廣東省深圳市龍崗區(qū)2024-2025學年高二上學期11月期中考試 數(shù)學試題含答案_第1頁
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2024學年第一學期高二年級期中考試數(shù)學學科試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知函數(shù)的定義域為,的定義域為,則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)根式、分式及對數(shù)的性質求對應函數(shù)定義域,再由集合交運算求結果.對于,有,則,即,對于,有,則,即,所以.故選:C2.某校學生2000人,其中高三年級學生500人,為了解學生的身體素質情況,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該校學生中抽取200人的樣本,則該樣本中高三學生的人數(shù)為()A60 B.50 C.40 D.30【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣每個人抽取的概率相等,即可求解.某校學生2000人,其中高三年級學生500人,從該校學生中抽取200人的樣本,該樣本中高三學生的人數(shù)為.故選:B.【點睛】本題考查分層抽樣抽取樣本方法,屬于基礎題.3.向量與垂直,則()A.-1 B.1 C.-4 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互相垂直向量坐標表示公式進行求解即可.因為向量與垂直,所以有,故選:B4.四面體中,,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理,利用基底表示即可..故選:A5.已知為偶函數(shù),它在上是減函數(shù),若有,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用偶函數(shù)的基本性質將所求不等式變形為,再由該函數(shù)的單調性得出,可得出,利用對數(shù)函數(shù)的單調性即可解出該不等式.函數(shù)為偶函數(shù),由,可得,又函數(shù)在上是減函數(shù),,則,解得.因此,所求的取值范圍是.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調性解不等式,涉及對數(shù)函數(shù)單調性的應用,考查運算求解能力,屬于中等題.6.在中,已知三個內角為滿足,則三角形的形狀()A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.不能確定【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理角化邊,再根據(jù)余弦定理計算即可.由正弦定理可知,不妨設,則,顯然,則,所以.故選:A7.在區(qū)間內,曲線和交點間的線段長的最大值為()A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】在同一坐標系中,畫出兩個函數(shù)的圖象,數(shù)形結合解決問題.在同一坐標系中,和的圖象如下所示:令,,解得x=0或,故,則,也即在區(qū)間交點間線段長的最大值為.故選:A.8.已知直線與x軸相交于點A,過直線l上的動點P作圓的兩條切線,切點分別為C,D兩點,記M是的中點,則的最小值為()A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】設點,,根據(jù)圓的切線的性質可得C,D在以OP為直徑的圓上,求得其圓的方程,再由C,D在圓上,可得直線CD的方程,求得直線CD恒過定點,從而得M在以OQ為直徑的圓,得出圓的方程可求得的最小值.設點,,因為PD,PC是圓的切線,所以,所以C,D在以OP為直徑的圓上,其圓的方程為,又C,D在圓上,則將兩個圓的方程作差得直線CD的方程:,即,所以直線CD恒過定點,又因為,M,Q,C,D四點共線,所以,即M在以OQ為直徑的圓上,其圓心為,半徑為,所以,所以的最小值為,故選:A.【點睛】方法點睛:求直線恒過點的方法:方法一(換元法):根據(jù)直線方程的點斜式直線的方程變成,將帶入原方程之后,所以直線過定點;方法二(特殊引路法):因為直線的中的m是取不同值變化而變化,但是一定是圍繞一個點進行旋轉,需要將兩條直線相交就能得到一個定點.取兩個m的值帶入原方程得到兩個方程,對兩個方程求解可得定點.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對得6分,部分選對的得部分分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分.9.若直線不平行于平面,且,則下列說法正確的是()A.內存在一條直線與平行 B.內不存在與平行的直線C.內所有直線與異面 D.內有無數(shù)條直線與相交【答案】BD【解析】【分析】利用直線與直線,直線與平面的位置關系判斷.A.若內存在一條直線與平行,則由線面平行的判定定理知,故錯誤;B.因為直線不平行于平面,且,所以直線與平面相交,故內不存在與平行的直線,故正確;C.因為直線不平行于平面,且,所以直線與平面相交,在內過交點的直線與共面,故錯誤;D.因為直線不平行于平面,且,所以直線與平面相交,在內過交點的直線有無數(shù)條與相交,故正確;故選:BD10.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列結論正確的是()A.若,則B.若,則△ABC為等腰三角形C.若,,,則符合條件的三角形有2個D.若△ABC的面積,則【答案】ACD【解析】【分析】對于A:利用正弦定理直接判斷;對于B:由題意結合兩角和差的正弦公式可得或,即可判斷;對于C:由即可判斷;對于D:由條件及余弦定理,三角形面積公式可得,求出即可判斷.對于A:在中,由正弦定理得:,(為的外接圓半徑),因為,即,所以,故A正確;對于B:因為,即,展開整理得,又,所以或,故為直角三角形或等腰三角形,故B錯誤;對于C:因為,,,所以,所以,所以符合條件的三角形有兩個,故C正確;對于D:三角形面積且可得,因為,所以,故,所以,故D正確.故選:ACD.11.已知O為坐標原點,過點的直線l與圓交于A,B兩點,M為A,B的中點,下列選項正確的有()A.直線l的斜率k的取值范圍是B.點M的軌跡為圓的一部分C.為定值D.為定值【答案】ABD【解析】【分析】利用直線和圓相交可求斜率范圍,利用平面向量的數(shù)量積和直線與圓的位置關系即得結果.對于A選項,方法1:設,,直線l的方程為.由得,所以,解得,所以A正確;方法2:如圖,設直線l與圓的切點為,,在直角三角形中,,所以,所以,由圖形對稱性可知,所以A正確;對于B選項,由,可得,所以點的軌跡是以為直徑的圓的一部分,故B正確;對于C選項,由,可得,又,所以C錯誤;對于D選項,由,得,,,又,,所以.故D正確.故選:ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.兩圓,的公切線有且僅有__條.【答案】2【解析】【分析】由兩圓的位置關系判斷公切線條數(shù).化成標準方程為,圓心,半徑,化成標準方程為,圓心,半徑,兩圓圓心距離,,則兩圓相交,因而公切線只有兩條.故答案為:2.13.已知平面上直線的方向向量,點和在上的射影分別為和,則,其中________.【答案】【解析】【分析】由題意結合平面向量的坐標運算、模的坐標運算可得、,進而可得即為在方向上的投影,再由即可得解.,,;,,即為在方向上的投影,.故答案為:.【點睛】本題考查了平面向量的坐標表示、模的坐標表示,考查了平面向量數(shù)量積的應用,屬于基礎題.14.在棱長為的正方體中,點、分別是梭、的中點,是側面上的動點,且平面,則點的軌跡長為______,點到直線的距離的最小值為______.【答案】①.②.【解析】【分析】以點為坐標原點,、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系,設點,利用空間向量法求出點的軌跡方程,可求得點的軌跡長度,利用空間向量法可求得點到直線距離的最小值.以點為坐標原點,、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,如下圖所示:則A0,0,0、、、,因為點是側面上的動點,設點,設平面的法向量為m=x,y,z,,,則,取,可得,且,因為平面,則,即,可得,分別取線段、的中點、,所以,點的軌跡為線段,故點的軌跡長為,,由,可得,,所以,點到直線的距離為,因為函數(shù)在0,1上為增函數(shù),所以,當時,取最小值,且.故答案為:;.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中,分別為三個內角的對邊,且(1)求角A的大小;(2)若,,求和的值.【答案】(1);(2);【解析】【分析】(1)由余弦定理結合同角三角函數(shù)的商數(shù)關系計算即可;(2)利用余弦定理結合(1)的結論計算可得a,再根據(jù)正弦定理計算B,結合二倍角公式計算即可.【小問1詳解】由余弦定理可知,所以,因為,所以;【小問2詳解】由余弦定理可得,所以;再根據(jù)正弦定理可知,因為,故,所以,即,.16.我校近幾年加大了對學生強基考試的培訓,為了選擇培訓的對象,今年我校進行一次數(shù)學考試,從參加考試的同學中,選取50名同學將其成績(百分制,均為整數(shù))分成六組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,第6組,得到頻率分布直方圖(如圖),觀察圖形中的信息,回答下列問題:(1)利用組中值估計本次考試成績的平均數(shù);(2)已知學生成績評定等級有優(yōu)秀、良好、一般三個等級,其中成績不小于90分時為優(yōu)秀等級,若從第5組和第6組兩組學生中,隨機抽取2人,求所抽取的2人中至少1人成績優(yōu)秀的概率.【答案】(1)66.8(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計算方法計算即可;(2)根據(jù)頻率分布直方圖計算出第5組和第6組學生人數(shù),利用列舉法寫出基本事件,結合古典概型的概率公式即可求解.【小問1詳解】本次考試成績的平均數(shù)為.【小問2詳解】第五組與第六組學生總人數(shù)為,其中第五組有4人,記為a、b、c、d,第六組有3人,記為A、B、C,從中隨機抽取2人的情況有:ab、ac、ad、aA、aB、aC、bc、bd、bA、bB、bC、cd、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有21種,設“所抽取的2人中至少1人成績優(yōu)秀的事件”為,包含的基本事件有:aA、aB、aC、bA、bB、bC、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有15種,所以所抽取的2人中至少1人成績優(yōu)秀的概率.17.如圖所示,四棱錐的底面是矩形,底面,,,,.(1)證明:平面;(2)求直線與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】【分析】(1)過作交于,證為平行四邊形得,再由線面平行的判定證結論;(2)根據(jù)題設建立合適的空間直角坐標系,應用向量法求線面角的余弦值.【小問1詳解】過作交于,由題意為正方形,則,,所以,即,又,,則,,即,所以為平行四邊形,故,而面,面,則平面;【小問2詳解】由底面,且,以為原點,為軸建空間直角坐標系,所以,則,,,令面的一個法向量為,則,令,可得,所以,故直線與平面所成角的余弦值為.18.在中,,,,分別是上的點,滿足且經(jīng)過的重心,將沿折起到的位置,使,是的中點,如圖所示.(1)求證:平面;(2)在線段上是否存在點,使平面與平面的夾角的余弦值為,若存在,求出的長度;若不存在,請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在,的長度為3或【解析】【分析】(1)通過證明,來證得平面;(2)建立空間直角坐標系,利用向量法來求得正確答案【小問1詳解】因為在中,,,且,所以,,則折疊后,,又平面,所以平面,平面,所以,又已知,且都在面內,所以平面.【小問2詳解】由(1)知,以CD為軸,CB為軸,為軸,建立空間直角坐標系

,因為,故,由幾何關系可知,,,,故,,,,,,假設在線段上存在點,使平面與平面成角余弦值,,,,設,則,,設平面的法向量為,則有,即不妨令,則,,故平面的一個法向量為,設平面的法向量為,則有,即不妨令,則,,所以平面的一個法向量為,若平面與平面成角余弦值為,則滿足,化簡得,解得或,即或,故在線段上存在這樣的點,使平面與平面成角余弦值為,此時的長度為3或.19.已知定點和直線,動圓和直線相切,且過點作圓的切線,切線長等于動圓的半徑.(1)求圓圓心的軌跡方程.(2)當圓的面積最小時,求圓的方程.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)設圓心坐標為,由動圓和直線相切及過點的圓切線長等于動圓的半徑這兩個條件,可得到,化簡即可得到圓心的軌跡方程;(2)動圓的面積最小,則有動圓的半徑最小,最小半徑即曲線上的點到直線的最小距離,可先求出平行于且與相切直線,

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