PAGE課時素養評價九導數在實際生活中的應用(25分鐘·60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.某銀行打算新設一種定期存款業務,經預料,存款量與存款利率成正比,比例系數為k(k>0),貸款的利率為4.8%,假設銀行汲取的存款能全部放貸出去.若存款利率為x(x∈(0,0.048)),當銀行獲得最大收益時,則存款利率此時應為()A.0.048 B.0.024C.0.012 D.0.006【解析】選B.由題意知,存款量g(x)=kx(k>0),銀行應支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x∈(0,0.048).設銀行可獲得收益為y,則y=0.048kx-kx2.于是y′=0.048k-2kx,令y′=0,解得x=0.024.依題意知,y在x=0.024處取得最大值.故當存款利率為0.024時,銀行可獲得最大收益.2.某商場從生產廠家以每件20元購進一批商品,若該商品零售價定為p元,銷售量為Q,則銷售量Q(單位:件)與零售價p(單位:元)有如下關系:Q=8300-170p-p2.則最大毛利潤為(毛利潤=銷售收入-進貨支出) ()A.30元 B.60元 C.28000元 D.23000元【解析】選D.設毛利潤為L(p),由題意知L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)=(8300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+11700p-166000,所以,L′(p)=-3p2-300p+11700.令L′(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此時,L(30)=23000.因為在p=30旁邊的左側L′(p)>0,右側L′(p)<0,所以L(30)是極大值,依據實際問題的意義知,L(30)是最大值,即零售價定為每件30元時,最大毛利潤為23000元.3.某產品的銷售收入y1(萬元)是產量x(千臺)的函數,y1=17x2;生產總成本y2(萬元)也是x的函數,y2=2x3-x2(x>0),為使利潤最大,應生產的臺數為 ()A.36千臺 B.24千臺C.12千臺 D.6千臺【解析】選D.利潤y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x>0),求導得y′=36x-6x2,令y′=0,得x=6或x=0(舍去).經過分析知當x=6時,y取最大值.4.要做一個圓錐形漏斗,其母線長為20cm,要使其體積最大,A.QUOTEcm B.100cmC.20cm D.QUOTEcm【解析】選A.設高為xcm,則底面半徑為QUOTEcm,所以圓錐體積V=QUOTEπ·(400-x2)·x=QUOTE,V′=QUOTE,令V′=0,得x=QUOTE或x=QUOTE(舍去),經推斷可得x=QUOTE時,V最大.5.已知球O的半徑為R,圓柱內接于球,當內接圓柱的體積最大時,高等于 ()A.QUOTER B.QUOTER C.QUOTER D.QUOTER【解析】選A.設球內接圓柱的高為h,圓柱底面半徑為r,則h2+(2r)2=(2R)2,得r2=R2-QUOTEh2(0<h<2R).所以圓柱的體積為V(h)=πr2h=πhQUOTE=πR2h-QUOTEπh3(0<h<2R).求導數,得V′(h)=πR2-QUOTEπh2=πQUOTE,所以0<h<QUOTE時,V′(h)>0;QUOTE<h<2R時,V′(h)<0,由此可得:V(h)在區間QUOTE上是增函數;在區間QUOTE上是減函數,所以當h=QUOTE時,V(h)取得最大值.二、填空題(每小題5分,共15分)6.書店預料一年內要銷售某種書15萬冊,欲分幾次訂貨,假如每次訂貨要付手續費30元,每千冊書存放一年要耗庫存費40元,并假設該書勻稱投放市場,則此書店分____________次進貨、每次進____________冊,可使所付的手續費與庫存費之和最少.

【解析】設每次進書x千冊(0<x<150),手續費與庫存費之和為y元,由于該書勻稱投放市場,則平均庫存量為批量之半,即QUOTE,故有y=QUOTE×30+QUOTE×40,y′=-QUOTE+20=QUOTE,所以當0<x<15時y′<0,當15<x<150時y′>0.故當x=15時,y取得最小值,此時進貨次數為QUOTE=10(次).即該書店分10次進貨,每次進15000冊書,所付手續費與庫存費之和最少.答案:10150007.把一個周長為12cm的長方形作為一個圓柱的側面,當圓柱的體積最大時,該圓柱底面周長與高的比為【解析】設圓柱高為x,底面半徑為r,則r=QUOTE,圓柱體積V=πQUOTE·x=QUOTE(x3-12x2+36x)(0<x<6),V′=QUOTE(x-2)(x-6),當x=2時,V最大.此時底面周長為4,底面周長∶高=4∶2=2∶1.答案:2∶18.某超市中秋前30天,月餅銷售總量f(t)與時間t(0<t≤30,t∈Z)的關系大致滿意f(t)=t2+10t+12,則該超市前t天平均售出如前10天的平均售出為QUOTE的月餅最少為____________個.

【解析】記g(t)=QUOTE=t+QUOTE+10(0<t≤30,t∈Z),g′(t)=1-QUOTE=QUOTE,令g′(t)>0,得2QUOTE<t≤30且t∈Z,令g′(t)<0,得0<t<2QUOTE,且t∈Z,所以函數g(t)在區間(0,2QUOTE)上單調遞減,在區間(2QUOTE,30]上單調遞增,又t∈Z,且g(3)=g(4)=17,所以g(t)的最小值為17,即該超市前t天平均售出的月餅最少為17個.答案:17三、解答題(每小題10分,共20分)9.現須要設計一個倉庫,它由上下兩部分組成,上部分的形態是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部分的形態是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高OO1是正四棱錐的高PO1的4倍(1)若AB=6m,PO1=2(2)若正四棱錐的側棱長為6m,則當PO1為多少時,【解析】(1)由PO1=2m?OO1=8m,則QUOTE=QUOTE×PO1=QUOTE×62×2=24(m3),QUOTE=SABCD×OO1=62×8=288(m3),V=QUOTE+QUOTE=312m3,故倉庫的容積為312m3(2)設PO1=xm,倉庫的容積為V(x),連結A1O1,則OO1=4xm,A1O1=QUOTEm,A1B1=QUOTE·QUOTEm,QUOTE=QUOTE×PO1=QUOTE×QUOTE×x=QUOTEm3,QUOTE=SABCD×OO1=QUOTE×4x=(288x-8x3)m3.V(x)=QUOTE+QUOTE=QUOTE+(288x-8x3)=QUOTEm3(0<x<6),所以V′(x)=-26x2+312=-26(x2-12)(0<x<6),當x∈(0,2QUOTE)時.V′(x)>0,V(x)單調遞增,當x∈(2QUOTE,6)時.V′(x)<0,V(x)單調遞減,因此,當x=2QUOTE時,V(x)取到最大值,即PO1=2QUOTEm時,倉庫的容積最大.10.為了在夏季降溫柔冬季供暖時削減能源損耗,房屋的屋頂和外墻須要建立隔熱層.某幢建筑物要建立可運用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建立成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿意關系:C(x)=QUOTE(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元.設f(x)為隔熱層建立費用與20年的能源消耗費用之和.(1)求k的值及f(x)的表達式;(2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小?并求最小值.【解析】(1)由題設,每年能源消耗費用為C(x)=QUOTE(0≤x≤10),再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=QUOTE.而建立費用為C1(x)=6x.最終得隔熱層建立費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)=20C(x)+C1(x)=20×QUOTE+6x=QUOTE+6x(0≤x≤10).(2)f′(x)=6-QUOTE,令f′(x)=0,即QUOTE=6,解得x=5,x=-QUOTE(舍去).當0<x<5時,f′(x)<0,當5<x<10時,f′(x)>0,故x=5是f(x)的最小值點,對應的最小值為f(5)=6×5+QUOTE=70.當隔熱層修建5cm厚時,總費用達到最小值70萬元.(20分鐘·40分)1.(5分)甲工廠八年來某種產品年產量y與時間x(單位:年)的函數關系如圖所示:現有下列四種說法:①前四年該產品產量增長速度越來越快;②前四年該產品產量增長速度越來越慢;③第四年后該產品停止生產;④第四年后該產品年產量保持不變.其中說法正確的為 ()A.①③B.②④C.②③D.③④【解析】選B.增長速度是產量對時間的導數,即圖象中切線的斜率.由圖象可知,②④是正確的.2.(5分)(多選題)已知某商品生產成本C與產量q的函數關系式為C=100+4q,價格p與產量q的函數關系式為p=25-QUOTEq,下列說法正確的是 ()A.當q=21時利潤最大B.當q=84時利潤最大C.利潤最大值為782D.利潤最大值為186【解析】選BC.方法一:收入R=q·p=qQUOTE=25q-QUOTEq2,所以利潤L=R-C=QUOTE-(100+4q)=-QUOTEq2+21q-100(0<q<200).所以L′=-QUOTEq+21.令L′=0,即-QUOTEq+21=0,解得q=84.因為當0<q<84時,L′>0;當84<q<200時,L′<0.所以當q=84時,L取得最大值.Lmax=-QUOTE×842+21×84-100=782,故產量為84時,利潤L最大,最大利潤為782.方法二:(同方法一)L=-QUOTEq2+21q-100=-QUOTE(q2-168q+842)+QUOTE-100=-QUOTE(q-84)2+782,所以當q=84時,L取得最大值782.即產量為84時,利潤L最大,最大利潤為782.3.(5分)請你設計一個包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形態的包裝盒.E,F在AB上,是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設AE=FB=x(cm).某廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大,此時x=【解析】設包裝盒的高為h(cm),底面邊長為a(cm),由已知得a=QUOTEx,h=QUOTE=QUOTE(30-x),0<x<30.S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,所以當x=15時,S取得最大值.答案:154.(5分)統計表明:某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(L)關于行駛速度x(km/h)的函數解析式可以表示為y=QUOTEx3-QUOTEx+8,x∈(0,120],且甲、乙兩地相距100km,則當汽車以____________km/h的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油量最少.

【解析】當速度為xkm/h時,汽車從甲地到乙地行駛了QUOTEh,設耗油量為h(x)L,依題意得h(x)=QUOTE·QUOTE=QUOTEx2+QUOTE-QUOTE(0<x≤120),h′(x)=QUOTE-QUOTE=QUOTE(0<x≤120).令h′(x)=0,得x=80.當x∈(0,80)時,h′(x)<0,h(x)是減函數;當x∈(80,120]時,h′(x)>0,h(x)是增函數.所以當x=80時,h(x)取到微小值h(80)=11.25.故當汽車以80km/h的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油量最少,最少為11.25L.答案:80【補償訓練】一火車鍋爐每小時消耗的煤費用與火車行駛速度的立方成正比,已知當速度為20km/h時,每小時消耗的煤價值40元,其他費用每小時需200元,火車的最高速度為100【解析】設速度為xkm/h,甲、乙兩城距離為akm.則總費用f(x)=(kx3+200)·QUOTE=aQUOTE.由已知條件,得40=k·203,所以k=QUOTE,所以f(x)=aQUOTE.令f′(x)=QUOTE=0,得x=10QUOTE,當0<x<10QUOTE時,f′(x)<0;當10QUOTE<x<100時,f′(x)>0.所以當x=10QUOTE時,f(x)有最小值,即速度為10QUOTEkm/h時,火車從甲城開往乙城的總費用最少.5.(10分)在一水域上建一個演藝廣場.演藝廣場由看臺Ⅰ,看臺Ⅱ,三角形水域ABC及矩形表演臺BCDE四個部分構成(如圖).看臺Ⅰ,看臺Ⅱ是分別以AB,AC為直徑的兩個半圓形區域,且看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍.矩形表演臺BCDE中,CD=10米,三角形水域ABC的面積為400QUOTE平方米.設∠BAC=θ.(1)求BC的長(用含θ的式子表示).(2)若表演臺每平方米的造價為0.3萬元,求表演臺的最低造價.【思路導引】本題主要考查了余弦定理及導數的學問.(1)依據看臺的面積比得出AB,AC的關系,依據△ABC的面積求出AB,AC,再利用余弦定理計算BC.(2)依據(1)得出造價關于θ的函數,利用導數推斷函數的單調性,進而求出最低造價.【解析】(1)由于看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍,所以AB=QUOTEAC.在△ABC中,S△ABC=QUOTEAB·AC·sinθ=400QUOTE,所以AC2=QUOTE.由余弦定理可得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosθ=4AC2-2QUOTEAC2cosθ=(4-2QUOTEcosθ)QUOTE,即BC=QUOTE=40QUOTE.所以BC=40QUOTE,θ∈(0,π).(2)設表演臺的總造價為W萬元.因為CD=10m,表演臺每平方米的造價為0.3萬元,所以W=3BC=120QUOTE,θ∈(0,π),設f(θ)=QUOTE,θ∈(0,π),則f′(θ)=QUOTE.令f′(θ)=0,解得θ=QUOTE.當θ∈QUOTE時,f′(θ)<0;當θ∈QUOTE時,f′(θ)>0.故f(θ)在QUOTE上單調遞減,在QUOTE上單調遞增,所以當θ=QUOTE時,f(θ)取得最小值,最小值為fQUOTE=1.所以Wmin=120(萬元).即表演臺的最低造價為120萬元.6.(10分)某化妝品生產企業為了占有更多的市場份額,擬在2024年度進行一系列的促銷活動.經過市場調查和測算,化妝品的年銷量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿意3-x與t+1成反比例.假如不搞促銷活動,化妝品的年銷量只能是1萬件,已知2024年生產化妝品的固定投資為3萬元,每生產1萬件化妝品須要再投資32萬元,當將每件化妝品的售價定為“年平均成本的150%”與“年平均每件所占促銷費的一半”之和時,當年的產銷平衡.(1)將2024年的年利潤y萬元表示為促銷費用t萬元的函數;(2)該企業2024年的促銷費用投入多少萬元時,企業的年利潤最大(注:利潤=收入-生產成本-促銷費用)?【解析】(1)由題意得3-x=QUOTE(k≠0),將t=0,x=1代入得k=2,所以x=3-QUOTE.又由題意知每件化妝品的售價為QUOTE+QUOTE·QUOTE.所以年利潤y=QUOTEx-(3+32x)-t=16x-QUOTEt+QUOTE=16QUOTE-QUOTEt+QUOTE=50-QUOTE=-QUOTE-QUOTE+QUOTE(t≥0).(2)y′=-QUOTE+QUOTE,令y′=0,解得t=7或t=-9(舍去).當0≤t<7時,y′>0;t>7時,y′<0.所以t=7時,y取得最大值,且ymax=42.所以當促銷費用定為7萬元時,企業的年利潤最大.【補償訓練】新晨投資公司擬投資開發某項