2024-2025學年江蘇省南京市浦口區明發一中九年級（上）第一次月考數

學試卷

一、選擇題

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.2x-y=5B.x+A=0C.5，=1D.y1-x+3—Q

x

2.一元二次方程x2-4x=-4的根的情況是（）

A.有兩個相等的實數根

B.有兩個不相等的實數根

C.沒有實數根

D.無法確定

3.已知1是關于x的一元二次方程，+x+F-3后-6=0的一個實數根，則實數后的值是（）

A.4或-1B.-4或1C.-1D.4

4.已知。。的半徑為5,點P在OO內，則。P的長可能是（）

A.7B.6C.5D.4

5.如圖，。。是△N8C的外接圓，若AB的長等于半徑，則NABC的度數為（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

6.如圖，在扇形048中，點。在04上，NAOB=/BCD=90°.若CD=3,BC=4(

A.4B.4.8C.2娓D.3加

二、填空題

7.方程x2-2x=0的解是.

第1頁（共25頁）

8.已知XI,X2是方程X2-3x+2=0的實數根，貝！IX1+X2-xix2=.

9.①弦是直徑；

②半圓是?。?/p>

③兩個半圓是等?。?/p>

④三個點確定一個圓；

⑤圓的內接平行四邊形是矩形；

⑥相等的弦所對的弧相等.

說法正確的有（填序號）.

10.在。。中，弦48的長恰好等于半徑，弦48所對的圓心角為.

11.某企業2020年盈利3000萬元，2022年盈利3662萬元，該企業盈利的年平均增長率不變.設年平均

增長率為x,可列出方程.

12.如圖，在。。的內接四邊形/BCD中，點￡在篇上，則/E=°.

C

13.“圓材埋壁”是我國古代數學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，深

一寸，鋸長一尺，現有圓形木材埋在墻壁里，不知木材大小，鋸長N8為10寸，則圓材的半徑為

寸.

14.如圖，在。。中，弦/2、8相交于點E,ACBD-若/DEB=69°,則而的度數為

0*'

15.如圖，。。與正八邊形A8CDEFG8相切于點E,則AE的度數為

第2頁（共25頁）

16.在平面直角坐標系中，A(-2,0),B(4,0),若直線y=x+6上存在點尸滿足45°W/APBW9Q。

且PA=PB,則常數b的取值范圍是.

三、解答題

17.解方程：

(1)X2-4x-5=0；

(2)2X2-3x-3=0；

(3)(2x-1)2=2x-1.

18.如圖，是O。的直徑，點C,CE_L48于點E,DFL4B于點產

19.關于x的方程--(m+4)x+3m+3=0.

(1)求證：不論僅取何值，方程總有兩個實數根;

(2)若方程有一個根小于2,則加的取值范圍是.

20.如圖，在平面直角坐標系中，A(2,5),B(4,5),C(6,3).G)M經過B

(1)點M的坐標是:

(2)判斷與y軸的位置關系，并說明理由.

->

x

第3頁(共25頁)

21.某商店將進價為30元的商品按售價50元出售時，能賣500件.已知該商品每漲價1元，銷售量就會

減少10件，且盡量減少庫存，應漲價為多少元？

22.如圖，在。。中，AB=AC.

(1)若N50C=100°,則源的度數為'

(2)若42=13,3C=10,求。。的半徑.

23.請用兩種不同的方法證明“圓內接四邊形的對角互補”.

己知：；

法①法②

24.如圖，是。。的直徑，點。在。。上，且眾=窟，C3的延長線交于點G,C尸，交于/G于點

F

(1)求證：ZCAB=ZBCD；

25.已知設過點P所畫的的兩條切線分別為我，PB,切點為/

尺規作圖：用兩種不同的方法作一點尸，使N/P3=45°.

第4頁(共25頁)

(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)

方法①方法②

26.如圖①，在四邊形48CD中，NBAD=ND=90°,CD=6,AB=m.過4B,隨著根的變化而變

化.解決下列問題:

(1)如圖②，當加=0時，圓心。在/。上

【一般情形】

(2)(I)當加=2時，求的半徑；

(II)當機＞0時，隨著機的增大，點。的運動路徑是.(填寫序號)

①射線

②弧

③雙曲線的一部分

④不規則的曲線

【深入研究】

(3)如圖③，連接/C,以。為圓心，記為小。。.當小。。與/C相交且與2C相離時，直接寫出加

的取值范圍.

第5頁(共25頁)

2024-2025學年江蘇省南京市浦口區明發一中九年級（上）第一次月考數

學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題

I.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.2x-y=5B.x+A=0C.5x2=lD.y2-x+3=0

x

【解答】解：/、含有2個未知數；

B、為分式方程；

C、只含有一個未知數x,二次項系數不為0,符合題意；

D、含有6個未知數；

故選：C.

2.一元二次方程f-4x=-4的根的情況是（）

A.有兩個相等的實數根

B.有兩個不相等的實數根

C.沒有實數根

D.無法確定

【解答】解：：d-公=7，

.'.x2-4x+6=0,

?/A=（-4）3-4X1X3=O,

一元二次方程f-2x=-4有兩個相等的實數根.

故選：A.

3.已知1是關于x的一元二次方程/+x+F-34-6=0的一個實數根，則實數左的值是（）

A.4或-1B.-4或1C.-1D.4

【解答】解：根據題意，直接把x=l代入x2+x+--34-6=6,

則F+2+0-3^-8=0,

.,.k=4或后=-4；

故選：A.

4.已知。。的半徑為5,點尸在內，則。尸的長可能是（）

A.7B.6C.5D.4

第6頁（共25頁）

【解答】解：：。。的半徑為5,點P在。。內，

：.OP<5.

故選：D.

5.如圖，。。是△/8C的外接圓，若AB的長等于半徑，則NABC的度數為（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

【解答】解：連接04、OB,如圖，

?:AB=OA=OB,

：?AOAB為等邊三角形，

：.ZOAB=60°,

VZBAC=\W°,

：.ZOAC=HO°-60°=50°,

?：OA=OB,

:?/OBA=NOAB=50°,

：.ZAOC=180°-50°-50°=80°,

ZABC=^ZAOC=40°.

2

故選：B,

o

6.如圖，在扇形中，點。在CM上,ZAOB=ZBCD=90°.若CZ)=3,BC=4(

第7頁（共25頁）

A.4B.4.8C.275D.3V2

【解答】解：以點。為圓心，以。2為半徑畫圓，連接BE,如圖所示：

在△BCD中，ZBCD=90°,BC=4,

由勾股定理得：BD==5,

VZBCD=90°,

...BE為的直徑，

...點2,O,E在同一條直線上，

：.OB=OE,

VZAOB=90°,

：.DE=BD=5,

在RtABCA中，CE=CD+DE=8,

由勾股定理得：BE=^/CE2+BC2=V22+43=4、而?

:.OB=OE=2BE=2V8.

2

故選：C.

二、填空題

7.方程f-2x=0的解是xi=0,m=2.

【解答】解：x2-2x=8,

x(x-2)=0,

第8頁（共25頁）

貝！Jx=5,x-2=0,

X6=0,X2=8.

故答案為：X1=O,%6=2.

8.已知xi,12是方程--3x+2=0的實數根，貝U制+工2-xix2=5.

【解答】解：??,xi,X2是方程，-3x+2=3的兩個實數根，

...Xl+X2=8,X\X2=~6,

「?X1+X2-'3X2=3-（-4）=5.

故答案為：5.

9.①弦是直徑；

②半圓是弧；

③兩個半圓是等??；

④三個點確定一個圓；

⑤圓的內接平行四邊形是矩形；

⑥相等的弦所對的弧相等.

說法正確的有②⑤（填序號）.

【解答】解：①弦不一定是直徑，原說法錯誤；

②半圓是弧，原說法正確；

③半徑相等的兩個半圓是等弧，原說法錯誤；

④經過不在同一直線上的三點可以作一個圓，原說法錯誤；

⑤圓內接平行四邊形的對角互補，鄰角互補，即平形四邊有一個內角是90。，原說法正確;

⑥同圓或等圓中，相等的弦所對的弧也相等.

所以說法正確的有②⑤.

故答案為：②⑤.

10.在。。中，弦的長恰好等于半徑，弦-3所對的圓心角為60°.

【解答】解：如圖，

,：AB=04=0B,為等邊三角形，

/.ZAOB=60°,

故答案為60°.

第9頁（共25頁）

o

11.某企業2020年盈利3000萬元，2022年盈利3662萬元，該企業盈利的年平均增長率不變.設年平均

增長率為x,可列出方程3000(1+x)2=3662.

【解答】解：設年平均增長率為X,

根據題意：3000(1+x)2=3662,

故答案為：3000(6+x)2=3662.

12.如圖，在。。的內接四邊形/BCD中，點￡在篇上，則/￡=126°.

【解答】解：在OO的內接四邊形A8CD中，/C=108°,

：.ZC+ZBAD=]30°,

AZBAD=1SQ0-108°=72°,

'：AB=AD,

：.ZABD=ZADB,

：.ZABD=1-(180°-72°)=54°,

2

:四邊形/ADE為圓的內接四邊形，

4a0=180°,

：.Z￡'=180o-54°=126°.

故答案為：126.

13.“圓材埋壁”是我國古代數學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，深

一寸，鋸長一尺，現有圓形木材埋在墻壁里，不知木材大小，鋸長為10寸，則圓材的半徑為13

寸.

第10頁(共25頁)

c

ADB

【解答】解：設圓材的圓心為O,延長CD,連接3

由題意知：CE過點。，＞OC1AB,

則AD=BD=AB=5,

設圓形木材半徑為r寸，

則OD=(r-1)寸，O/=r寸，

'：OA,=OD1+AD2,

.,.r4—(r-1)2+62,

解得：r=13,

.'.OO的半徑為13寸，

故答案為：13.

C

E

14.如圖，在。。中，弦/2、CD相交于點E,ACBD-若NDEB=69°,則俞的度數為46

VZDEB=69°,NCEB+/DEB=18Q°,

第11頁(共25頁)

：.ZCEB=H1

???AC=2BD，

/ABC=2/BCD,

VAABC+ABCD+ZCEB=180°,

A4Z5CD=69°,

ZBCD=23°,

ZBOD=2ZBCD=46°,

??.加的度數為46°,

故答案為：46.

15.如圖，與正八邊形/5COEFG以相切于點/,E,則眾的度數為135°

O

FE

【解答】解：如圖，連接。4

FE

,/OO與正八邊形ABCDEFGH相切于點，，1

：./OAH=/OEF=90°,

:六邊形/〃GFE。的內角和為（6-2）X180c=720°,ZH=ZG=ZF=(6-2)X1804-8=135°,

:.NAOE=72Q°-90°X4-135°X3=135°

金的度數為135°,

故答案為：135°.

16.在平面直角坐標系中，A（-2,0）,B（4,0),若直線y=x+6上存在點尸滿足45°WN4PBW9Q。

第12頁（共25頁）

且弘二尸瓦則常數6的取值范圍是2W6W3\/?+2或-3近-4y4

【解答】解：(-2,0),6),

.\AB=6.

9：PA=PB,

...點P在線段AB的垂直平分線上，

設線段的垂直平分線交x軸于點C,則點C(l,

：.OC=5.

①當6>0時，

設直線y=x+6交x軸于點。，交>軸于點E,0),b).

：?OD=b,OE—b.

：.ZODE=ZOED=45°,DC=OD+OC=b+6.

當N4尸5=90°時，如圖，

：.ZCPE=ZOED=45°.

：.PC=DC=b+\,

為斜邊48的中點，

：.PC=1AB^3.

4

.?.6+1=5.

；.6=2.

當/APB=45°時，如圖,

第13頁(共25頁)

VZAPB=45°,

：.AF=PF.

設/尸=尸尸=x,則衛4=&x,

"：PA=PB,

：.PB=^x,

：.BF=PB-PF=(V2-1)x.

,：AF7+BF2=AB2,

,',X5+[(V2-1)X]2=62>

；.X4=18+9我.

??81

?S^ABP至AB?PCqBP?AF，

.'.6(6+1)—yf^x'x.

，6=3&+8.

V45°WNAPBW90。,

：.2WbW3a+2.

②當b<0時，

設直線y=x+6交x軸于點。，交y軸于點E,7),b).

：.0D=-b,0E=-b.

：.ZODE=ZOED=45°,DC=OD+OC=~b~\.

當N4P5=90°時，如圖，

第14頁（共25頁）

PC//OE,

：.ZCPE=ZOED=45°.

：.PC=DC=-b-\,

〈C為斜邊45的中點，

：.PC=^4B=3.

2

-6-3=3.

：.b=-4.

VZAPB=45°,

：.AF=PF.

設AF=PF=x,則a=J§x,

;PA=PB,

第15頁（共25頁）

.PB='^2x,

.BF=PB-PF=(V2-5比

'AF2+BF2^AB5,

?1-X2+[(V2-4)X]2=66>

.'.x2=18+9^4.

..15

,SAABP-2-AB^C=JBP-AF>

.".6(-Z>-8)=J^x?x.

:.b=-35/2-4.

V45°WNAPBW9Q。，

,-3&-4W6W-4.

綜上，常數6的取值范圍是：7W6W3衣-4.

三、解答題

17.解方程：

(1)x2-4x-5=0；

(2)2/-3x-3=0；

(3)(2x-1)2=2X-1.

【解答】解：(1)f-4x-7=0,

(x+1)(x-6)=0,

貝!Jx+l=8或x-5=0,

所以X4=-LX2=3.

(2)2X2-2X-3=0,

A=(-2)2-4X3X(-3)=33>0,

則x=2-

2X2—

所以x>xT=303T.

x44x74

(3)(2x-1)2=5X-1,

⑵-5)2-(2x-8)=0,

⑵-5)(2x-1-3)=0,

⑵-7)⑵-2)=2,

第16頁（共25頁）

貝U2x-1=4或2x-2=3,

所以1,

X1節，X2=L

18.如圖，是O。的直徑，點C,CE_L4B于點E,DFL4B于點F

【解答】證明：連接。C,OD,

'：CE±AB,DFLAB,

：.ZOEC=ZOFD=9Q°.

在RtAOAC和RtAOFD中，

'OE=OF,

[OC=OD.

?.RtAOEC^RtAOFD(HL),

：.NAOC=NBOD,

(1)求證：不論加取何值，方程總有兩個實數根；

(2)若方程有一個根小于2,則/的取值范圍是加＜1.

【解答】(1)證明：b2-4ac—(m+7)2-4(3m+3)=(m-2)8

\,無論取何值時，(m-2)226,

???原方程總有兩個實數根.

(2)解：x2-(m+4)x+3m+3=0,

(x-5)(x-m-1)=0,

第17頁(共25頁)

x=3或x=m+l,

右方程有一個根小于2,貝!J&泌卯冽+4V2&〃加0加V1.

綜上可知，若方程有一個根小于6,

故答案為：m<l.

20.如圖，在平面直角坐標系中，A（2,5）,B（4,5）,C（6,3）.0M經過4,B

（1）點M的坐標是(3,2)

（2）判斷與y軸的位置關系，并說明理由.

x

【解答】解：（1）連接45,BC,5c的垂直平分線交于點以4M為半徑的圓為所求

根據網格的特征可得：點M的坐標為（3,2）,

故答案為：（3,2）.

（2）。河于夕軸相交，理由如下：

由勾股定理得：^=714+32=^,

即OM的半徑為

的圓心M的坐標為（3,2）,

???點M至！］>軸的距離d=3,

■:d〈r,

.??于〉軸相交.

21.某商店將進價為30元的商品按售價50元出售時，能賣500件.已知該商品每漲價1元，銷售量就會

第18頁（共25頁）

減少10件，且盡量減少庫存，應漲價為多少元？

【解答】解：設應漲價為X元，則銷售量為(500-10x)件,

根據題意得：(50+X-30)(500-10x)=12000,

整理得：x2-30x+200=0,

解得：X4=10,X2=20(不符合題意，舍去)，

答：應漲價為10元.

22.如圖，在。。中，AB=AC.

(1)若/30C=100°,則源的度數為130

(2)若/2=13,3c=10,求。。的半徑.

【解答】解：(1):在。。中，Z50C=100°,

:./A4C=50°，

VAB=AC>

：.AB=AC,

：.ZABC^ZACB=65°,

.-.AB=I3O°,

故答案為：130；

(2)連接NO,延長/O交3c于。，BD=CD=L

2

...在直角中，由勾股定理JAB6_BD2={]/2_53=12；

在直角△08。中，由勾股定理2=(12-OB)2+42,

解得03=地，即。。的半徑是」也.

2424

23.請用兩種不同的方法證明“圓內接四邊形的對角互補”.

已知：四邊形/8CP是。。的內接四邊形；

求證：/AW+/3CD=180°.

第19頁(共25頁)

法①法②

【解答】解：已知：四邊形是的內接四邊形,

求證：ZBAD+ZBCD=\?>0o,

證明：方法①，如圖，0B,

22

：.ZBAD+ZBCD=1.(Z4+Z1)=工；

26

方法②，如圖，連接

/.ZABE=ZADE=9Q°,

AZBAD+ZBED=36Q°-90°-90°=180°,

'：ZC=ZBED,

法①法②

24.如圖，是。。的直徑，點C在。。上，且筋=魂，CB的延長線交于點G,交于/G于點

F

(1)求證：NCAB=NBCD；

(2)求證：AF=FG.

第20頁(共25頁)

c

【解答】證明：(1)???/5是。。的直徑,

AZACB=ZACD+ZBCD=90°,

???CF_L/5于。，

：.ZCAB+ZACD=90°,

；?/CAB=/BCD；

(2)如圖，連接CE,

VZACB=90°,CDLAB,

：.ZCAB+ZABC=90°,ZCAB+ZACD=90°,

???/ACD=/ABC,

?.?NABC=/AEC,

：.ZACD=ZAEC,

AC=CE，

???NAEC=/CAE,

：.ZCAE=ZACDf

:?AF=CF,

VZACB=90°,

：.ZCAG+ZG=90°,ZACF+ZBCF=90°,

'：ZCAG=ZACFf

:?/G=/BCF,

第21頁（共25頁）

：.CF=FG,

：.AF=FG.

25.已知OO.設過點P所畫的（DO的兩條切線分別為我，PB,切點為/

尺規作圖：用兩種不同的方法作一點尸，使N/P3=45°.

（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）

【解答】解：如圖，點P即為所求.

方法①：作直徑即，CD；作半徑。4平分NEOD,8分別作CM,兩條垂線的交點即為點尸.

方法②：作半徑OA,過/作直線ILOA,OA為半徑畫弧交圓。于點C,OC為半徑畫弧交直線I于點

P,AP為半徑畫弧交。。于點8P點P即為所求.

26.如圖①，在四邊形48CD中，/BAD=ND=90°,CD=6,AB^m.過4B,隨著根的變化而變

化.解決下列問題：

第22頁（共25頁）

【特殊情形】

(1)如圖②，當機=0時，圓心。在AD上

【一般情形】

(2)(I)當〃2=2時，求。。的半徑；

(II)當%>0時，隨著〃?的增大，點。的運動路徑是①.(填寫序號)

①射線

②弧

③雙曲線的一部分

④不規則的曲線

【深入研究】

(3)如圖③，連接NC,以。為圓心，記為小。。.當小。。與NC相交且與3c相離時，直接寫出加

的取值范圍.

【解答】(1)解：連接。C,在。。中，則。￡>=8-八

在RtZXOCD中，/。=90°

：.OD2+CD2=OC2,即(8-r)4+62=廣

解得『=/_.

4

(2)(I)解:過點O分別作"_L4B,OE±CD,