素數個數為

（）（素數即質數，IgeR0.43,計算結果取整數）

A.1079B.1075C.434D.2500

V71

7.已知〃尤）=?,若方程f（無）=M（meR）有四個不同的實數根4，x2,x3,

x*-4x+5,x>l

X4,則%"2，三的取值范圍是（）

A.（3,4）B.（2,4）C.［0,4）D.［3,4）

8.l.〃x）是在［0』上的連續函數，設4=2/（與』一『］￡|,則（）.

工

A.A?<A?B.44+“,C.24<D.24<4+m.

二、多選題

9.已知函數f（x）=x3+gx2-4x,貝U（

A.元=2是〃尤）的極小值點B./（X）有兩個極值點

C.“X）的極小值為1D.在［0,2］上的最大值為2

10.下列命題正確的有（）

A.函數〃2力定義域為［-2,2］,則/代）的定義域為［-2,2］

B.函數/■（力="&2+1+*）是奇函數

C.已知函數/（x）=|lgx|-左存在兩個零點看,尤2,則占龍2=左

D.函數〃彳）=無+，在（0,+8）上為增函數

X

11.已知x>0,y>0,2x+y=1,貝。（）

A.4,+2,的最小值為2夜B.logzX+log2y的最大值為-3

c.y-x一孫的最小值為-1D.—1+’的最小值為w

尤+2y+16

三、填空題

12.VxeR,函數〃x）=/+雙?+3"+4沒有極值的充要條件為.

13.已知函數〃%）=田/一依+12）在［-1,3］上單調遞減，則實數a的取值范圍是.

14.設集合S={xeR+|無"=","eN+}則集合S中最小的元素是,集合S中最大的元素

試卷第2頁，共4頁

是

四、解答題

15.已知集合73={了|2彳2-3%+1<0},。={彳|(%-。)(工一。-1)40}.

(1)若。=1,求尸cQ；

(2)若xeP是xeQ的充分條件，求實數。的取值范圍.

16.已知函數〃力=加+法+18,/(x)>0的解集為(―3,2).

⑴求/(久)的解析式；

(2)當x>-l時，求y=〃x)-21的最大值.

X+1

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A8CO為梯形，AB//DC,AB=2BC=2CD=29

ZABD=60°,PB±AD,PB=PD=l.

⑴求點P到平面ABCD的距離；

(2)在棱尸C上是否存在點尸，使得平面。BE與平面尸BC夾角的余弦值為E?若存在，求出

點尸的位置；若不存在，請說明理由.

18.已知函數/(x)=2l若點己%,%)在y=f(x)的圖像上運動,則點。(%+1,2%+1)在

y=g(x)的圖象上運動

(1)求尸(x)=/(x)+/(-x)的最小值,及相應的X值

(2)求函數y=g(x)的解析式，指出其定義域￡>,判斷并證明G(x)=/(尤)+g(x)在。上的

單調性

(3)在函數y=/(x)和y=g(x)的圖象上是否分別存在點A、3關于直線>=》-1對稱，若存

在，求出點4B的坐標；若不存在，請說明理由

19.帕德近似是法國數學家亨利?帕德發明的用有理多項式近似特定函數的方法.給定兩個正

整數加，"，函數"X)在x=0處的［〃?,"］階帕德近似定義為：氏("=?+差+…+:4",

1+byX+,?,+bnx

且滿足：/(O)=/?(O)，r(o)=R'(O),f"(O)=R'(O),…,/(i(O)=RS")(O).(注：

rw=[尸⑼'，/"(x)=[r(x)];嚴(x)=了(3,/⑸(x)=F)⑺],…，嚴(X)為

尸(X)的導數)已知"X)=ln(x+1)在尤=0處的[1』階帕德近似為g(無)=言.

⑴求實數私〃的值；

(2)證明：當xNO時，/(x)>g(x)；

⑶設。為實數，討論方程〃》)-^8(尤)=0的解的個數.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CCADDBDABDAB

題號11

答案ABD

1.C

【分析】根據集合的交集定義即可求解.

【詳解】由題知，

M={x|-2<x<l},W={-2,-1,0,1},

McN={-1,0,1},

故選：c.

2.C

【分析】將存在量詞改為全程量詞，結論中范圍改為補集即可得解.

2,,

【詳解】“主eR,f+x+l<0”的否定為FeR,X+X+1>Q,

故選：C.

3.A

【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.

【詳解】根據題意可得

163+效6a+絲6b+12卜15+2.6。6b'

+-=9；

ab3bba31ba,

當且僅當r=上，即。=11=1時，等號成立;

ba

此時。+1的最小值為9.

ab

故選：A.

4.D

【詳解】函數〃x-2）的圖象由的圖象向右平移2個單位得到，故值域相同，故選D.

5.D

【分析】利用洛必達法則直接求解即可

【詳解】吟幕=吟2x

=lim__=2,

n3x\nx+x

答案第1頁，共13頁

故選：D

6.B

【分析】計算兀(10000)的值，即可得解.

【詳解】7T(10000)=-10000==25001ge?2500x0.43=1075,

、'In1000041nl0

所以，估計10000以內的素數個數為1075.

故選：B.

7.D

【分析】利用數形結合可得結合條件可得不馬=1,1<X3<2,2<X4<3,且

X3+X4=4,再利用二次函數的性質即得.

【詳解】由方程/(無)=m(meR)有四個不同的實數根，

得函數y=/(x)的圖象與直線'=，"有四個不同的交點，分別作出函數y=/(x)的圖象與直

線y="

由函數/(X)的圖象可知，當兩圖象有四個不同的交點時，1<〃/42.

設>=根與y=|ln(-尤)|(尤<0)交點的橫坐標為4,%,設占<%,則為<-1,一1<%<0,

由阿-菁)|=阿一%)|得In(一占)=-ln(-x2),

所以(f)(f)=l,即x/2=l.

設y=加與y=/-4x+5(xN1)的交點的橫坐標為鼻，Z，

設三〈尤4，貝！114%<2,2<x4<3,且X3+%=4,

所以泡無4=為(4—尤3)=—(無3—2)+4e[3,4),

貝1]為々/匕e[3,4).

答案第2頁，共13頁

故選：D.

8.A

【分析】舉反例即可反駁BCD,利用絕對值不等式即可判斷A正確.

〃“_1kn1

【詳解】對CD,取/（x）=x，則有4,=￡----------=￡—=1，

Mnn蓄n

則&“=1,貝|24>為“，故C錯誤，4+“,=1,貝|24>4+,“，故D錯誤;

對B,取〃x)=Ml-x),則&=/(。)-嗎)"1)=3

A=八。）-"T+佃-僧+日-，⑴

此時4>4,則B選項錯誤;

由絕對值不等式得答W黑卜

因此選項A正確.

故選：A.

9.BD

【分析】對應/（%）求導，根據其符號確定單調區間并判斷極值點、求極值判斷ABC；進而

求函數在［0,2］上的最大值判斷D.

【詳解】由題設/'（幻=3%2+%一4=（3%+4）（%-1）,

令r（x）>0,貝|》<一：或X>1,令（（x）<o,則=<X<1,

所以y,-：4）、（1,+⑹上/（X）遞增，（一:41）上/（X）遞減,

（、

故/==4方為104極大值，川）=三5為極小值，A、C錯誤，B正確；

在［0,2］上,在x）在［0,1）上遞減,在（1,2］上遞增，而f（0）=0</（2）=2,

答案第3頁，共13頁

所以〃尤)在[0,2]上的最大值為2,D正確.

故選：BD

10.AB

【分析】根據抽象函數定義域求解法則判斷A,根據奇函數定義判斷B,根據零點定義建立

方程，數形結合，判斷C,根據對勾函數單調性判斷D.

【詳解】對于A,由函數/(2”定義域為[-2,2],則2xe[<4],

因此在/(f)中，x2e[-4,4],解得了?[-2,2],即/'儼)的定義域為[-2,2],故A正確；

對于B,函數〃尤)=ln(G7T+x)定義域為R,

且〃T)=lnQ(-x)2+l-xj=ln(Jx2+l+x)=-/(x),所以函數/(x)為奇函數，故B正

確；

對于C,由函數/(x)=|lgx|-左存在兩個零點再，尤2，即占，%為1坨幻=%的兩根，

則可得|lgxj=|lg4|，令旦=13*1，%=k,

結合函數>=|lg無I圖象可設石e(0,l),%e(l,+8),貝！jlg^i〈OJg>0,

OX\1X2A

所以-1gxi=1酩，所以占-X2=1,而左不一定為1,故C不正確；

對于D,函數f(x)=x+J為對勾函數，在區間(0,1)單調遞減，在(1,+8)單調遞增，故D

不正確.

故選：AB.

11.ABD

【分析】根據指數運算，結合基本不等式即可判斷A；結合對數運算，利用基本不等式可判

斷B；將y-x-沖化為關于尤的二次函數，結合二次函數性質可判斷是c；通過變量代換,

2x2V2

令〃2=x+2,〃=y+l,得到2"?+〃=6,根據“1”的巧用，將+變形后，利用基本不

尤+2y+1

等式，即可判斷D..

答案第4頁，共13頁

【詳解】對于A,由于x>0,y>0,2x+y=l,故4*+2>=2?，+2》2=2班,

當且僅當2x=y,結合2無+y=l,即尤=：?=1時，等號成立，

42

即4*+2,的最小值為2及，A正確；

對于由于％也孫，則孫

B,>0,y>0,2x+y=122v8

當且僅當x=；,y=；時，等號成立，

log2x+log2)7=log2(xy)<log21=-3,即log2x+log2y的最大值為一3,B正確;

o

對于C,又％>0,y>0,2%+y=l,得y=l-2x,

^Cy-x-xy=(1-2x)-x-x(l-2x)=2x2-4x+l

由于0<2%<1/.0<%<工，而y=2/—4x+i對稱軸為%=1,

2

則y=2/-4x+l在(0,g)上單調遞減，在(0、)上無最值，C錯誤;

對于D,令機=%+2,〃=y+1,則|%=機—2,y=〃一1,

2x2y22m2-8m+8n2-2n+l

故—Q=—益—=2m+n+—+--10,

mn

由于%〉0,y〉0,故根〉2,〃〉1,

2m+n=2(x+2)+(y+1)=2x+y+5=6,

則一

mn

當且僅當第=2竺，結合2根+〃=6,即機=號,〃=?時，等號成立，

mn55

oiosi

所以2根+〃+—+—-10>6+——10=-,

mn66

Q22[

即*三+二7的最小值為J，D正確，

x+2y+16

故選：ABD

【點睛】難點點睛：本題考查了基本不等式的應用，主要是求最值問題，難點是選項D的

判斷，解答時要通過變量代換，令機=%+2,〃=y+l,得至!)2機+〃=6,根據“1”的巧用，將

22

—2X+\V變形后，利用基本不等式，即可求解.

x+2y+1

12.0<a<9

【分析】求導后可得尸(X)20恒成立，計算A=4/-36。40即可得.

答案第5頁，共13頁

【詳解】f\x)=3^+2ax+3a,注意到了'("是開口向上的二次函數，

若/(“沒有極值，則只能是尸(久)20恒成立，

即A=46—36aW0,解得0WaW9.

故答案為：0<?<9,

13.［6,7)

【分析】根據復合函數的單調性，結合二次不等式恒成立問題，列不等式組求解即可.

【詳解】/(x)=lg(%2-ar+12)由y=lgf(f>0),t=x2-ax+i2(-l〈xW3)復合而成.

2

而y=>0)單調遞增,只需要t=x-ax+12(-1<x<3)單調遞減.

一、、氏3

且在［-L3］上/=x?-ax+12>0恒成".則，2即可，解得64a<7.

［32-3a+12>0

故實數。的取值范圍是叵7).

故答案為：［6,7).

14.1%

InYInY1

【分析】構造函數y=1,借助函數y的單調性找到且(尤)=r的單調性即可求解.

【詳解】則赤

xeR+,weN+,人—7JI—I￡

3r①In%jw,1-lnx

構造函數y=——,xe［l,+oo),貝!|y=-j—,

xx

令"。，貝ijx=e,

當xe［l,e),/>0,當xw(e,+e),/<0,

「?函數y=(在［1,e)上單調遞增，在(e,+“)上單調遞減，

x

又y==\nx,貝|JQy=gn￡=/，

11_...

令8(尤)=6,則函數g(x)=》在［l，e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減，

且Xf+8時，

因此結合函數g(x)=l的性質知，x=〃：，xeR+，〃eN+，

當〃=1時，xmin=l,

又當”=2時，x=應，當"=3時，x=冷,

答案第6頁，共13頁

又9=(g『>(也『=8,故我〉夜，因此當〃=3時，尤a=近.

故答案為：1;為.

【點睛】思路點睛：函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的

教學之中.某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯

系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對

函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據

題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，

如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

15.(1){1}；(2)0.1.

【解析】(1)由集合描述可得「={尤44尢41},0={x|l〈x<2},根據集合交運算即可求

尸cQ；(2)由尤eP是xeQ的充分條件知P=Q列不等式組即可求a的范圍.

【詳解】(1)P={x\2x1-3x+l<0]=[x\-<x<l},

2

當a=l時，Q={X|(X_D(X_2)V0}={X|1WXW2},

則尸CQ={1}；

(2)Va<a+\,

Q={x\^x—a)^x—a—\)<G}={x\a<x<a+l]

?.?xwP是XEQ的充分條件，

.?尸a。,

a<-i

<2,解得OWaW],

l<a+l~

即實數。的取值范圍是0,1.

【點睛】本題考查了集合的關系以及基本運算，首先根據集合描述寫出集合，利用交運算求

交集，再由充分條件得到包含關系，列不等式組求參數范圍.

16.(1)〃力=-3/—3x+18；(2)^max=-3.

【分析】(1)由/(x)>0的解集為(-3,2),結合根與系數關系求可求。，人的值，進而得到/(?

答案第7頁，共13頁

的解析式；⑵化簡函數式為尸-3(x+D+.-l,結合基本不等式求最大值即可;

【詳解】⑴因為函數〃力=加+法+18,〃力＞0的解集為(-3,2),

那么方程砒2+區+18=0的兩個根是-3,2,且avO,

-3+2=-l=--a=-3

由韋達定理有，an

or,18b=—3'

—3-2=—6=—

a

所以〃X)=_3X2_3X+18.

4x)-21-3/一3尤-3x(x+l)+l=-3(x+l)+占一1,由

(2)y=—3---------------

x+1x+1x+1

x>-l,則:

根據均值不等式有3+1++”當且僅當

x+1=,即x=0時取等號,

x+l

...當X=0時，Xnax=—3.

【點睛】本題考查了二次函數與一元二次方程、不等式，根據一元二次不等式解集求二次函

數解析式，利用基本不等式求函數最值；

17.⑴2

(2)存在，在PC的三等分點處

【分析】(1)根據等邊三角形的性質以及線面垂直的判定，結合面面垂直的判定，作圖明確

四棱錐的高，利用勾股定理，可得答案；

(2)由題意建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，結合夾角公式建立方程，可得答案.

【詳解】(1)由題設，知ABIIDC,所以NABZ)=N3DC=60。.

又BC=CD=1,所以△BCD為等邊三角形，所以&)=BC=1.

在△ABD中，AB=2,BD=1,所以AD?=452+302一2AsxBDxcosNABD.

HPAD2=22+l2-2x2xlxcos60°=3,貝UAD=g.

所以MABL即AD_LBD,

又PBLAD,PBcBD=B,且u平面PBD,所以AD_L平面尸5D.

因為ADu平面ABC。，所以平面PSD_L平面ABCD

如圖1,設。為BD的中點，連接尸O,因為尸8=尸。，所以尸

答案第8頁，共13頁

又因為平面尸3￡>n平面ABCD=3Z),PO_L平面P3￡).

所以尸O，平面ABCD，所以尸O即為點尸到平面ABCD的距離.

在Rt^POB中，PB=\,BO=~,所以PO=JPB?-BO2=也

22

即點P到平面ABCD的距離為由.

2

圖1

(2)如圖2,連接。C,則OC_L3D,且OCu平面ABC。,

所以POJ_OC,所以P。，BD,0c兩兩互相垂直.

以。為原點，OB,OC,、0P所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系。孫z.

則出,0,0}C0,,oj,D|-1,0,0l,P0,0,

2

T7J

一(也、、

所以PC=0,1,-,DB=(1,O,O),BC=,0,BP=f10V3

I2’2

77

若PC上存在點下滿足題意，不妨設評=2定,則可0,

所以而=一1,當入,當(1一司-

設沅=(x,y,z)是平面b的法向量,

m-BF=--x+^-A.y+^-(l-A]z=0

A-1

則22-2I'，解得y=

m-DB=%=0

不妨取z=l,則平面BD尸的一個法向量為玩=0,

同理，設為=a，x，zj是平面P2C的法向量,

n^BP=——z、-0

則-2「,解得西=,不妨取％=Z[=1,

為說一9+%=0

則玉=石，所以平面PBC的一個法向量為n=(A/3,1,1),

答案第9頁，共13頁

所以|cos成，司=

12

化簡整理得9萬-92+2=0,解得彳=；或幾=:

—.1―.—.7—?

PF=-PC^PF=-PC.

故在PC的三等分點處存在點F,可使得平面DBF與平面PBC夾角的余弦值為g.

18.(1)F(x)的最小值為2,對應的x為0；(2)gW=21og2(x-l)+l,定義域為(1,+(?),

G(x)=2"+21og,(x-l)+l,單調遞增，證明見解析；(3)存在4(-2,3,-3)

44

【分析】(1)寫出尸(x)=/(x)+/(-x)的解析式，依據基本不等式性質即可求解；

(2)根據點的關系求出y=g(尤)解析式，寫出G(x)=/(x)+g(x)的解析式即可判斷單調性；

(3)設A,8兩點的坐標根據位置和對稱關系列方程組求解.

【詳解】⑴F(x)=7'(x)+/(-尤)=2、+2一”敢,2"2二=2，當且僅當2*=2一，即無=。時，等

號成立，即尸(無)的最小值為2,對應的x為。

(2)設y=g(x)圖象上點Q(x,y),由題：.所以。2

v=2x?+11

點尸(不，%)在y=/(X)的圖像上運動，則%=2'。,

所以尤-1=2?，y=21og2(x-D+l,由x-l>°得其定義域為(L+8)

所以g(x)=21og2(x-l)+l,定義域為(1,+℃)

G(x)=/(x)+g(x)=2，+210g2(尤-1)+1在定義域內為增函數,證明如下:

任取1〈芯<%,根據指數函數和對數函數單調性有:

2演一2*<0,log2(x1-1)-log2(x2-1)<0,

答案第10頁，共13頁

G(X])-G(%)=(2為+21og2(Xj-l)+l)-(2也+21og2(x2-1)+1)

=(2'i—2?)+2(log2(^-l)-log2(x2-l))<0,

即G(^)<G(X2)

所以G(尤)=f(尤)+g(x)在定義域內是增函數.

(3)假設函數y=/(%)和y=g(x)的圖象上分別存在點關于直線y=無-1對稱,

設其坐標A(w),，則有：

n=2mm=-2

b=210g2(。一1)+11

n=—

n-bi解得：4

5

m—aci——

n+bm+a,4

----=-------1

22b=-3

故在函數>=/(X)和y=g(尤)的圖象上分別存在點4-2,：),8("-3)關于直線y=X-1對稱.

44

【點睛】此題考查根據函數關系求解析式，并判斷證明單調性，求解點關于直線對稱相關問

題，考查理解辨析數形結合的能力.

19.(l)m=l,/7=—；

2

⑵證明見解析；

(3)答案見解析.

【分析】(1)根據/'(o)=g'(o)""(o)=g"(o)列方程組求解可得;

(2)構造函數0a)=/(x)-g(x),利用導數求單調性，由砒x)之砒0)即可得證:

(3)構造函數無)=〃x)-￡g(H，分aW2,a>2利用導數討論單調性，利用單調性判

斷零點個數.當a>2時，分單調區間討論，結合零點存在性定理判斷即可.

【詳解】(1)由“尤)=ln(x+l),g(x)=得,有〃O)=g(O),

可知〃止占尸(吁告7和)=謂