北京交大附中20232024學年第一學期12月練習

-=a=r-皿」.

局一數學2023.12

說明：本試卷共4頁，共120分.考試時長90分鐘.

一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分.)

1.已知命題?：Vx>°,5X2-4X+1>0,則命題0的否定為()

A.Vx>0,5X2-4X+1<0B.VX<0,5X2-4X+1<0

C.3%>0,5X2-4X+1<0D.王<0,5X2-4X+1<0

【答案】C

【解析】

【分析】根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題易求.

【詳解】根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知：

命題p:Vx>0,5/—4x+l之0的否定為：3x>0,5X2-4X+1<0.

故選：C

2.設集合4=?>3},B={X|X2-3X<0},則4口3=()

A.(1,3)B.[1,3)

C.(0,3)D.[0,3)

【答案】A

【解析】

【分析】先化簡集合A,B,再根據集合的運算得解.

【詳解】由3工>3,即3、>3]，因為y=3*是R上的單調遞增函數，

所以x〉l,=

又d—3%v0,解得0<x<3,

/.B=1x|0<x<31；

/.AnB=(l,3)

故選：A.

3.以下函數既是偶函數又在(0,+8)上單調遞減的是()

A.f(x)=x4B.=

C./(x)=LD./W=logi|x|

【答案】D

【解析】

【分析】

利用奇偶性的定義和指數函數、對數函數、基函數的性質，對選項逐一判斷即可.

【詳解】選項A中，f(x)=x4,滿足/(—%)=(-尤)4=/=/(%),/(X)是偶函數，但由塞函數性質知

/(x)=》4在(0,+co)上單調遞增，故不符合題意；

選項B中，由哥函數性質知，/(x)=6在定義域[0,+8)內單調遞增，x<0無意義，故不具有奇偶性，

不符合題意；

選項C中，由指數函數性質可知，=在R上單調遞減，但/(—x)=g]=2￡//(x)，故不

是偶函數，不符合題意；

選項D中，〃%)=logJR定義域(YO,0)O(0,-+w),滿足/(—無)=1理工H=logJ龍|=/(尤),故f(x)

222

是偶函數，當x>0時，”的句密工。由對數函數性質可知，"勸=1°81》在(0,+8)上單調遞減，故

22

/(%)=10gl兇符合題意.

2

故選：D.

4.已知x<y,則下列不等式一定成立的是()

3311

A.x3<yB.—>—

%y

C.2'<27D.lg(x2+l)<lg(y2+l)

【答案】A

【解析】

【分析】根據不等式的性質，幕函數，指數函數和對數函數的性質判斷.

【詳解】對A,根據基函數y=Y在R上單調遞增得％<丁時，X3<父，故A正確；

11

對B,當x<0<y時，一<一，B錯；

Xy

對C,x<y,則—x>—y,根據指數函數y=2*在R上單調遞增得2f>27,故c錯誤;

對D,x<y時，例如，x=-2,y=l,

則必+1〉丁+1,根據對數函數y=3％在(0,+。)上單調遞增，

則坨(爐+1)>坨(/+1),因此D錯;

故選：A.

5.函數y=|lg(x-l)|的圖象是()

【答案】c

【解析】

【分析】將函數y=lgx的圖象進行變換可得出函數y=1g(x-1)|的圖象，由此可得出合適的選項.

【詳解】將函數y=lgx的圖象先向右平移1個單位長度，可得到函數y=lg(x-1)的圖象,

再將所得函數圖象位于無軸下方的圖象關于x軸翻折，位于x軸上方圖象不變，可得到函數丁=旭(％-1)

的圖象.

故合乎條件的圖象為選項c中的圖象.

故選：c.

【點睛】結論點睛：兩種常見的圖象翻折變換:

/(4)保留游由上方，將人軸下方的圖象沿的由對稱>I/(

/（尤）保留y軸右方圖像，將y軸右方圖象沿著y軸對稱>/（|乂）.

6.已知了(%)是定義域為R的奇函數，當x>0時，/(%)單調遞增，且/(4)=0,則滿足不等式

1)<0的x的取值范圍是()

A.(-3,1)B.(1,5)C.(-3,O)U(1,5)D.(f-3)U(L5)

【答案】c

【解析】

【分析】由奇函數的定義和單調性的性質，即可求解不等式.

【詳解】因為〃龍)是定義在R上的奇函數，x>0時，/(%)單調遞增，且/(4)=0,

所以當T)u(0,4)時，/(^)<0,

當XW(T,0)54,+QO)時，/(x)>0,

不等式1)<0,則

當x<0時，有即Y<x-l<0或1—1>4,解得一3<x<l或％>5,又x<0,

—3v%<0；

當尤>0時，有—1)<0,即x-l<-4或0<x-1<4,又x>0,解得l<x<5；

綜上，不等式1)<0的解集為(―3,0)U(L5).

故選：C.

7.已知函數/(x)=]2-貝『，函數有兩個零點”成立的充分不必要條件是ae

-x+a,x>l

A.(0,2]B.(1,2]C.(1,2)D.(0,1]

【答案】C

【解析】

【分析】根據/(九)單調性，結合已知條件，求得了(九)有兩個零點的充要條件，再結合選項進行選擇即

可.

2X-a,x<l

【詳解】???/(x)=<

-x+a,x>\

；J(x)在(-oo,l)上單調遞增，在(L+oo)上單調遞減.

故“函數”X)有兩個零點“o/(I)=2-a>0,-fl<0,/(1)>-1+fl>0,

解得1<aW2,

“函數有兩個零點”成立的充分不必要條件必須為(1,2]的子集，只有C符合,

故選：c.

【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，涉及由函數零點個數求參數范圍問題，屬綜合基礎題.

8.在一個不透明的袋子里裝有四個小球，球上分別標有6,7,8,9四個數字，這些小球除數字外都相同.

甲、乙兩人玩“猜數字”游戲，甲先從袋中任意摸出一個小球，將小球上的數字記為加，再由乙猜這個小球

上的數字，記為機如果加，〃滿足|加-那么就稱甲、乙兩人“心領神會”，則兩人“心領神會”的概率

是（）

15

A.-BC1D.-

4-I8

【答案】D

【解析】

【分析】根據古典概型的計算公式，結合絕對值不等式進行求解即可.

【詳解】根據題意，m,〃的情況如下:（6,6）,（6,7）,（6,8）,（6,9）,（7,6）,（7,7）,（7,8）,（7,9）,

（8,6）,（8,7）,（8,8）,（8,9）,（9,6）,（9,7）,（9,8）,（9,9）,共16種情況，

其中機，〃滿足|和一"W1的情況如下：

（6,6）,（6,7）,（7,6）,（7,7）,（7,8）,（8,7）,（8,8）,（8,9）,（9,8）,（9,9）,共10種情況,

所以兩人“心領神會”的概率是3=3,

168

故選：D

9.函數y=log//一砒+3）在［1,2］上恒為正數，則實數。的取值范圍是（）

3

7

A.2行<a<2石B.2V2<?<-

C.3<a<JD.3<a<273

【答案】D

【解析】

【分析】根據底數是1，V=Ax）=l°g工（尤2-依+3）在［1,2］上恒為正數，故0<尤2一依+3<1在［1,2］上恒成

33

立，進而解不等式就可以了.

【詳解】解：由于底數是工，從而y=/（x）=l°gl（r-以+3）在工2］上恒為正數，

33

故0<爐一ax+3v1在［1,2］上恒成立,

23

即X~\-----<6Z<XH------

XX

由于xe[l,2],%+322、%-3=2指當且僅當工=3即工=6時取等號；

X\XX

由對勾函數的性質可知，函數g(x)=x+2在口,a]上單調遞減，在[a,2]上單調遞增，且

g(l)=g(2)=3

所以3<a<26.

故選：D.

【點睛】本題主要考查對數型函數，一元二次函數值域問題，屬于中檔題.

10.形如2然+1(〃是非負整數)的數稱為費馬數，記為丹.數學家費馬根據玲，耳心，鳥，工都是質數提出了

猜想:費馬數都是質數.多年之后，數學家歐拉計算出招不是質數，那工的位數是()

(參考數據:四2乜).3010)

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】

【分析】

工=232+1,設機=232,兩邊取常用對數估算m的位數即可.

【詳解】???&=232+1，設m=232,則兩邊取常用對數得

lgm=lg232=321g2=32?0.30109.632.

陰=]09.632?109,

故工的位數是10，

故選：B.

【點睛】解決對數運算問題的常用方法：

(1)將真數化為底數的指數幕的形式進行化簡.

⑵將同底對數的和、差、倍合并.

(3)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用.

(4)利用常用對數中的1g2+1g5=1簡化計算.

二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中橫線上)

11.函數y=坨（/一5%+4）的定義域為.

【答案】（4,+Q0）

【解析】

【分析】利用對數函數真數大于零，解不等式即可求得結果.

【詳解】由對數函數定義可得d—5%+4>0,解得x>4或X<1,

所以函數定義域為（4,”）D（YO,1）.

故答案為：（4,-H?）O（-OO,1）

12.某高中學校進行問卷調查，用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校三個年級中抽取36人進行問卷調

查，其中高一年級抽取了15人，高二年級抽取了12人，且高三年級共有學生900人，則該高中的學生總

數為人.

【答案】3600

【解析】

【分析】根據分層抽樣的抽樣比即可求解.

【詳解】由題意可知：高三年級抽取了36-15-12=9人，

由于高三共有900人，所以抽樣比為」一，

100

所以高中學生總數為36x100=3600,

故答案為：3600

13.令。=6°7,b=016,c=log076,則三個數。，b,c的大小順序是.（用連接）

【答案】c<b<a

【解析】

【分析】根據指數函數和對數函數單調性，結合臨界值0J即可確定大小關系.

0706

［詳解】???6->6°=1=0.7°>O.7->0=log071>log076,:.c<b<a.

故答案為：c<b<a.

14.為了解本書居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學利用假期分別對三個社區進行了“家庭每月日常消費

額”的調查.他們將調查所得的數據分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調查數據的標

準差分別為邑，$2，$3,則它們的大小關系為.（用連接）

頻率

''礪

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

O

(丙)

【答案】“＜邑＜M

【解析】

【分析】根據平均數公式及方差公式分別計算s；、S；、即可判斷;

【詳解】由圖甲：平均值為

=500(1250x0.0006+1750x0.0004+2250x0.0002+2750x0.0002+3250x0.0006)=2200,

s；=(1250-2200)2x0.3+(1750-2200)2x0.2+(2250-2200)2x0.1

+(2750-2200)2x0.1+(3250-2200)2x0.3

=672500,

%=1250x0.1+1750x0.2+2250x0.4+2750x0.2+3250x0.1=2250，

s；=(1250-2250)2x0.1+(1750-2250)2x0.2+(2250-2250)2x0.4

+(2750-2250)2x0.2+(3250-2250)2x0.1

=300000,

x,=1250x0.2+1750x0.2+2250x0.3+2750x0.2+3250x0.1=2150,

s；=(1250-2150)2x0.2+(1750-2150)2x0.2+(2250-2150)2x0.3

+(2750—2150)2x0.2+(3250-2150)2xO.l

=390000,

則標準差52Vs3<S],

故答案為：S2<S3<S「

15.如圖，在等邊三角形ABC中，A8=6.動點P從點A出發，沿著此三角形三邊逆時針運動回到A點,

記P運動的路程為方點尸到此三角形中心。距離的平方為大x),給出下列三個結論：

①函數40的最大值為12；

②函數1x)的圖象的對稱軸方程為尸9；

③關于x的方程/(尤)=立+3最多有5個實數根.

其中，所有正確結論的序號是

【答案】①②

【解析】

【分析】

寫出P分別在A&BCC4上運動時的函數解析式/(x)=|(9P|2,利用分段函數圖象可解.

詳解】

P分別在A3上運動時的函數解析式/(x)=|OP「=3+(%-3)2,(0<%<6),

P分別在上運動時的函數解析式/(尤)=|=3+(尤—9)2,(6<x<12),

P分別在C4上運動時的函數解析式/⑴=|。葉=3+(尤—15)2,(12<18),

3+(X-3)2,(0<X<6)

/(x)=|OP|2=p+(x-9)2,(6<x<12)

3+(X-15)2,(12<X<18)

由圖象可得，方程/（￡）=區+3最多有6個實數根

故正確的是①②.

故答案為：①②

【點睛】利用函數圖象可以解決很多與函數有關的問題，如利用函數的圖象解決函數性質問題，函數的零

點、方程根的問題，有關不等式的問題等.解決上述問題的關鍵是根據題意畫出相應函數的圖象，利用數形

結合思想求解.

三、解答題（本大題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

f21?）

16.己知集合4=,尤>1>,B=yfx\m-2<x<2m+1,meR|.

（1）當〃z=6時，求集合Au8；

（2）若4口5=3,求實數加的取值范圍.

【答案】（1）AUB={x|3<%<13}

（2）（TO,-3）

【解析】

【分析】（1）直接代入計算，再根據并集含義計算即可;

（2）分集合B是否為空集討論即可.

【小問1詳解】

222x—3

由——>1---------1>0———>0=>(x—5)(x—3)<0

%—3x~3x—3x—3

解得A={x|3<x<5}.

當〃，=6時，B—1x|4<x<13},

則AU3={X|3<X<13}

【小問2詳解】

由4口8=6,得3。4.

當5=0時，有m—2>2m+L解得m<—3.

m>—3

當5/0時，有<機一2〉3,無解.

2m+1<5

綜上，me(-00,-3).

17.已知函數/(x)=1+2.

(1)求函數7(%)的定義域和值域；

(2)求函數/(x)在區間上/+l］(/eR)上的最小值.

【答案】17.定義域為R,值域為［2,+8)

18.答案見解析

【解析】

【分析】(1)根據二次函數的性質可得答案；

(2)討論對稱軸與區間的關系，結合二次函數性質可得答案.

【小問1詳解】

由題意定義域為R,因為好20,所以/+2N2,即值域為［2,史》).

【小問2詳解】

/W圖象的對稱軸為X=0,

當f+”0時，即區―1時，“X)在區間上/+1］上單調遞減，

則/(力在區間上/+1］上的最小值為f(t+1)=(/++2；

當f<O<f+l時，即-!<f<0時，〃尤)在上,0)上單調遞減，在(0/+1］上單調遞增,

則/⑴在區間上/+1］上的最小值為/(0)=2；

當.“時，”X）在區間上,7+1］上單調遞增，

/（X）在區間［t,t+1］上的最小值為f（t）=1+2；

綜上可得/<—1時，最小值為Q+1）2+2；

-1</<0時，最小值為2；

/之0時,最小值為產+2.

18.在新高考背景下，北京高中學生需從思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物這6個科目中選擇3個科目

學習并參加相應的等級性考試.為提前了解學生的選科意愿，某校在期中考試之后，組織該校高一學生進行

了模擬選科.為了解物理和其他科目組合的人數分布情況，某教師整理了該校高一（1）班和高一（2）班的

相關數據，如下表：

物理+化學物理+生物物理+思想政治物理+歷史物理+地理

高一（1）班106217

高一（2）班.159316

其中高一（1）班共有40名學生，高一（2）班共有38名學生.假設所有學生的選擇互不影響.

（1）從該校高一（1）班和高一（2）班所有學生中隨機選取1人，求此人在模擬選科中選擇了“物理+化

學”的概率;

（2）從表中選擇“物理+思想政治”的學生中隨機選取2人參加座談會，求這2人均來自高一（2）班的概

率；

（3）該校在本學期期末考試之后組織高一學生進行了第二次選科，現從高一（1）班和高一（2）班各隨

機選取1人進行訪談，發現他們在第二次選科中都選擇了“物理+歷史”.根據這一結果，能否認為在第二次

選科中選擇“物理+歷史”的人數發生了變化？說明理由.

【答案】（1）—

78

10

（3）答案見解析

【解析】

【分析】（1）（2）根據古典概型的概率公式即可求解,

（3）根據小概率事件即可求解.

【小問1詳解】

依題意得高一（1）班和高一（2）班學生共有40+38=78人，即該隨機試驗的樣本空間有78個樣本點.

設事件A="此人在模擬選科中選擇了“物理+化學”，

則事件A包含10+15=25個樣本點,

75

所以「（A）=而

【小問2詳解】

依題意得高一（1）班選擇“物理+思想政治”的學生有2人，分別記為A，4；

高一（2）班選擇“物理+思想政治”的學生有3人，分別記為4，昆,4.

該隨機試驗的樣本空間可以表示為：

Q={A^2,AB],AB2,AB3,^2旦,^2^2,42,3'B、B2,4B3,B2B3}

即“（Q）=10.

設事件3=“這2人均來自高一（2）班”，則5={452,453,52用}，

/、/、"⑶3

所以用）=3,故.）=詞=6

【小問3詳解】

設事件"從高一（1）隨機選取1人，此人第二次選科中選擇了“物理+歷史”,

事件。="從高一（2）班隨機選取1人，此人在第二次選科中選擇了“物理+歷史”,

事件E="這兩人在第二次選科中都選擇了“物理+歷史”.

假設第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數沒有發生變化，

則由模擬選科數據可知，P（C）=—,P（D）=—.

v740v738

所以P（E）=P（8）=尸（C）P（D）$/=焉.

答案示例1：可以認為第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數發生變化.理由如下：

P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發生.一旦發生，就有理由認為第二次選科中選擇“物理+歷

史”的人數發生了變化.

答案示例2：無法確定第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數是否發生變化.理由如下：

事件E是隨機事件，P（E）雖然比較小，一般不容易發生，但還是有可能發生，所以無法確定第二次選科

中選擇“物理+歷史”的人數是否有變化.

Y—2

19.已知函數/（X）=log.------（〃>0且〃￡1）.

x+2

（1）求了（%）的定義域；

（2）若當a=2時，函數8（可=/（X）—/?在（2,+00）有且只有一個零點，求實數b的范圍；

（3）是否存在實數。，使得當〃%）的定義域為[陰㈤時，值域為[l+logdJ+logoW],若存在，求出

實數。的范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴2）。（2,+。）

（2）（-oo,0）

十+r3-2^

（3）存在；。€[0,-----2-----J

【解析】

x—2/\

【分析】⑴由—〉0可得/（X）的定義域；

人I乙

丫一24

⑵注意到《力=^—=1--—在（2,+8）上單調遞增，則/（可在（2,+“），即b的范圍是就是/（%）

在（2,+8）上的值域；

X-2

（3）由題可得則問題轉化為——=ax在（2,+“）上有兩個互異實根，即可得答案.

x-I-2

【小問1詳解】

X—2

由---->0,得1<—2或%>2.

x+2

”力的定義域為（-8,-2）D（2,+8）；

【小問2詳解】

%-2]_4

令(x)=

x+2x+2

=；在（2,+8）上單調遞減，則t（x）在（2,+8）上為增函數,

因函數y

Ji十乙

故《%）值域為（0/）.

又4=2,，/⑺在（2,+“）上為增函數;函數g（尤）=/（%）-/?在（2,+8）有且只有一個零點,

即/（X）=5在（2,+8）有且只有一個解，：函數/（九）在（2,+8）的值域為（—8,0）,

...b的范圍是(—8,0).

【小問3詳解】

假設存在這樣的實數。，使得當“力的定義域為[加同時，值域為[l+log“7U+log“〃z],

由加<〃且1+R)ga〃<l+logj,可得Ovavl.

又由(2)《%)=1——三在(2,+8)上為增函數，y=log”x在(2,+8)上為減函數.

Ji十乙

—2

/（加）=log“------=1+log。m=loga（am）

則“X)在(2,+8)上為減函數，得<

n—2

/（?）=log°--=1+log”n=log.（即）

〃+2

Y_2x_2

即-----=QX在（2,+"）上有兩個互異實根，因-----=依=>ax2+（2白一1）九+2=0

x+2x+2

即g(x)=ax2+(2a-l)x+2,有兩個大于2的相異零點.

3-11—8a〉0

A>0

一漢二1〉4.解得0＜。＜3一2.

設g(x)零點為占,馬，貝1|<玉+々〉4=>

a2

(X]-2)(%-2)〉0

22（2a—l）

-+-^------^+4＞0

、aa

(3-272^

又故存在這樣的實數ae0,---符合題意.

2

\7

20.對于函數〃%),若在定義域內存在實數%,且％o,O,滿足/(—%)=/(%)，則稱"％)為"弱偶函

數”.若在定義域內存在實數為,滿足/(—%)=一/(%)，則稱/(%)為“弱奇函數”.

(1)判斷函數/(x)="是否為“弱奇函數”或“弱偶函數”；(直接寫出結論)

x3,x<0

(2)已知函數g(x)=(x-2)忖+1],試判斷g(x)為其定義域上的“弱奇函數”，若是，求出所有滿足

g(—Xo)=—g(%o)的X。的值,若不是,請說明理由；

(3)若丸(X)=—"凡X'4為其定義域上的“弱奇函數，，.求實數m取值范圍.

x+3,x<4

【答案】(1)弱奇函數

(2)g(x)不是其定義域上的“弱奇函數”.

「15J

(3)—,4

_4_

【解析】

【分析】(1)根據所給定義判斷即可