專題02函數與方程

一、核心先導

二、考點再現

【考點1】函數的零點

對于一般函數y=/(%),%我們把使/(x)=0成立的實數%叫做函數丁=/(%),%€。的零點.注

意函數的零點不是點，是一個數.

【考點2】函數的零點與方程的根之間的聯系

函數y=/(x)的零點就是方程/(x)=0的實數根，也就是函數y=/(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標

即方程/(X)=o有實數根o函數y=/(x)的圖象與X軸有交點O函數y=/(x)有零點.

【考點3】零點存在定理

如果函數y=/(x)在區間切上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有/(a>/3)<0,那么，函數

y=/(x)在區間(。,力內有零點，即存在ce(a,?,使得/(c)=0,這個c也就是方程/(x)=0的根.

注：上述定理只能判斷出零點存在，不能確定零點個數.

【考點4］二分法

對于在區間上連續不斷且<o的函數y=/(X),通過不斷地把函數/(%)的零點所在的區間一

分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.求方程/(x)=0的近

似解就是求函數/(%)零點的近似值.

【考點5］高頻考點技巧

①若連續不斷的函數/(x)是定義域上的單調函數，則/(x)至多有一個零點；

②連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號；

③函數尸(X)=f(x)-g(x)有零點o方程F(x)=0有實數根o函數%=/(X)與%=g(x)的圖象有交

點;

④函數F(x)=f(x)-a有零點o方程歹(x)=。有實數根o函數％=/(%)與乂=。的圖象有交點

Oy=/(%)},其中。為常數.

三、解法解密

方法一：確定函數f(X)零點個數(方程r(x)=0的實根個數)的方法：

(1)判斷二次函數/1(*)在R上的零點個數，一般由對應的二次方程f(x)=0的判別式A>。，A=0,A

<0來完成；對于一些不便用判別式判斷零點個數的二次函數，則要結合二次函數的圖象進行判斷.

(2)對于一般函數零點個數的判斷，不僅要用到零點存在性定理，還必須結合函數的圖象和性質才能確

定，如三次函數的零點個數問題.

(3)若函數f(x)在［a,6］上的圖象是連續不斷的一條曲線，且是單調函數，又/"(a)?『(6)<0,則y=

f(x)在區間(a,吩內有唯一零點.

方法二：導數研究函數圖象交點及零點問題

利用導數來探討函數y=/(x)的圖象與函數y=g(x)的圖象的交點問題，有以下幾個步驟：

①構造函數h(x)=/(%)-g(x)；

②求導〃(x)；

③研究函數/z(x)的單調性和極值(必要時要研究函數圖象端點的極限情況)；

④畫出函數/z(x)的草圖，觀察與x軸的交點情況，列不等.式；

⑤解不等式得解.

探討函數y=/(x)的零點個數，往往從函數的單調性和極值入手解決問題，結合零點存在性定理求解.

四、考點解密

題型一:判斷零點所在區間

例1.(1)、(新疆疏勒縣八一中學2018-2019學年高二上期末)

2

函數〃x)=ln(x+l)——的一個零點所在的區間是()

JC

A.(0,l)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

(2)、(2022?北京市西城外國語學校高一期中)函數/(無)=°-尤,零點所在的一個區間是()

X

A.(-2,-l)B.(0,l)C.(1,2)D.(2,+oo)

【變式訓練1-11.(2019?浙江湖州高一期中)函數/(x)=ln%+2%—3的零點所在的區間是()

A.(0,l)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【變式訓練1-2】、(2020?內蒙古?北方重工集團第五中學高一階段練習(文))函數/(元)=：-log2X的零

點所在區間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(3,4)D.(4,+s)

題型二:零點個數的判斷

例2.(1)、(2008?湖北?高考真題(文))方程2-，+/=3的實數解的個數為

(2)、(2022?四川省瀘縣第二中學模擬預測)函數〃x)=lnx+2x-6的零點的個數為()

A.OB.IC.2D.3

【變式訓練2-1】.(2020?張家口市第一中學高一月考)函數/(x)=4-|lgx|的零點個數為()

e

A.OB.IC.2D.3

兀2+2xY<0

【變式訓練2-2】.(2021?陜西?西安中學模擬預測)已知函數=j陋|；>o，貝U函數g(x)=/。-力-1

的零點個數為().

A.IB.2C.3D.4

題型三:根據零點個數，求解析式中參數的范圍

例3.⑴、(2021?廣東?東莞市東方明珠學校模擬預測)若關于無的方程2尤3_3/+a=0在區間[-2,2]上

僅有一個實根，則實數。的取值范圍為()

A.[-4,0]B.(1,28]C.H，0)U(l,28]D.H，0)U(1,28)

Y+4%+〃jr1

(2)、(2022?山西?模擬預測)已知函數〃x)=,，’若函數>=/(無)-2有三個零點，則實數。

Inx+1,x>1,

的取值范圍是()

A.(-S,2)B.(-3,4)C.(-3,6)D.(-3,+S)

[nxx>]

【變式訓練3-1】?(2020?湖南?雅禮中學模擬預測)已知定義在R上的函數/(%)=?2'|「若函數

產一斗片,i

Mx)=/(x)-依恰有2個零點，則實數a的取值范圍是()

c.U{o}D.(-i,o)U{o}U^—

【變式訓練3-2】、(2022?云南保山?模擬預測(理))已知函數/(刈=彳2/._人”x<8,若方程/。)=日

恰好有四個實根，則實數%的取值范圍是()

題型四:根據零點個數或零點所在區間，求零點之間的關系

3x

fer<0

例4.(1).(2022?吉林?東北師大附中模擬預測)已知函數/(尤)=.'二，g(%)=-x2+2x(其中e

[3x,x>0

是自然對數的底數)，若關于X的方程尸(x)=g(f(x))-〃z恰有三個不同的零點網,馬，三，且玉<Z<彳3,則

33-%+3x,的最大值為()

34

A.1+In—B.1+In—C.3—In3D.3+In3

43

/、Ilogx|,x>0

(2).(2021?普寧市第二中學高三月考)已知函數/(x)=91若

/(占)=/(當)=/(毛)=/(%4)(占，了2，W,看互不相等)，則王+馬+%+%的取值范圍是()

a-H'°X[-?°_

C-H)D-H_

3H-1,(X<1)

【變式訓練4-1】.(2021?云南紅河?模擬預測(文))已知函數，(x)=2,16，、，若不<無2<%<%，

—x—4尤+,(x>1)

且/■(%)=/■(%)=/(毛)=/(%),則逮1的取值范圍是()

A.(-8,-5)B,(5,8)C.(8,11)D.(-11,-8)

【變式訓練4-2】.(2020?全國?高三零模(文))己知函數=若函數y=/(x)-a有3個不

[4%,%>0

同的零點石，九2，%(石<9<%3)，則玉+%+?的取值范圍是.

題型五:根據零點所在區間，求解析式中參數的范圍

例5.(1)、(2017?江蘇南通?一模)已知函數〃x)=x+lnx-4的零點在區間(3Z+1)內，則正整數%的

值為.

(2)、(2021?江西上饒?二模(文))已知函數/⑺=ln尤-:無2+1,若/(x)-履>0恰有3個正整數解，

則上的取值范圍為()

In27In37In27In37

-2--624'36

In27In37In27In37

-2__4^6-2__4^6

16x2-24x+9,x<1

【變式訓練5-1】?（2022?新疆昌吉?二模

/（無）=祖（〃26/?）有三個不同的實根，則力的取值范圍為.

【變式訓練5-21?（2019?安徽?三模（文））己知函數/（x）=ln尤-（；尸+。有唯一的零點看,且x°e（2,3）,

則實數。的取值范圍是

A.（--ln3,--ln2）B.（--In3,--ln2）

4234

C.(―+In2,—+In3)D.(—+In2,—+In3)

題型六:復合函數的零點問題（自我嵌套）

例6.（1）、（2021?吉林長春外國語學校（理））已知函數/（無卜]：?、'"'。若關于x的方程/[/（x）]=0

log2>0

有且只有一個實數根，則實數”的取值范圍是（）

A.（FO）B.（f0）U（0,l）

C.（0,1）D.（O,l）U（l,+?）

（2）.（2022?全國高三專題練習）設aeR,函數=若函數y=打〃力]恰有4個零點,

—X+ax,x<0

則實數。的值為.

、fx+l,x<0,,

【變式訓練6-1】?（2022?全國高三專題練習（理））已知函數?八則函數y=/r[〃x）]的所

log2x,x>0

有零點之和為.

]nx——x〉0

【變式訓練6-2】、（2022?湖南?長郡中學模擬預測）已知函數〃x）=無’，則函數y=/U?（元）+1]

x2+2x,x<0

的零點個數是O

A.2B.3C.4D.5

題型七:復合函數的零點問題（與二次函數嵌套）

例7.⑴、(2022?陜西?銅川市耀州中學模擬預測(文))設函數〃x)=:+1'”；，若關于x的方程

|log4x|,x>0

[〃x)T-(a+2)〃x)+3=。恰好有六個不同的實數解，則實數。的取值范圍為()

A.(-2A/3-2,2^-2)B,273-2,1

C.—,+co^D.(2^[3—2,+co)

(2)、(2021?江西省樂平中學高一開學考試)已知函數/(尤卜(“:匕""：。'的值域為R,且若關

[-X+l,x<0

于X的方程/(“_(租+2)〃力+2租=0有三個不同的實數根，則機的取值范圍為()

A.(-℃,1)B.(-a),e)C.[0,1]D.[0,e]

【變式訓練7-1】、(2021?吉林省實驗中學模擬預測(文))已知函數=則關于x

的函數y=4/⑺-13〃x)+9的零點的個數為()

A.8B.7C.5D.2

ln(|x|+l),x<0

【變式訓練7-2】.(2021?黑龍江鶴崗一中(理))已知函數/(力=%,若方程

--,x>0

r(X)+2〃Z"(X)+M_I=O恰有4個不同的實數根，則實數加的取值范圍是()

A.(-2,-l)B.(0,2)

題型八:高考壓軸真題訓練

例8.⑴、(2007?湖北?高考真題)關于x的方程(犬-1丫-/T+左=o,給出下列四個命題:

①存在實數左,使得方程恰有2個不同的實根;

②存在實數3使得方程恰有4個不同的實根;

③存在實數左，使得方程恰有5個不同的實根;

④存在實數3使得方程恰有8個不同的實根.

其中假命題的個數是()

A.OB.IC.2D.3

(2)、(2019?江蘇?高考真題)設”x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數，Ax)的周期為4,g(無)的周期

k(x+2),0<x<l

為2,且是奇函數.當尤e(0,2]時，f(x)=6(1)2,g(x)=_j_]<*2，其中左>。?若在區間(。⑼

,25》一

上，關于x的方程/(x)=g(x)有8個不同的實數根，則上的取值范圍是.

e"%<0

【變式訓練8-1】?(2018?全國?高考真題(理))已知函數/(無)=,'-；g(x)=f(x)+x+a.若g(x)

Inx,x>0,

存在2個零點，則。的取值范圍是

A.[-1,0)B.[0,+oo)C.[-1,+oo)D.[1,+oo)

【變式訓練8-2】.(2021?北京?高考真題)己知函數/(x)=|lgx|-h-2,給出下列四個結論：

①若左=0,/⑺恰有2個零點；

②存在負數左，使得Ax)恰有1個零點；

③存在負數3使得〃x)恰有3個零點；

④存在正數k,使得f(x)恰有3個零點.

其中所有正確結論的序號是.

五、分層訓練

A組基礎鞏固

1.(2022?陜西?咸陽市高新一中高一期中)函數/(x)=尤?+e，-2的零點所在的區間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.(2022?重慶八中高一期末)/(x)=log2X+x-7的零點所在區間為()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

3.(2022?廣東?肇慶市外國語學校模擬預測)已知函數〃無)滿足〃龍+1)=/(%-1),當xe[0,2)時，

/(X)=X3-1X2-2X,則在[0,8]上的零點個數為。

A.4B.6C.8D.9

4.(2022?黑龍江?佳木斯一中三模(理))已知函數〃x)=e2E-e-3e，sin(x-l),則函數y=的所有

零點之和為()

A.OB.IC.2D.3

5.（2022?天津市濱海新區塘沽第一中學模擬預測）已知定義在R上的奇函數恒有/（x-1）=/（%+1）,

當xe[0,l）時，〃到=”1,已知此，得,-2），則函數g（x）=〃x）-履-1在（-L6）上的零點個數為（）

NilD

A.4個B.5個C.3個或4個D.4個或5個

,.Ie”+4〃，x>0

6.（2021?河南?羅山縣教學研究室一模（理））已知函數/zx=/八在定義域上單調遞增，

2-log/z（x+l）,x<0

且關于％的方程“無）=%+2恰有一個實數根，則實數〃的取值范圍為（）

,1八111八

A.—>1B.~f~C.一，1D.(0,1)

[4)[4e\[eJ

[l,x=2

7.(2019?安徽?安慶一中模擬預測(理))設函數/(%)=，?修?若函數

\loga\x-2\+l,x^2,a>l

8（尤）=/2（%）+歹（%）+。有三個零點玉,%2，X3，貝|士工2+工2工3+石工3=（）

A.12B.11C.6D.3

8.（2020?內蒙古?鄂爾多斯市第一中學一模（文））函數=十‘2"“"°’若存在實數加，

''[aex,Q<x<2

使得方程=有三個相異實根，則實數。的范圍是（）

A.5，+°0卜.0,5C.（-<?,2]D.gaj

9.（2016?遼寧鞍山?一模（文））設函數/（無）=I-"+'j"。，若互不相等的實數4，巧，X3滿足

13x+4,x<0

/（%）=/（%2）=/（W），則石+%2+%3的取值范圍是（）

2026

A.T5TB.

10.（2022?云南師大附中模擬預測（理））已知函數/a）=sinx+acosx（Q>0）的最大值為2,若方程=b

在區間（0,等

內有三個實數根%,%2，％3，且玉<々<%3，則石+2工2+%3等于（）

.8兀n107125兀

A.—B.---C.4兀D.---

336

11.（2022?全國?模擬預測）已知函數〃x）=-cosx,尸（x）是〃x）的導函數，則方程園必」=0在包+⑹

x8

內實數根的個數是一

sin7tx,xe[0,2]

12.(2022?四川?成都七中三模(文))已知函數〃x)=1/、/、，則函數y=/(x)—ln(x-l)

-/(x-2),xe(2,+a))

的零點個數是個.

x2-2x,x>0

13.(2021?陜西商洛?模擬預測(理))函數/")=門丫的零點個數為_________.

PH。

14.(2021?全國?模擬預測(文))方程xe'Tx|-l=O的實數根的個數為.

2X-b,x<0,

15.(2022?北京昌平?二模)若函數/(x)=廠有且僅有兩個零點，則實數人的一個取值為_______.

yjx,x>0

X.c"+nX>—2

16.(2020?云南文山?模擬預測(理))己知函數/(?=：,「一二(e為自然對數的底數)，若Ax)

Jn(尤+4),尤<-2

有三個零點，則實數。的取值范圍為.

/、fllnx|,0<x<2

17.(2022?內蒙古?包鋼一中一模(文))設小)=，〃4_尤)2Vx<4若方程'=有四個不相等的實根

%1=1,2,3,4),且玉<%<三<》4，則(%+/)2+考的取值范圍為.

18.(2021?江西?新余市第一中學模擬預測(文))已知定義在R上的奇函數/⑺，滿足/(x+2)=-/(x),且

當尤e［0,l］時，/(x)=x2+x+sinx,若方程f(x)=機("?>0)在區間［-4,4］上有四個不同的根占,々,馬七，則

xl+x2+x3+x4的值為.

B組能力提升

|log2(x-2)|,2<x<4

19.(2022?山西?一模(文))設函數/(%)=?2，若有四個實數根巧、々、鼻、

(x-5),x>4

X"’且士氣<三氣，則支節回+朋的取值范圍是。

20.(2022?河南?模擬預測(理))已知函數/(X)為定義在R上的單調函數，且/(“X)-2,-2x)=10.若

函數一1；。'有3個零點，則.的取值范圍為()

A.(2,3]B.(-1,3]

C.(3,4]D.(-1,4]

21.(2022?寧夏六盤山高級中學二模(理))已知a>0,函數f(x)=21n(辦)-x,若函數人*片[”》))-X

恰有兩個零點，則實數。的取值范圍是()

A.1J+JB.(e,+co)D.[e,+8)

,、llnx|(x>0)

22.(2021?吉林省實驗中學模擬預測(文))已知函數〃到=1二2：3武:<0)，則關于x的函數

y="2(x)-13〃x)+9的零點的個數為()

A.8B.7C.5D.2

23.(2021?甘肅白銀?模擬預測(理))已知函數/'(%)=<尹+8>°),若函數g(x)=〃/(x)-a)-2,

2x2+4x+2(x<0)

則下列結論正確的是()

A.若g(x)沒有零點,則％V0

B.當相=2時，g(x)恰有1個零點

C.當g(x)恰有2個零點時，加的取值范圍為(0,1]

D.當g(x)恰有3個零點時，加的取值范圍為(1,3]U{4}

24.(2022?山東省實驗中學模擬預測)(多選題)已知函數/(無)是定義在R上的偶函數，且當x>0時，

3X-X2,0<X<2

/(x)=<m(x-2)”，那么函數g(x)=/(X>-2在定義域內的零點個數可能是()

A.2B.4C.6D.8

25.(2020?全國?模擬預測)(多選題)己知函數了⑺是定義在R上的奇函數，當尤<0時，/(%)=ex(x+l),

則下列說法正確的是()

A.當x>0時，/(x)=e'(l-x)

B.函數〃尤)有2個零點

c.y(x)>o的解集為(-i,o)u(i,y)

D.VX],xfR,都有占

26.（2022?江蘇南京?模擬預測）（多選題）已知函數/⑺：；'函數y=/（x）-0有四個不同

的零點為，巧，x3,14，且%1<%2<兀3<%4，則（）

A.。的取值范圍是（0,1）B.々-％的取值范圍是（0」）

2~+2電0

C.x3+x4=4D.-----------=2

x3+x4

27.（2022?福建三明?模擬預測）已知函數/（x）=xlnx+a（l-x）+x在區間（1,+s）內沒有零點，則實數

a的取值可以為（）

A.-IB.2C.3D.4

|2%_2Ix<3

28.（2022?湖北?丹江口市第一中學模擬預測）已知函數〃x）=?，卜一，設函數

、一無~+8尤-12,尤>3

g（x）=[/（x）]2-（2/+l）/（x）+r+t,則下列說法正確的是（）

A.若g（x）有4個零點，貝|3Wt<4

B.存在實數t,使得g（x）有5個零點

C.當g（X）有6個零點時.記零點分別為占,4,彳3，匕，%，毛，且無1<X2<W<X4<X3〈尤6，貝U

2%+2均+2g+2%=8

D.對任意/<0,g（x）恒有