專題3.4塞函數

練基礎

1.（2021?全國高一課時練習）下列命題中，不正確的是（）

A.累函數y=H是奇函數

B.基函數y=x2是偶函數

C.暴函數y=x既是奇函數又是偶函數

D.y=/既不是奇函數，又不是偶函數

2.（2020?上海高一課時練習）下列函數中，既是偶函數，又在（-8,0）上單調遞增的函數是（）

,_21-3

2D

A.y=B.y=_%3C.y=_x3-y=x

3.（2020.石嘴山市第三中學高二月考（文））基函數/（%）=（療-2〃?+1卜2，“-1在（0產）上為增函數，則實

數加的值為（）

A.0B.1C.1或2D.2

4.（2020?上海高一課時練習）下面是有關幕函數/（幻=獷3的四種說法，其中錯誤的敘述是（）

A.〃龍）的定義域和值域相等B.〃無）的圖象關于原點中心對稱

C./（%）在定義域上是減函數D.7'（X）是奇函數

5.（2020?上海高一課時練習）若幕函數/（x）的圖像經過點，則該函數的圖像（）

A.關于x軸對稱B.關于y軸對稱C.關于原點對稱D.關于直線y=%對稱

6.（2019?延安市第一中學高三月考（文））己知事函數/（x）=x"的圖像過點（g,乎），則方程/（x）=2的

解是（）

J71

A.4B.—C.2D.—

22

7.（2021.浙江高一期末）累函數"%）=（療—2帆—2）”-2在（o,+⑹為增函數，則加的值是（）

A.-1B.3C.—1或3D.1或—3

8.（2021?全國高一課時練習）下列結論正確的是（）

A.幕函數圖象一定過原點

B.當。<0時，幕函數>=/是減函數

C.當。>1時，幕函數y=9是增函數

D.函數y=爐既是二次函數，也是塞函數

9.（2021?全國高一課時練習）幕函數的圖象過點（3,g）,則它的單調遞增區間是（）

A.[-1,+oo）B.[0,+oo）

C.（-co,+co）D.（-oo,0）

10.（2021.全國高三專題練習）下列關于募函數圖象和性質的描述中，正確的是（）

A.累函數的圖象都過（1,1）點B.募函數的圖象都不經過第四象限

C.事函數必定是奇函數或偶函數中的一種D.幕函數必定是增函數或減函數中的一種

練提升

1.（2020?內蒙古自治區集寧一中高二月考（文））若b=,c=1,貝UeA,c的大

小關系是（）

A.a<Zb<.cB.c<a〈b

C.b〈c〈aD.b<.a<ic

m

2.（2019?湖北高三高考模擬（理））塞函數f（x）=乂機的圖象過點（2,4）,且。b=（1）,c=-logm3,

則a、b、c的大小關系是（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

3.(2021.全國高三專題練習)已知累函數/(x)=滿足2/(2)=/(16),若a=/(log42)"=/(in2),

c=/卜得)，則。，b,c的大小關系是()

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.b>c>a

4.（2021.安徽高三二模（理））函數/（x）=x"a"其中a>l,n>l,〃為奇數，其圖象大致為（）

5.（2021?新疆高三其他模擬（理））若實數加，〃滿足加>〃，且即。0,則下列選項正確的是（）

A.m3-n3>0B.

11

C.Ig(m-n)>0D.—<—

mn

6.【多選題】（2020?新泰市第二中學高二月考）已知函數/（無）=丁圖像經過點（4,2）,則下列命題正確的有

)

A.函數為增函數B.函數為偶函數

/(石)+/(%)%+%2

C.若X>1,則〃x)>lD.若0<再<%2，則

22

JTr>0

7.【多選題】（2021?湖南高三月考）已知函數/（%）=</,若關于％的方程/?=a有且僅有一個

xe,x<0

實數解，且幕函數g（x）=x"在（0,+“）上單調遞增，則實數。的取值可能是（）

1

A.1B.-C.2D.e

e

8.（2019?上海高考模擬）設必€怖彳,一1,一2,3卜若f⑺=娉為偶函數，則戊=

9.（2021?全國高三專題練習（理））已知幕函數丁=爐片9meN*）的圖像關于y軸對稱，且在（0,+“）上

函數值隨著x的增大而減小.

（1）求機值.

（2）若滿足（〃+1）2加〈（3—2。）2加，求Q的取值范圍.

10.(2021?浙江高一期末)已知累函數/(%)=(m—l)2x"/T"，+2在(0,+co)上單調遞增，函數g(x)=2x—左.

(1)求徵的值；

(2)當xe[l,2)時，記/(x),g(x)的值域分別為集合A,B,設夕：％eAq:xe5,若〃是q成立的必要

條件，求實數上的取值范圍.

(3)設砥x)=/(x)-依+1-左2,且無)|在[0,1]上單調遞增，求實數上的取值范圍.

練真題

1.(2019?全國高考真題(理))若a>6,則()

A.ln(a-Z?)>0B.3y3〃

C.a3-4Z>3>0D.\a\>\b\

3

/(x)={x，x.0,

X<°?若函數g(x)=/⑴一收一2%|(keR)恰有4

2.(2020?天津高考真題)已知函數〔一乂

個零點，則左的取值范圍是()

(2"+8)B.^-co,--jl(0,2A/2)

A.m

C.(―8,0)(0,2在D.(—co,0)(2^/^,+8)

2

3.(2020?江蘇圖考真題)已知產心)是奇函數,當歸0時,〃司=戶，則斤8)的值是—.

4.(2018?上海卷)已知aEj—2,—1,—1,

.若幕函數Ax)=/為奇函數，且在(0,+8)

上遞減，貝Ua=.

x2,X<1

5.(浙江省高考真題(文))已知函數/(%)={6，則/「/(—2)]=_________,/(力的最

XH----6,x>1

X

小值是.

6.(江蘇省高考真題)在平面直角坐標系xOy中，設定點A(a,a),尸是函數y=1(尤>0)圖象上一動點.若

點P,A之間的最短距離為2&,則滿足條件的實數。的所有值為.

專題3.4塞函數

練基礎

?/

1.（2021?全國高一課時練習）下列命題中，不正確的是（）

A.尋函數y=P是奇函數

B.幕函數y=x2是偶函數

C.基函數產x既是奇函數又是偶函數

D.y=二既不是奇函數，又不是偶函數

【答案】C

【解析】

根據奇偶函數的定義依次判斷即可.

【詳解】

因為所以A正確；

x一尤尤

因為（一%）2=爐,所以B正確；

因為-x=x不恒成立，所以C不正確；

1

因為,二元5定義域為［0,+00）,不關于原點對稱，所以D正確.

故選：C.

2.（2020?上海高一課時練習）下列函數中，既是偶函數，又在（-8,0）上單調遞增的函數是（）

_221_3

_%3_3D

A.y=-XB.y=C.-y=x->=X

【答案】B

【解析】

A:y=--為偶函數，且在（0,+。）上遞增，即>=-婷在（_8,o）上單調遞減，排除；

2

B:y為-偶函x數，在（—8,0）上單調遞增；

i

C：y-x為奇函數，故排除；

D:y=X-3為奇函數，故排除.

故選:B.

3.(2020?石嘴山市第三中學高二月考(文))幕函數/(%)=(加-2〃?+1卜2止1在@8)上為增函數，則實

數m的值為()

A.0B.1C.1或2D.2

【答案】D

【解析】

由題意，(尤)為幕函數，所以m2—2根+1=1，解得機=0或加=2.

因為/(x)在(0,8)上為增函數，所以2加一1〉0,即根〉：，所以加=2.

故選D.

4.(2020?上海高一課時練習)下面是有關累函數/(%)=獷3的四種說法，其中錯誤的敘述是()

A.〃龍)的定義域和值域相等B.〃尤)的圖象關于原點中心對稱

C./(%)在定義域上是減函數D./(》)是奇函數

【答案】C

【解析】

/(X)=，3,函數的定義域和值域均為(7),0)D(0,48),A正確；

33

/(x)=，3,/(-%)=(_%)-=-x-=-/(%),函數為奇函數，故BD正確；

/■(X)在(-8,0)和(0,+功是減函數，但在(-8,0)5。,48)不是減函數，C錯誤.

故選：C.

5.(2020?上海高一課時練習)若幕函數“X)的圖像經過點,則該函數的圖像()

A.關于無軸對稱B.關于y軸對稱C.關于原點對稱D.關于直線對稱

【答案】B

【解析】

設/(x)=x"，依題意可得(g)"=4,解得￡=—2,

所以/(x)=X~2,因為f(-x)=(一X)-2=x~2=f(x),

所以/（%）為偶函數，其圖象關于y軸對稱.

故選：B.

6.（2019?延安市第一中學高三月考（文））已知暴函數/（x）=/的圖像過點（；,等），則方程/。）=2的

解是（）

A.4B.—C.2D.—

22

【答案】A

【解析】

依題意得（g）&=乎，解得a=g,所以f（x）=￡，

由/（x）=2得;_解得％=4.

故選：A.

7.（2021?浙江高一期末）鼎函數"%）=（蘇—2帆—2）”-2在（0,+◎為增函數，則加的值是（）

A.-1B.3C.—1或3D.1或—3

【答案】B

【解析】

由幕函數解析式的形式可構造方程求得加=-1或機=3,分別驗證兩種情況下/（%）在（0,+。）上的單調性

即可得到結果.

【詳解】

/（無）為幕函數，2根—2=1，解得：加=—1或7〃=3；

當切=—1時，f（x）=x',則/（%）在（0,+8）上為減函數，不合題意；

當機=3時，/（%）=/,則/（%）在（0,+“）上為增函數，符合題意；

綜上所述：771=3.

故選：B.

8.（2021?全國高一課時練習）下列結論正確的是（）

A.幕函數圖象一定過原點

B.當。＜0時，累函數丁=/是減函數

C.當。＞1時，塞函數＞=/是增函數

D.函數既是二次函數，也是基函數

【答案】D

【解析】

由函數丁=二|的性質，可判定A、3不正確；根據函數＞=必可判定c不正確；根據二次函數和暴函數的

定義，可判定D正確.

【詳解】

由題意，函數y的圖象不過原點，故A不正確；

函數y=在(-8,0)及(0,+co)上是減函數，故8不正確；

函數y=必在(-°0,0)上是減函數，在(0,+℃)上是增函數，故C不正確；

根據塞函數的定義，可得函數y=/是二次函數，也是基函數，所以D正確.

故選：D.

9.(2021?全國高一課時練習)塞函數的圖象過點(3,g),則它的單調遞增區間是()

A.[-1,+oo)B.[0,+oo)

C.(-co,+co)D.(-oo,0)

【答案】B

【解析】

根據利用待定系數法求出募函數的解析式，再根據募函數求出單調增區間即可.

【詳解】

設塞函數為70)=嚴，

因為累函數的圖象過點(3,73)，

所以13)=3。=^/^=3萬,

解得

2

所以r2，

所以幕函數的單調遞增區間為［0,+00）.

故選：B

10.（2021?全國高三專題練習）下列關于幕函數圖象和性質的描述中，正確的是（）

A.幕函數的圖象都過（1,1）點B.幕函數的圖象都不經過第四象限

C.塞函數必定是奇函數或偶函數中的一種D.募函數必定是增函數或減函數中的一種

【答案】AB

【解析】

舉反例結合基函數的性質判斷即可.

【詳解】

因為產=1，所以的幕函數都經過（LD，故A正確;

當x>0時，產>0,幕函數的圖象都不經過第四象限，故B正確；

y=f的定義域為［0,48）,為非奇非偶函數，故C錯誤；

y=：在（—8,0）和（0,+8）上為減函數，但在定義域內不是減函數，故D錯誤.

故選：AB

練提升

1.（2020?內蒙古自治區集寧一中高二月考（文））若6=.了，c=f,貝i］0,b,

C的大

小關系是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b〈c〈aD.b〈a〈c

【答案】D

【解析】

Vy=x|（x>0）是增函數，

"?'yX是減函數,.\b<a<c.

故本題答案為D.

7nm

2.（2019?湖北高三高考模擬（理））哥函數/O）=x的圖象過點（2,4）,且a=6窘b=（|）,c=—10gm3,

則a、b、c的大小關系是（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】c

【解析】

事函數/（久）=的圖象過點（2,4）,

27n=4,0=2；

1_

/.a=m2=V2>1，

仁（尹十（0,1），

c=-logm3=-log23<0,

.,.V2>->-log3,

92

.\a>b>c.

故選：C.

3.（2021.全國高三專題練習）已知正函數量（x）=x"滿足2/（2卜〃16），若a="log,2）,b=f（\n2）,

c=/（54）,則a,b,c的大小關系是（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【解析】

由2/（2）=”16）可求得a=；,得出/（九）單調遞增，根據單調性即可得出大小.

【詳解】

由2/（2）=/。6）可得2.2。=24a，，l+a=4a,

/.a=1,即/（%）.由此可知函數/（九）在R上單調遞增.

,clogo21,-log,211

而由換底公式可得log42=：j~~"―=-,ln2=-~~―,52=-j=

log242log2eV5

log,2log,2

,/1<log,e<2,：.-~~,于是Iog42<ln2,

log24log,e

11,

又：7不<5,，52<log42,故。，b,c的大小關系是b>a>c.

故選：C.

4.（2021?安徽高三二模（理））函數/（尤）=九"優，其中。>1,n>l,"為奇數，其圖象大致為（）

【答案】B

【解析】

分析了（無）在（0,+"）、（F,0）上的函數值符號，及該函數在（0,+"）上的單調性，結合排除法可得出合適

的選項.

【詳解】

對任意xeR,優>0，由于〃>1,"為奇數，當x<0時，xn<Q，此時/（龍）<0,

當x>0時，￡>0,此時/（九）>0,排除AC選項；

當x>0時，任取再、9w（°，+°°）且玉〉々，則",>4*>（），xf>%2>0,所以/（%）>/（%2），

所以，函數/（x）在（0,+。）上為增函數，排除D選項.

故選：B.

5.（2021?新疆高三其他模擬（理））若實數加，〃滿足根〉”，且加。0,則下列選項正確的是（）

A"-屋。B.

C.Ig（m-n）>0D.—<—

mn

【答案】A

【解析】

利用幕函數、指數函數單調性和對數的運算可求解.

【詳解】

解：：函數＞在XGR時單調遞增，且冽＞",.?.帆3-九3＞0，故A正確；

:函數》=（；）"，在X￡R時單調遞減，且加〉〃，???（；廣＜（；）〃，故B錯誤；

當m=1,〃=；時，1g（加一〃）=lg；＜0,故C錯誤；

當根=1,〃=—1時，-=1＞—=—1,故D錯誤；

mn

故選：A.

6.【多選題】（2020?新泰市第二中學高二月考）已知函數/'（力=工。圖像經過點（4,2）,則下列命題正確的有

（）

A.函數為增函數B.函數為偶函數

C.若刀＞1,則〃x）＞lD.若0＜西＜々，則〃.）；/（%）＜/廣；々］.

【答案】ACD

【解析】

將點（4,2）代入函數〃#=y得：2=4°，則

1

所以1（九）=/＞

顯然/（無）在定義域［0,+8）上為增函數，所以A正確.

/（X）的定義域為［0,+s）,所以“X）不具有奇偶性，所以B不正確.

當x＞l時，石〉1，即所以C正確.

當若0＜X］＜4時，

（/（“I）+/（“2））2_（（X1+工2）2_+

菁+尤2、2

-(?

2,

%+%2+X1+X2

4——^

即/(西)；/(々)</[^^]成立,所以D正確.

故選：ACD.

%>0

7.【多選題】(2021?湖南高三月考)已知函數/(%)=<'，若關于元的方程/(')=〃有且僅有一個

xex,x<0

實數解，且基函數g(X)=X”在(0,+8)上單調遞增，則實數。的取值可能是()

1

A.1B.-C.2D.e

e

【答案】AD

【解析】

作出了(X)的圖象，根據方程根的個數判斷參數。的取值，再結合函數g(x)=x"在(0,+。)上單調遞增，即

可求解出結果.

【詳解】

當xWO時，f(x)=xex,/f(x)=ex(x+l),當x<-L時當-l<x<0時/，(x)>。

所以/(x)=x/在(f),一1)上單調遞減，在(-1,0)上單調遞增，最小值為/(-

所以/(X)的圖象如圖所示，因為/>(X)=a有且僅有一個實數解，即y=/(x)的圖象

與V=a有且只有一個交點，所以ae[e,+8).11,0,一：1,

又因為g(x)=x“在(0,+")上單調遞增，所以a>0,所以aw[e,+8){1}.

故選：AD

8.(2019?上海高考模擬)設a6&[,—1,—2,3卜若/⑺=一為偶函數，則a=.

【答案】-2

【解析】

由題可知，a=—2時，fM=x-2,滿足f(-x)=f(x),所以是偶函數；

a=己弓，一1,3時，不滿足f(-x)=f(x),

?*,cc——2.

故答案為：-2.

9.(2021?全國高三專題練習(理))已知哥函數y=%3時9(^eN*)的圖像關于y軸對稱，且在(0,+。)上

函數值隨著尤的增大而減小.

(1)求加值.

(2)若滿足(a+l)2"<(3—2a)2",求a的取值范圍.

【答案】(1)m=l；(2)u(4,+co).

【解析】

(1)由題意可知3m—9為負偶數，且加eN*，即可求得加值；

(2)將所求不等式化為(“+1)2<(3—2a)2,求解，即可得出結果.

【詳解】

(1)因為函數y=x3m-\meN*)在(0,+。)上單調遞減,

所以3加—9<0，

解得m<3.

又因為mwN*，所以相=1,2；

因為函數的圖象關于,軸對稱，

所以3加一9為偶數，故加=1.

2

(2)由(1)可知，根=1,所以得+<(3—2〃)2,解得Q>4或

即a的取值范圍為D(4,+GO).

10.(2021.浙江高一期末)己知嘉函數/(x)=O—1)2——+2在(0,+co)上單調遞增，函數g(x)=2%-左.

(1)求機的值；

(2)當xe[l,2)時，記/(x),g。)的值域分別為集合A,B,設夕：％e:xe5,若〃是q成立的必要

條件，求實數上的取值范圍.

(3)設砥x)=/(x)-依+1-左2,且|尸(幻|在[0,1]上單調遞增，求實數上的取值范圍.

【答案】(1)m=0：(2)0<^<1；(3)[-1,0][2,-w)

【解析】

(1)由幕函數的定義(m-1)2=1,再結合單調性即得解.

(2)求解/(X),g(x)的值域，得到集合A,B,轉化命題P是q成立的必要條件為3口4,列出不等關

系，即得解.

kk

(3)由(1)可得E(x)=f—乙+1—k2,根據二次函數的性質，分類討論??0和兩種情況，取并

集即可得解.

【詳解】

(1)由募函數的定義得：=〃2=0或加=2,

當m=2時，/(%)=獷2在(0,+8)上單調遞減，與題設矛盾，舍去；

當機=0時，/(》)=必在(0,+8)上單調遞增，符合題意；

綜上可知：m=0.

(2)由(1)得：f(x)=x2,

當xe[l,2)時，f(x)G[l,4),即4=[1,4),

當xe[l,2)時，g(尤)e[2-左,4-左)，即5=[2—左,4-左)，

[2-k>l[k<l

由命題。是4成立的必要條件，則5uA,顯然貝IJ,,,，即八，

—4-k<4^>0

所以實數人的取值范圍為：0W左W1.

(3)由(1)可得歹(；0=必—6+1—左2,二次函數的開口向上，對稱軸為％=_|,

要使I尸(x)l在[0,1]上單調遞增，如圖所示:

BP|-°或,解得：或左"

F(0)>0[F(0)<0

所以實數人的取值范圍為：[—1,0][2,y)

練真題

?/

1.(2019?全國高考真題(理))若a>6,則()

A.ln(a-Z?)>0B.3y3"

C.a3-Z>3>0D.|a|>|Z)|

【答案】C

【解析】

取a=23=1,滿足。＞萬，ln(a—b)=。，知A錯，排除A；因為9=3"＞3)=3，知B錯，排除B；取

a=l,b=-2，滿足。＞6,1=問＜網=2,知D錯，排除D,因為幕函數y=三是增函數，。＞匕，所以/＞匕3,

故選C.

￡(、x.O,

fW=jX＜°?若函數=/⑴一收一2耳(keR)恰有4

2.(2020?天津高考真題)已知函數〔一羽

個零點，則左的取值范圍是()

A.j(2&,+co)—co,一萬；(0,2收)

B.

c.(-8,0)(0,2⑶D.(7,0)(2"+8)

【答案】D

【解析】

注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4個零點，只需方程I履-2|=乎?恰有3個實根

l-v|

即可，

令/?(x)=,即y=|依—21與h(x)=么?的圖象有3個不同交點.

\x\|x|

,、f(x)x2,%>0

因為/z(x)=一丁=1,

|x|[1,x<0

當左=0時，此時y=2,如圖1,y=2與五(%)=△。有2個不同交點，不滿足題意；