PAGE其次章2.4【基礎練習】1.(多選)下列關于正態曲線特點的敘述中正確的是()A.曲線關于直線x＝μ對稱，整條曲線在x軸上方B.曲線對應的正態總體概率密度函數是偶函數C.曲線在x＝μ到處于最高點，由這一點向左右兩邊延長時，曲線漸漸降低D.曲線的對稱位置由μ確定，曲線的形態由σ確定，σ越大曲線越“矮胖”，反之，曲線越“瘦高”【答案】ACD2．設兩個正態分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)的密度函數圖象如圖所示，則()A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2【答案】A3．設隨機變量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，則P(X>6－m)＝()A．0.3 B.0.4C.0.6 D．0.7【答案】D4．設有一正態總體，它的概率密度曲線是函數f(x)的圖象且f(x)＝φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\f(x－102,8)，則這個正態總體平均數與標準差分別是()A．10與8 B．10與2C．8與10 D．2與10【答案】BN(10,0.12),現抽取500袋樣本，X表示抽取的面粉質量在區間(10,10.2)內的袋數，則X的數學期望約為()注：若Z~N(μ,σ2)，則P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.A.171 B.239 C.341 D.477【答案】B6.(2024年唐山模擬)已知隨機變量X聽從正態分布N(3，σ2)，且P(X＜5)＝0.8，則P(1＜X＜3)＝.【答案】0.37.(2024年湖南模擬)某市高三年級26000名學生參與了2024年3月模擬考試，已知數學考試成果X~N(100,σ2).統計結果顯示數學考試成果X在80分到120分之間的人數約為總人數的eq\f(3,4)，則數學成果不低于120分的學生人數約為__________．【答案】3250【解析】因為成果X~N(100,σ2)，所以正態分布曲線關于X=100對稱，又成果在80分到120分之間的人數約占總人數的eq\f(3,4)，所以成果不低于120分的學生人數占總人數的eq\f(1,2)×(1-eq\f(3,4))=eq\f(1,8)，所以此次考試成果不低于120分的學生約有eq\f(1,8)×26000=3250.8．某一部件由三個電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設三個電子元件的運用壽命(單位：小時)均聽從正態分布N(1000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，求該部件的運用壽命超過1000小時的概率．【解析】由題意知每個電子元件運用壽命超過1000小時的概率均為eq\f(1,2)，元件1或元件2正常工作的概率為1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，∴該部件的運用壽命超過1000小時的概率為eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8).【實力提升】9.(2024年鄂爾多斯期末)已知隨機變量X～N(6,1)，且P(5<X<7)＝a，P(4<X<8)＝b，則P(4<X<7)＝A.eq\f(b－a,2)B.eq\f(b＋a,2)C.eq\f(1－b,2)D.eq\f(1－a,2)【答案】D【解析】由題意得，該正態分布的對稱軸為x＝100，且σ＝2，則質量在[96,104]內的產品的概率為P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9545，而質量在[98,102]內的產品的概率為P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6827，結合對稱性知，質量在[98,104]內的產品的概率為0.6827＋eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.8186，據此估計質量在[98,104]內的產品的數量為10000×0.8186＝8186(件).10.(2024年鄂爾多斯期末)已知隨機變量X~N(6,1)，且P(5<X<7)=a,P(4<X<8)=b，則P(4<X<7)=A.eq\f(b-a,2)

B.eq\f(b+a,2)

C.eq\f(1-b,2)

D.eq\f(1-a,2)【答案】B【解析】因為X~N(6,1)，則正態分布曲線關于x=6對稱，所以P(4<X<5)=P(7<X<8)=eq\f(1,2)[P(4<X<8)-P(5<X<7)]=eq\f(b-a,2).所以P(4<X<7)=P(4<X<5)+P(5<X<7)=eq\f(b-a,2)+a=eq\f(b+a,2).故選B.11．(2024年泉州二模)若隨機變量X的概率分布密度函數是φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(2π))e－eq\f(x＋22,8)(x∈R)，則E(2X－1)＝________.【答案】－5【解析】依題意，得σ＝2，μ＝－2，則E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5.12.(2024年梧州期末)從某公司生產線生產的某種產品中抽取1000件，測量這些產品的一項質量指標，由檢測結果得如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求這1000件產品質量指標的樣本平均數eq\o(\s\up10(_),\s\do0(x))和樣本方差s2(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；(2)由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z近似聽從正態分布N(μ,σ2)，其中μ近似為樣本平均數eq\o(\s\up10(_),\s\do0(x)),σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態分布，求P(175.6<Z<224.4)；②已知每件該產品的生產成本為10元，每件合格品(質量指標值Z∈(175.6,224.4))的定價為16元；若為次品(質量指標值Z?(175.6,224.4))，除了全額退款外且每件次品還須賠付客戶48元.若該公司賣出100件這種產品，記這些產品的利潤為Y元，求E(Y).附:eq\r(150)≈12.2，若Z~N(μ,σ2)，則P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.68，P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.95.【解析】(1)由題意得eq\o(\s\up10(_),\s\do0(x))=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，則s2=(170-200)2×0.02+(180-200)2×0.09+(190-200)2×0.22+(200-200)2×0.33+(210-200)2×0.24+(220-200)2×0.08+(230-200)2×0.02=150.(2)①由(1)可得μ=200,σ=eq\r(150)≈12.2，則Z~N(200,12.22),所以P(175.6<Z<224.4