昔山中學2023-2024學年第二學期高一年級期末考試

數學試題

一、單選題

1

1.若復數Z在復平面內對應的點是(l'T),則z-1()

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】由復數的幾何意義可得z=進而利用復數的除法可求得結果.

11-z.

【詳解】由復數的幾何意義可得z=l-i,因此，一7=-=~^=Z.

z-l-z(-Z)

故選：A.

2.如圖，一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為。的正方形O'/'B'C',則原平面圖形的周長為

()

A.4aB.8aC.6aD.8^2(2

【答案】B

【解析】

【分析】由直觀圖還原可得原圖形，結合斜二測畫法求邊長，再求其周長即可.

【詳解】由直觀圖可得原圖形,

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所以04=5C=a,OB=141a-^BOA=90°,

所以AB=OC=J。/?+OB?=3a，原圖形的周長為2x(a+3a)=8a.

故選：B.

3.已知非零向量Z與3同向，則￡一刃()

A.必定與［同向

B.必定與否同向

c.必定與￡是平行向量

D,與行不可能是平行向量

【答案】c

【解析】

【分析】設B=2>0,則4一1=4一九7=，可判斷結果.

【詳解】因為非零向量。與6同向，設6=2a，A>0

所以=a-2a=(l-

則必定與Z是平行向量.

故選：C

4.設a、，為兩個平面，加、〃為兩條直線，且。口，=加.下述四個命題：

①若根〃〃，則，//a或〃//夕②若加J_〃，則〃_Ltz或夕

③若〃//a且〃//，，則也〃〃④若〃與a,/?所成的角相等，則心,〃

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其中所有真命題的編號是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根據線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據線面平行的性質即可判斷③.

【詳解】對①，當〃ua,因為加〃“，mu[3,則〃///?,

當“U/?,因為加〃〃，niua,則〃//*

當〃既不在a也不在月內，因為掰〃”,m<za,m<z/3,則〃//tz且"http://夕，故①正確；

對②，若則〃與名尸不一定垂直，故②錯誤；

對③，過直線〃分別作兩平面與4萬分別相交于直線s和直線t,

因為〃//a,過直線〃的平面與平面a的交線為直線s,則根據線面平行的性質定理知〃//s,

同理可得〃/〃，貝Us/〃，因為s<Z平面尸，/<=平面貝Us//平面6，

因為su平面a,aC\/3=m,則s//加，又因為〃//s,則加〃“，故③正確；

對④，若（zc/?=加，〃與a和尸所成的角相等，如果〃//%〃//，，則”?〃〃，故④錯誤；

綜上只有①③正確，

故選：A.

5.拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件2="第一枚硬幣正面朝上"，事件8="第二枚硬幣反面朝上”，則

下列說法正確的是（）

A.A與3互為對立事件B.尸（Z）=P（3）

C.A與B相等D.A與3互斥

【答案】B

【解析】

【分析】AD選項，根據互斥事件和對立事件的概念進行判斷；B選項，求出兩事件的概率；C選項，兩事

件不是同一事件，C錯誤.

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【詳解】AD選項，事件A與5能同時發生，不是互斥事件，不是對立事件，故AD均錯誤；

B選項，尸（4）=尸（8）=；,故B正確；

C選項，事件A與事件3不是同一個事件，故C錯誤.

故選：B.

6.一個圓臺的上、下底面的半徑分別為1和4,體積為28兀，則它的表面積為（）

A.4171B.42兀C.29百兀D.（18+76）兀

【答案】B

【解析】

【分析】先利用圓臺的體積公式求得高〃，再利用圓臺的表面積公式即可得解.

【詳解】依題意，設圓臺的高為〃，貝兀7/（12+42+1x4）=28兀，解得力=4,

所以圓臺的母線長為7（4-1）2+42=5，

則圓臺的表面積為兀02+42）+兀（1+4卜5=42兀.

故選：B.

7.如圖所示，要測量底部不能到達的某電視塔48的高度，在塔的同一側選擇C,。兩個觀測點，且在C,。

兩點測得塔頂的仰角分別為45。，30°,在水平面上測得N8CD=120°，C,。兩地相距500m,則電視塔48

的高度是（）

A.21000mB.400mC.200百mD.500m

【答案】D

【解析】

【分析】

設48=x,將用x表示，在△BCD中，由余弦定理得出關于x的方程，求解，即可得到結論.

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【詳解】設=在RtZX/BC中，ZACB=45，

所以BC=48=xm.

在中，ZADB=30°，所以=

在△BCD中，ZBCD=120°，CD=500m,

22

由余弦定理得(6x)2=500+x-2x500xcosl20°,

解得x=500(x=—250舍去).

故選:D.

【點睛】本題考查解三角形的實際應用，考查余弦定理，以及計算求解能力，屬于中檔題.

8.在立體幾何中，用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形叫截面.如圖，在棱長為1的正方體

ABCD-〃中，點瓦尸分別是棱B}B,B?的中點，點G是棱CQ的中點，則過線段AG且平行于

平面4￡廠的截面的面積為

8

C

9-

【答案】B

【分析】取8c的中點〃，連接證明平面〃平面小昉，得截面圖形，求面積即可

【詳解】取8C的中點〃，連接

因為￡尸||BG||GH,￡F</面AHGDi.G771面AHGDi,EF//面AHGDi,

同理，4石〃面/"GA,又A^EcEF=E,則平面N"G￡h〃平面4E尸，

等腰梯形/8GA的上下底分別為也，、歷，

2

腰長為在，故梯形的高為逆，則梯形面積為2,

248

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故選B.

【點睛】此題考查了幾何體截面問題，靈活運用面面平行的判定是關鍵，考查空間想象與推理能力，是中

檔題.

二、多選題

9.有一組樣本數據：1,1，2,4,1,4,1,2,貝!!()

A.這組數據的眾數為4B.這組數據的極差為3

C.這組數據的平均數為2D.這組數據的50%分位數為1

【答案】BC

【解析】

【分析】根據眾數、極差的定義可得眾數為1,極差為3；經計算可得平均數為2,根據百分位數的定義可

知第50%分位數為H工=L5，即可得出結果.

2

【詳解】對A,該組數據眾數為1,故A錯誤；

對B,極差為4—1=3,故B正確；

,十IniL,M1+1+2+4+1+4+1+2,,丁

對C,平均數為------------------------=2,故C正確H；

8

對D,數據從小到大排列為1,1,1,1,2,2,4,4,因為8x50%=4,所以這組數據的50%分位數為巨2=1.5,

2

故D錯誤.

故選：BC.

10.設的內角A,B,。所對的邊分別為a,b,C,則下列結論正確的是()

A.若A>B,則sin/>sinfi

B.若4>B,則cos/>cosB

C.若/+〃<02,則為鈍角三角形

D.若acosZ=bcosB,則445c為等腰三角形或者直角三角形

【答案】ACD

【解析】

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【分析】由正弦定理可判斷A,結合y=cosx在（0,兀）上單調遞減判斷B,由余弦定理判斷C,利用正弦

定理將邊化角，再由二倍角公式判斷D正確.

【詳解】對于A,若/>B,則所以sin/>sin5,所以A正確；

對于B,由N>8且43e（0,無），

根據函數了=3$》在（0,兀）上單調遞減，可得cos/<cos5,所以B錯誤；

對于C,由余弦定理cosC=勺土"二二<0,可知。為鈍角，即"5。為鈍角三角形，所以C正確；

lab

對于D,因為QCOS/=bcos3,所以sin/cos/=sinBcosB,即sin2Z=sin25,

又45e（0,兀），所以2425?0,2兀）,所以2/=23或2/+2B=兀,

JT

即/=5或Z+8=—，即。為等腰三角形或直角三角形，所以D正確.

2

故選：ACD

11.已知梯形AB=AD=1,BC=2,AD/IBC,AD1AB,尸是線段BC的中點.將

沿著所在的直線翻折成四面體/BCD,翻折的過程中下列選項正確的是（）

A.AD與4P始終垂直

B.當直線/尸與平面BCD所成角為工時，AP=~

62

C.四面體/-BCD體積的最大值為注

2

D.四面體48CD的外接球的表面積的最小值為4兀

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用線面垂直的判定定理可得8。上平面O4P,進而可判斷A選項；由直線NP與平面BCD所

7TJT

成角為一得NZPO=—,取NP的中點￡,由2尸=20￡=2尸。（：05/2尸。可判斷8選項；當。4,平面

66

BCD時，四面體/-BCD體積最大，進而可判斷C選項；由題意確定球心，進而求半徑的最小值，可判

斷D選項.

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【詳解】對于A：連接。尸,20，DPcAP=O,如圖所示:

易知四邊形ZAP。是正方形，所以

于是在四面體48CD中，

BD±OA,BD10P,

又。4cop=0且040Pu平面04P,

5￡）工平面。4?，

又因為4Pu平面。4P,所以BDL4P,故A正確;

對于B：取/尸的中點E,連接。￡,

A

因為。4=。P="，所以0EL4P.

2

7171

當直線NP與平面BCD所成角為一時，ZAP0=~,

66

巧/7

所以AP=2PE=2POcosZAPO=亞乂二=J，故B正確；

22

對于C：由題意可知，當。/，平面BCD時，四面體4-BCD體積最大,

于是七故錯誤；

=LSBCD-0A=-X-BC-DP-^-=^，C

33226

對于D：因為48LN。，所以△/BD外接圓的圓心為0,

又因為LCD,所以△5￡>C外接圓的圓心為尸.

分別過點0,P作平面ABD和BDC的垂線，交于點。「

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則。是四面體ABCD的外接球的球心.

R=O.B=^BP2+O,P2>BP=1,當。?與尸重合時取等號，

所以四面體48CD的外接球的表面積的最小值為4成2=4兀，故D正確.

故選：ABD

【點睛】方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問

題求解，其解題思維流程如下：

（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相

等且為半徑；

（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現這些

元素的關系），達到空間問題平面化的目的；

（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.

三、填空題

12.設百，瓦是不共線的兩個向量，通=耳+后2,屈=自+3瓦，①=20—瓦?若4瓦。三點共線，則左

的值為.

【答案】-4

【解析】

【分析】根據三點共線可得向量共線，由此利用向量共線定理可列出向量等式，即可求得答案.

【詳解】因為4瓦。三點共線，故而〃而，

則3AeR，使得J4B=A,BD,

又而=而_無=羽_5_（瓦+3弓）=瓦—每，

[2=1

故召+悠=2（百一4a）,貝必”,，解得比=一4,

-42=k

故答案為：-4

13.如圖，正方體4SCD—，棱長為2,￡是CQ的中點，則二面角E-DB-C的正弦值為.

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【解析】

【分析】根據二面角平面角的定義得到NEOC是二面角E-03-C的平面角，然后求正弦值即可.

如圖，取AD中點0,連接。E,。。，

因為43co—48CQ1為正方體，所以CD=CS,ED=EB,

因為。為8。中點，所以OELBD,0CLBD,

因為平面5￡>￡c平面。￡<=平面BDE,OCu平面

所以ZEOC是二面角E-DB-C的平面角，

CE=1,0C-V2'OE—J2+1=,

sinD50C=—=-^=—,所以二面角E—08—C的正弦值為史.

0E633

故答案為：21.

3

14.粽子，古時北方也稱“角黍”，是由粽葉包裹糯米、泰米等餡料蒸煮制成的食品，是中國漢族傳統節慶食

物之一，端午食粽的風俗，千百年來在中國盛行不衰，粽子形狀多樣，餡料種類繁多，南北方風味各有不

同，某四角蛋黃粽可近似看成一個正四面體，蛋黃近似看成一個球體，且每個粽子里僅包裹一個蛋黃，若

粽子的棱長為6cm,則其內可包裹的蛋黃的最大體積為

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【答案】屆

【解析】

【分析】蛋黃近似看成一個棱長為6cm的正四面體ABCD的內切球,設正面體ABCD的內切球的球心為0,

球的半徑為「，正四面體的表面積為S,體積為廠，則由;=?力可求出廠，從而可求出蛋黃的體

積.

【詳解】蛋黃近似看成一個棱長為6cm的正四面體A8CD的內切球，

設正面體/BCD的內切球的球心為0,球的半徑為「，正四面體的表面積為S,體積為「，

因為正四面體48CD的棱長為6,

所以正四面體的高力=,62--X—X6=2痣，

V132J

正四面體的表面積為S=4xX3x62=364

一,

4

因為:S'='

所以工X36A/^T=6?義2痣，解得7瓜

“二---，

3342

4（/AY

所以蛋黃的體積為gux苧=V671（cm3），

故答案為：迎71

1D

B

四、解答題

15.復數z=（加之一3加一4）+（加2—5加一6）iGR

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（1）若Z是虛數，求實數加的取值范圍：

（2）若z所對應的點在第四象限，求實數加的取值范圍：

【答案】（1）加力一1且加彳6

⑵（4,6）

【解析】

【分析】（1）根據復數類型為虛數得到不等式，從而求解；

（2）根據復數對應的點在第四象限得到不等式組，求出實數加的取值范圍.

【小問1詳解】

由題意可知：z是虛數，貝！J加2_5加一6w0,解得：加工-1且加工6,

所以實數加的取值范圍加w-1且加w6.

【小問2詳解】

加2-3加一4〉0

因為Z所對應的點在第四象限，則1,解得：4〈加<6,

m~-5m-6<0

所以實數加的取值范圍是（4,6）.

222

16.在中，內角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,c+b-a=y[2bc-

（1）求A；

（2）若a=2,求乙48。面積的最大值.

【答案】（1）

4

⑵V2+1

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可；

（2）利用余弦定理及基本不等式得和44+2亞，利用三角形面積公式求解最值即可.

【小問1詳解】

由題意得cosZ="+L—"-=也,又/6（0,兀），所以/=弓.

2bc2'’4

【小問2詳解】

當。=2時，由余弦定理得4=/+02一夜兒，

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則4=b2+c2'C,所以beV——=4+2A/2,

當方=c時取等號，所以“8。的面積5=,^^^＜行+1,

2

即AZ8C面積的最大值行+l.

17.甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為;和：，求：

（1）兩個人都譯出密碼的概率；

（2）恰有1個人譯出密碼的概率.

【答案】（1）—；

3

⑵T

【解析】

【分析】（1）根題意，結合相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解；

（2）由題意，甲譯出乙未譯出或甲未譯出乙譯出，結合相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解.

【小問1詳解】

解：記“甲獨立地譯出密碼”為事件A,“乙獨立地譯出密碼”為事件8,

12

可得事件A,B為相互獨立事件，且P（Z）=］,P（8）=］，

121

兩個人都譯出密碼的概率為p（/nB）=p（/）xp（5）=5X3=3.

【小問2詳解】

解：恰有1個人譯出密碼可以分為兩類：甲譯出乙未譯出或甲未譯出乙譯出，

且兩個事件為互斥事件，所以恰有1個人譯出密碼的概率為：

p［（^ns）u（^ns）］=p（^n5）+ppns）=p（^）p（s）+p（l）p（s）

18.如圖，48是。。的直徑，PZ垂直于。。所在的平面，。是圓周上不同于48的任意一點.求證:

平面上4C，平面必C.

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【答案】證明見解析

【解析】

【分析】先利用線面垂直的判定定理證明1平面P/C,再利用面面垂直的判定定理證明即可.

【詳解】證明：因為R4,平面45C,

BCu平面ABC,

所以

又因為8。，/。,2。門尸2=2,/C,PZu平面上4C,

所以平面P/C,