2023?2024學年第一學期八年級期末教學質量檢測數學試題

考試時間120分鐘滿分150分

第I卷（選擇題共40分）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.）

1.在平面直角坐標系中，點A是無軸上的一點，則點A的縱坐標為（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了X軸上點坐標的特征.熟練掌握l軸上點坐標的縱坐標為0是解題的關鍵.

根據1軸上點坐標的縱坐標為0,判斷作答即可.

【詳解】解：由題意知，點A的縱坐標為0,

故選：D.

2.如圖，直線a,占被直線c所截，ab,若Nl=120。，則N2的度數為（）

A.50°B,60°C,70°D,80°

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了對頂角相等、平行線的性質等知識，理解并掌握平行線的性質是解題關鍵.首先

根據“對頂角相等"可得N3=N1=12O。，再根據“兩直線平行，同旁內角互補”，由N2=180°-N3

求解即可.

【詳解】解：如下圖，

.?"3=21=120。，

???ab，

.?.Z2=180°-Z3=60°.

故選：B.

3.如果加三〃，那么下列各式中正確的是（）

一AW0一72

A.B.加W"-1c,2-2D.2m<2n

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了不等式的性質.熟練掌握不等式的性質是解題的關鍵.

根據不等式的性質對各選項進行判斷作答即可.

【詳解】解：「mW”,

1、1

—桁之—n

22,2m<2n,

無法判斷力，”一1的大小關系，

???A、B、C錯誤，故不符合要求；D正確，故符合要求；

故選：D.

4.下列命題中是假命題的是（）

A.如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角

B.全等三角形的面積相等

C.負數都小于零

D.三角形的三個內角的和等于180°

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查命題真假的判斷，根據對頂角定義即可判斷A項，根據全等三角形性質即可判斷B

項，根據負數的定義即可判斷C項，根據三角形內角和定理即可判斷D項.

【詳解】解：A、如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角，根據有公共的頂點，角的兩邊互為反向延長

線的兩個角是對頂角，故該命題錯誤，為假命題，符合題意；

B、全等三角形的面積相等，正確，為真命題，不符合題意；

C、負數都小于零，正確，為真命題，不符合題意；

D、三角形的三個內角的和等于180°,正確，為真命題，不符合題意；

故選：A.

5,下列算式的值是有理數的是（）

昱

A.6-百B,43x9c.0D5/4+75

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查二次根式的計算，以及有理數的概念，根據二次根式的運算法則計算各項，再根據有理

數的定義判斷各項，即可解題.

【詳解】解：A、相-尤為無理數，不符合題意；

B、反§=3后為無理數，不符合題意;

c、為有理數，符合題意;

D、J1+6=2+"為無理數，不符合題意;

故選：C.

6.2023年10月8日，第十九屆杭州亞運會圓滿結束.各國參賽代表團在激烈的比賽中展現了出色的實

力.中國體育代表團在本屆亞運會上，收獲了201枚金牌，取得了亞運會參賽歷史最好成績，中國成為首

個在單屆亞運會上獲得200枚以上金牌的國家.現將我國近六屆亞運會的金牌數統計如下，在這組數據

中，金牌數的中位數是（）

第14-19屆董運會中國全牌數

0______________________________________

第14屆第15U；第16%第17H第18Ali第19M

A.155B.158C.165D.199

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了求中位數”將一組數據按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數據的個數是

奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就

是這組數據的中位數”，熟記中位數的定義是解題關鍵.根據中位數的定義求解即可得.

【詳解】解：將這組數據從小到大進行排序為132150,151,165,199,201,第3個數和第4個數的平均數

即為中位數，

⑸+165-58

則在這組數據中，金牌數的中位數是2,

故選：B.

7.《孫子算經》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足

一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木

還剩余1尺，問長木多少尺？如果設長木長尤尺,繩長y尺，則可以列方程組（）

【答案】D

【解析】

J

【分析】本題的等量關系是：繩長-木長=4.5；木長2繩長=1,據此可列方程組求解.

【詳解】解：設長木長x尺，繩長y尺,

x=4.5

x--v=l

依題意得

故選：D.

【點睛】此題考查二元一次方程組問題，關鍵是弄清題意，找準等量關系，列對方程組，求準解.

8.在RtZxHBC中，NC=90°,BC=3,AC=4,2D是NH5c的角平分線，則UD的長為()

435

A.3B.2c.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了角平分線的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，熟練掌握角平分線上的

點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵.過點。作于點E,利用角平分線的性質，可得

DE=CD,從而得到RtABCDgRb8即(HL),可得BE=BC=3,然后設==則

AD=4-x,在Rt-,4Z)E中，利用勾股定理，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點。作于點E,

?.?3。是?超。的角平分線，ZC=90°,

:.DE=CD,

,：BD=BD,

,RaBCZ)gRu8或)(HL)

??\/，

BE=BC=3,

在Rt△的。中，BC=3,AC=A,由勾股定理得:

ABNAC'+BC，=5,

:.AE=AB-BE=2,

設DE=CD=x,則AD=4-x,

在P.t-ADE中，DE2+AE2=AD2,

.(4-.X)3=23+.X3

_3

解得：一5,

r

CD=-

即2.

故選：B.

9.如圖，直線外二?！薄?。。）與紇=''+右交于點，（一1二），則下列四個結論：?a<0,b>0；②當

:v>0時，】、>°；③當》>一1時，?“<"；④當°<”<丁1時，-3<.x<-l.其中正確的結論有

（）個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查一次函數與一元一次不等式，根據正比例函數和一次函數的性質，結合圖象判斷即可，

關鍵是根據正比例函數和一次函數的性質判斷.

【詳解】解：因為內=6（°工0）經過二，四象限，所以。<0,J3=x+6經過一、二、三象限，所以

b>0,故①正確；

,■'a<0,當x>0時，J.<。，故②錯誤；

結合圖象可得，當》>一1時，直線丁1=。1（。二°）的圖象在”=的圖象下方，】、<】、，故③正

確；

結合圖象，當心時，x<T,<丁1,二刀>一3,二一3<1<-1,故④正確，

故選：C.

10.在平面直角坐標系中，第一象限內的點尸（、,1,）和在第四象限內的2「工丁11若滿足：

'-y（0<x<,2）

?[i--8（.v>2）,那么稱點。為點尸的“影像點”，例如：點（】，’的影像點為點點（4>

的影像點為點（4-6）,如圖，若點在直線）'=*一1上，當a<加<6時，存在點p的影像點

Q,則b-a的最大值為（）

【解析】

【分析】本題考查了一次函數與坐標軸的交點，點坐標的平移，關于X軸對稱的點坐標的特征.熟練掌握

一次函數與坐標軸的交點，點坐標的平移，關于1軸對稱的點坐標的特征是解題的關鍵.

由“影像點”可知，當0cxW2時，「（工】'）、關于1軸對稱，當時，尸（工】‘）向下平移

8個單位得到°然后根據Q在第四象限求得當5V5時，存在點p的影像點。，然后求解作

答即可.

【詳解】解：由“影像點”可知，當時，尸（工?。ⅰ悖L丁1）關于“軸對稱，當時，

尸（X，J'）向下平移8個單位得到。（X，JiL

當J=0時，〕'=2x—1=°,

1

X=—

解得，-，

當丁=$時，2.x-l=8,

,=9

解得，-2,

19

—<m<—

???當22時，存在點尸的影像點。，

-a<m<b,

91”

———=4

???6-。的最大值為22,

故選：A.

第II卷（非選擇題共110分）

二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

11.點P（2,4）關于y軸對稱點的坐標為.

【答案】（-2,4）.

【解析】

【詳解】分析：根據“關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數”解答即可.

詳解：點尸(2,4)關于y軸對稱的點的坐標為(-2,4).

故答案為(-2,4).

點睛：本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規律：

(1)關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；

(2)關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數；

(3)關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數.

12.不等式2x-3>0的解集是.

.->2

【答案】2

【解析】

【分析】解不等式即可.

【詳解】解：2x-3>0,

2x>3,

xU

.vU

故答案為2.

【點睛】本題考查解一元一次不等式，熟練掌握不等式的性質是解題關鍵.

13.如圖，在中，外角ZDG4=100°,乙4=45°,的度數為度.

【解析】

【分析】本題考查三角形外角的性質，掌握三角形外角等于與之不相鄰的兩個內角和，即可解題.

【詳解】解S=l00°,乙4=45°,

..Z5=ZZ)CX-2S4=100°-45O=55°

故答案為：55.

'_4

-3x+i,+3=0<3

14.若方程組l3x+='-6=°的解是［丁=1,則直線y=3x-3與'-2交點的坐標為

【解析】

【分析】本題考查了一次函數與二元一次方程組.二元一次方程可以化為一次函數，兩個二元一次方程組

的解就是兩個函數的交點坐標.

4

-3x4-v+3=0

3T+1

【詳解】解：?.?方程組11'-6=0的解是[y

I，=NX+311

...直線丁=51-'與'2的交點坐標是

4

故答案為:

15.如圖，在?45c中，NC=90°,乙4=30°,在幺。上取一點0,使得CO=4石，過點。作邊

43的垂線QE,垂足為點E,且DE=26,則的面積為.

【解析】

【分析】此題考查了含30°角的直角三角形的性質、勾股定理等知識，根據含30°角的直角三角形的性質

得到血）=208=46,貝|]47=40+。0=8岔，再得到=利用勾股定理求出,

根據直角三角形面積公式即可得到答案.

【詳解】解：???過點。作邊AB的垂線DE,垂足為點E,

口加=90。，

...ZZ=30°,DE=2^3,

...AD=2DE=45

1.AC=AD+CD=3j3,

在“5C中，ZC=90°,乙4=30。，

.：AB=2BC,

■.■AB2=BC2AC2,

(25C)3=5C3+(8^)2

解得R?=S(負值已舍去)，

L4cBe=k8^xg=32道

???"C的面積為2-,

故答案為：，-

16.如圖，己知々43C,乙43c=30°,BC=2,以4c為邊向外作等邊三角形AHCD,連接3。交

月C于點￡,其中3,則43的長為.

【答案】有

【解析】

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，以月3為邊向外作等邊三

角形上4叩，連接0尸，證明"C尸/AQE(SAS),可得尸C=BQ,再利用勾股定理，即可得到

EF的長，即可解答，作出正確的輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，以月3為邊向外作等邊三角形一A3尸，連接°尸，

-AABFAACD是等邊三角形，

AF=AB.AC=AD,￡FAB=ZC4D=60°

AFAB+ABAC=Z.CAD+ABAC,

即NR4C=?D,

在tJ^AC和LBAD中，

'FA=BA

<AFAC=乙BAD

AC=AD

..“C72A4D8(SAS),

FC=BD,

ZABC=30°,

4BC=NFBA+ZABC=90。,

根據勾股定理，

AB=BF=JFC2-BC2=5

故答案為：5

三、解答題(本大題共10個小題，共86分.請寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

4x-y=2

17.解方程組：1/+31'=7.

\=1

<

【答案】IJ'=:

【解析】

【分析】本題主要考查了解二元一次方程，解題關鍵是熟練掌握解二元一次方程的常用方法.利用代入消

元法解該方程即可.

4x-j，=2①

<"

【詳解】解：卜+“=7②

由①可得，】'=4L2③，

將③代入②,可得x+3(41)=7,

解得》=1,

將x=l代入③，可得j'=4-2=2,

x=l

???原方程組的解為［】'=二

7+T>2-4x

18.解不等式組l1+2(T-ll-S,并寫出所有整數解.

【答案】不等式組的解集一1<142,整數解為1=0,1,2.

【解析】

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組.分別求出各不等式的解集，利用“同大取大；同小取小；大

小小大中間找；大大小小找不到”的原則再求出其公共解集即可.

【詳解】解：解不等式7+x>:-4x得：x>-},

解不等式1+2(*-1)43得：*42,

二不等式組的解集是

不等式組的整數解為x=0,1,2.

19.如圖，在四邊形/BCD中，點0在邊°。上，延長月。交5。的延長線于點石，已知N1=NE,

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據N1=NE,可得AD〃BE,進而得到乙D=NDCE,結合已知條件NB=NZ）,通過等量

代換，得到ZB-NDCff,即可求解，本題考查了平行線的性質與判定，解題的關鍵是：熟練掌握相關性

質與判定定理.

【詳解】證明：（內錯角相等，兩直線平行），

..AD//BE,

:.力=ADCE（兩直線平行，內錯角相等），

又,：乙B=LD,

AB=ADCE,

AB//CD（同位角相等，兩直線平行）.

20.如圖，在a45c和AHB'C中，Z-C=ZC*=90°,AB=AB,與W。'分別為6C,BC'邊

上的中線，且。=°力'，求證：-MC—

【答案】見解析

【解析】

【分析】此題考查了全等三角形的判定，根據三角形中線的定義得到CB=?CD,C'B'=2C'D',由

CD-C'D',得到。3=C'3'，利用HL即可證明二48'。'.

【詳解】證明：???山與4。'分別為3C,5（?邊上的中線，

,-.CB=2CD,C'B'=2C'D',

..CD=C'D',

；,CB=C,B,,

在RtLHSC和RtA<AC'中，

rAB=AB'

'BC=B'C

.RtAABCgRt"?C'(HLj

21.用5張大小完全相同的長方形紙片在平面直角坐標系中擺成如圖圖案，已知點A的坐標為（-L7）,求

點B的坐標.

【答案】（-6.5）

【解析】

【分析】本題主要考查了坐標與圖形、二元一次方程組的應用等知識，正確列出二元一次方程并求解是解

題關鍵.設小長方形的長為X,寬為〕’，根據題意列出二元一次方程組并求解，然后確定點B的坐標即

可.

【詳解】解：設小長方形的長為X,寬為J',

x-y=1

依題意，得卜+%=7,

x=3

解得卜=-,

2x=6,x+.】'=5,

.??點B的坐標為（-65）.

22.用尺規作平行線的方法：

已知：直線A8及直線月3外一點尸.

求作：經過點P的直線C。，使得CDAB.

尺規作圖步驟：

如圖，①過點P作直線月方的相交線，與直線月方交于點//；②以點H為圓心，任意長

為半徑畫弧，交直線月P于點E,交直線43于點B③以點尸為圓心，以線段HF長

為半徑畫弧，交射線加于點M；④以點/為圓心，線段長為3尸半徑畫弧交前弧于

點N；④過點尸，N作直線CO.

(1)在上述作圖步驟中通過(填寫合適的選項)可判定從而可得到

￡MPN=￡EHF.

A.“SSS”B."SAS”c.“ASA”D."AAS”

(2)在上述作圖步驟中用到的判定C0*AB的依據是.

(3)如圖3,在?48。中，加=4°,小明通過剛才的方法，作出了NE4D=NB,可以得到HD是

"C底邊3c的平行線，那么也)是?45c外角/瓦4c的平分線嗎？請說明理由.

【答案】(1)A(2)同位角相等，兩直線平行

(3)是，理由見解析

【解析】

【分析】(1)由作圖可知，PM=HE,MN=EF,PN=HF,可證&PAW.(SSS),然后作

答即可；

(2)根據平行線的判定定理作答即可；

(3)由平行線的性質，等邊對等角可得/瓦4Z)=N￡MC,進而可證M是外角/￡4C的平分

線.

【小問1詳解】

解：由作圖可知，PM=HE,MN=EF,PN=HF,

.△尸AW知幽"SSS)

故選：A；

【小問2詳解】

解：由題意知，AiPN=AEHF,

...CD//AB,

判定CO//AB的依據是同位角相等，兩直線平行，

故答案為：同位角相等，兩直線平行；

【小問3詳解】

解:，。是“50外角/瓦4c的平分線，理由如下；

:NEAD=NB,

...ADBC,

,.ADAC=AC,

■.■AB=AC,

"=N。，

READ="AC,

；.4）是a45c外角N&1C的平分線.

【點睛】本題考查了作一個角等于己知角，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，角平分

線等知識.熟練掌握作一個角等于己知角，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，角平分

線是解題的關鍵.

23.為豐富校園課余生活，增強班級凝聚力，展現學子積極向上的精神風貌，我市某中學準備開展八年級

校園籃球賽.為了在接下來的校園籃球賽中取得好成績，甲、乙兩名同學在放學后進行了投籃訓練.訓練

中的一個環節是：兩人各進行了10輪投籃訓練，每一輪進行10次投籃，記錄進球數.現將兩人的投籃表

現記錄如下，并對所得數據進行整理和分析.

a甲、乙兩人的投或調緣數據統計圖：

2中數投抵調停統計圖

b.甲乙兩人投籃命中數的平均數，眾數

OR

平均數

（個）Hq

眾數（個）

根據以上信息，0回答下列問題:

（1）表中加的值是,甩的值是;

（2）甲同學10輪投籃訓練數據的極差是個;

（3）設甲、乙兩人投籃命中數的方差分別是S',S：,直接寫出S"捺之間的大小關系:g

（填“>”或號）；

（4）在甲同學的10輪投籃訓練中，投中的球里有“普通球”和“彩球”兩種，其中“普通球”投中一個

記2分，“彩球”投中一個記3分，投不中記0分，若甲同學投中了40個“普通球”，則他在投籃訓練

中每次投球的平均分是多少？

【答案】（1）7.6.7

⑵4

（3）>

（4）他在投籃訓練中每個球的平均分是188分

【解析】

【分析】本題考查統計綜合，涉及平均值、眾數、極差、方差及解應用題，熟記相關統計量的定義及求解

公式是解決問題的關鍵.

(1)根據題中數據，由平均數即眾數定義直接求解即可得到答案；

(2)結合題中數據，由極差定義與求法代值求解即可得到答案；

(3)先算出甲乙投中數的平均值，再由方差公式代入數據求解，比較大小即可得到答案；

(4)根據題中要求，結合題意，求出沒投中的數目及投中“彩球”的數目，由得分代值求解即可得到答

案.

【小問1詳解】

解：由甲投籃記錄數據如下：8、78968、5896,

=(8+7+8+9+6+8+5+8+9+8)=7.6

由乙投籃記錄數據如下：8、7、7、9、8、7、7、8、8、7,

.眾數〃=7；

故答案為：7.6；7；

【小問2詳解】

解：甲同學10輪投籃訓練最大命中數是9；甲同學10輪投籃訓練最小命中數是5；

甲同學io輪投籃訓練數據的極差是4,

故答案為：4；

【小問3詳解】

解:由(1)及題意可知N“=X-=76；

甲投籃命中數的方差分別是

i；.±x[(8-7,6)>(7-7.6HiS-76i+|9-76|-H6-76f4-(8-76)+(5-76)>(8-7.6)-+(9-7,6f+(8-7fi

=_Lx(016+036+016+1.96+2.56+016+676+016+196+016)

10')

-144.

乙投籃命中數的方差分別是

.jLx^(8-7.6r-K7-7.6f+(7-7,6)+(9-7,6)+(8-7,6)+(7-7,6)*+(7-7,6)*+(8-7^)+(8-7,6)+(7-7.6)]

=_Lx(016+036+036+196+0.16+0.36+036+016+016+036)

=044；

v1,44>0,44,

st'>$二，

故答案為：>；

【小問4詳解】

解：根據題意，沒投中球數是2+3+3+1+1+3+3+2+2+3=24,

?.?進行了io輪投籃訓練，每一輪進行io次投籃，則總投球數是10x10=100,

.當甲同學投中了40個“普通球”，24個沒投中時，投“彩球”數為10°-40-？4=36,

?.?“普通球”投中一個記2分，“彩球”投中一個記3分，投不中記。分，

.甲同學投球總得分為40x2+36x3+24x0=1瞅則他在投籃訓練中每次投球的平均分是

188*100=198分.

24.為培養學生關愛他人，樂于助人的思想品質，學校舉辦獻愛心義賣活動，義賣所得善款將捐贈給特殊

學校的小朋友們.八年級一班學生經討論，決定購進文創產品參與義賣活動，兩次購進文創產品的情況如

表所示：

進貨批次甲種文創數量（單位：個）乙種文創數量（單位：個）總費用（單位：元）

第一次60401520

第二次30501360

（1）求甲、乙兩種文創產品的進價；

（2）銷售完前兩次購進的文創產品后，同學們決定開展第三次義賣活動，購進甲、乙兩種文創產品共

200個，且投入的資金不超過3360元，求最少需要購進多少個甲種文創產品.

【答案】（1）甲種文創產品的進價為每個12元，乙種文創產品的進價為每個20元；

（2）最少需要購進甲種文創產品80個.

【解析】

【分析】本題考查二元一次方程組與一元一次不等式的應用，理解題意，列出方程組與列不等式是解題的

關鍵.

C1）根據已知條件，列出方程組，即可求解.

（2）設購買甲種文創產品加個，則購買乙種文創產品個，根據投入的資金不超過3360元，列

不等式求解即可.

【小問1詳解】

解：設甲種文創的進價為每個x元，乙種文創的進價為每個y元；.

依題意可得：

'60x+40r=1520

'30.T+50V=1360

Ib,

\=12

解得：U'=2°,

答：甲種文創產品的進價為每個12元，乙種文創產品的進價為每個20元.

【小問2詳解】

解：設設購買甲種文創產品加個，則購買乙種文創產品0°°一"）個，.

依題意可得：

12m+20(200-w)<3360

解得：w>80.

答：最少需要購進甲種文創產品80個.

ci)求直線/的解析式；

(2)如圖，過線段月3的中點)作一條直線與X軸交于點R當一EF為直角三角形時，請求出點

月的坐標.

(3)如圖，點c是尤軸上一動點，連接SC,在右側作等腰直角ARCD,乙400=90°,連接

(3)5+同

【解析】

【分析】(1)利用待定系數法將點A和點B代入J=h+A即可求得解析式；

(2)分情況討論：①當N3班=90。時，連接4尸，得到直線疑是線段月3的垂直平分線，則

AF=BF,在Rf”。尸中利用勾股定理解得夕0；②當乙37苗=90°時，點5(a，?)在直線

4“

v=—x+4

3上，可求得點E,即可得到點尸；

(3)過點。作。軸于點加，可證得A40C/ACMD,有月。=。"和OC=A①，設點

09°),則點°(4+'/),可得點。在運動軌跡，設直線J='-4與x軸交于點尸，與y軸交于點°,

連接期并延長上至點尸'，使得⑷3=4尸，過點4作<加_1_1軸交于點M連接40和45,則點

尸(4,0),00,-4),則線段Q?垂直平分得到4?=/。，利用勾股定理得四=5,則

結合］、和。共線時。+松=最小，進一步證得

CMD=AB+BD+AD=5+BD+A'D)8343

△4尸榜“尸0,有WN=d0和PM?P0,求得AP=1和BV=5,即可求得43="T.

【小問1詳解】

解：將點4°*)和點B(3,0)代入J=h+b

fL__i

b=A<3

得：［3尢+6=0,解得：也=4,

4“

v=—x+4

...直線/的表達式為：’3；

【小問2詳解】

①當乙SM=90°時，連接擊，如圖，

???點E是線段月方的中點，

直線EF是線段AB的垂直平分線，

:.AF=BF,

在正人力。尸中，AO2+FO3=AF3,

.d+mym+3*解得司°】,

???+河

②當N3EE=90°時，如圖,

FE_Lx軸且點尸在x軸上,

綜上所述，P的坐標I6人廠.

【小問3詳解】

過點。作。M_Lx軸于點如圖，

AHCD為等腰直角三角形,

.-.AC=CD,

■：ZACD=90°,

.?.4CO+ZAfCZ)=90。，

-.-ZACO+ZGtO-PO*,

.-.ACAO=ADCM,

?.?4OC=NCMD=90°,

...AHOCSACMDIAAS),

AAO=CM,OC=MD,

設點0億°),^\OM=OC+CM=4+t,DM-t,故點。(4+小),

\=4+i

J'=f,得J?x-4,

點D在直線J,t?4上運動，

設直線J-x-4與x軸交于點p,與y軸交于點。,連接“并延長月尸至點尸'，使得4P=/'F,過點

4作』Nix軸交于點N,連接4。和43,如圖，

則點尸(4,0),0OT),

?.40,4)

?、9

二。尸=。月=。。=4,

?.?/月。尸=90。，

...ZAPQ=90。，

則線段8垂直平分44',

：.AD=AD,

'；AO=4,OB=3,

.?.加=5,

.C_ABD=AB+BD+AD=5+BD+AD!

當幺'、8和。共線時80+W。=48可以取到最小值，

-.-ZA'NP=ZAOP=9Q°,AP=AP,ZA'PN=ZAPO,

."TW/AnPO(AAS)

:.AN=AO,PN=PO,

-OP=4,OB=3,

：,BN=BP+PN=5,

-：AN=AO=A

AB=ylAN2+NB2=如,

,物）周長的最小值。_皿=5+B4=5+而.

【點睛】本題主要考查待定系數法求解析式、垂直平分線的性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質以及

全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是全等三角形的判定和得到三點共線時取最小值.

26.在學習了三角形的知識后，數學興趣小組的同學們又進一步對圖形構造后的線段之間的關系進行了探

究.

（一）嘗試探究

在中，乙4=90。，AB=AC,點。為3。的中點.

（1）如圖，若點E,尸分別為邊48,上的點，且斤=90°,請探究線段DE與。尸之間的數

量關系，并說明理由；

（2）如圖，若點E在邊月3上，點加，產分別在血，4c的延長線上，且/皿HF?900,求證:

AE+AF=4：AM.

（3）如圖，在四邊形加。。中，乙B4C-6O?，Z5Z）C=120°,BD-CD,若45=7,

花=4/，請直接寫出4c的長.

【答案】（1）DE=Q尸，理由見解析；（2）證明見解析；（3）5

【解析】

【分析】（1）根據等腰三角形的性質，推導得RD=CQ,在結合全等三角形的性質，通過證明

/lAED^ACFD,即可完成求解；

（2）根據等腰三角形和直角三角形的性質，推導得=根據勾股定理的性質計算得HM,結合

結合全等三角形的性質，通過證明△AffM/ZkNRM,得AE=NF,通過計算即可完成證明；

（3）根據四邊形內角和、全等三角形的性質，推導得￡區=,也，NBAD=NE；在根據等腰三角形和

勾股定理的性質計算，即可得到答案.

【詳解】（1）連接M

■：ZBAC=90°,AB=AC

；,Z5=ZC=45°

=點。為BC*的中點

皿=9*45。

ZADC=90°

：/EAD=2C,ZD^C-90,-ZC-45*

:.ADAC=AC

AD=CD

?.?NEZ印=90°

：ZEDF=ZADC

Z.EDF-LA.DF-ZADC-AADF

4EDA=ZFDC

在△力班)和二詆中，

'ADAE=ADCF

'AD=CD

/EDA=4FDC

...AASD/AC陽(ASA)

:.DE=