函數

DIERZHANG—

第一節函數及其表示

考試要求：1.了解構成函數的要素，會求簡單函數的定義域和值域.

2.在實際情景中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函

數.

3.了解簡單的分段函數，并能簡單應用.

-------------必備知識落實“四基”-------------

自查自測

知識點一函數的概念

1.判斷下列說法的正誤，正確的畫“J”，錯誤的畫“X”.

(1)函數的定義域和值域一定是無限集合.(X)

(2)根據函數的定義，定義域中的任何一個x可以對應著值域中不同的y.(X)

(3)在函數的定義中，集合8是函數的值域.(X)

2.(教材改編題)下列函數中，與函數y=x+l是同一個函數的是(B)

A.y=J(x+1)2B.>=源+1

c.y=^+iD.產行+1

3.函數y=x—2,+2的定義域是「2,+8).

核心回扣

函數的概念

一般地，設48是非空的實數集,如果對于集合N中的任意一個數x,按照某種

概念確定的對應關系f,在集合8中都有唯一確定的數v和它對應，那么就稱/

為從集合N到集合8的一個函數

對應關系y=/(x),x^A

三要素定義域工的取值范圍

值域與無的值相對應的y的值的集合在31叵￡L

自查自測

知識點二函數的表示方法

1.已知函數兀。由下表給出,則｛3)=工

X122<x<4

於)123

2.已知人則/)=.

X2—1(x^0)解析：令/=依，則/>(),故X=5,則加)=--1,所以兀V)=x2-1(x20).

核心回扣

函數的表示方法

解析法一般情況下，必須注明函數的定義域

列表法選取的自變量要有代表性，能反映定義域的特征

圖象法注意定義域對圖象的影響；與X軸垂直的直線與函數圖象最多有一個公共點

自查自測

知識點三分段函數

2X,xWl,i

則{2)=________.

{f(x—1),x>\,

2解析：犬2)=八2—l)=/(l)=2i=2.

x+2,xW—1,

x2,—l<x<2,若火。)=3,貝U4=3.

{2x,x22.

核心回扣

1.若函數在其定義域的不同子集上，因圖⑥呈不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種

函數稱為分段函數.

2.分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數.分段函數的定義域等于各段函數

的定義域的并集，值域等于各段函數的值域的并集.

【常用結論】

求函數的定義域時常用的結論

①分式中，分母不為0;②偶次方根中，被開方數非負；③對于y=x°,要求xWO,負指數

的底數不為0;④對數函數中，真數大于0,底數大于0且不等于1；⑤指數函數的底數大

于0且不等于1；⑥對于正切函數歹=1211彳，要求xWE+f,左ez.

應用函數外)=六一(x—3)°的定義域是()

上2

A.[2,+°°)B.(2,+8)

C.(2,3)0(3,+8)D.[3,+8)

x-2>0,,

C解析：由解得x>2且xW3,所以函數兀0=—一(x—3)°的定義域是(2,3)U(3,

、X—39，lx-2

+8).

核心考點提升“四能”

考點一函數的定義域

1.(2024?濟寧模擬)函數了(無)=/田一]的定義域是()

A.[-1,0)U(0,+8)B.[-1,+8)

C.RD.(—8,0)U(0,+0°)

A解析：由函數/。)=/用一%得解得X2一1且x=0,所以函數/(x)="\/l+x—

IxWO,

，的定義域是[—1,0)U(0,+°°).故選A.

2.函數/任)=半=+二的定義域為()

A.(I，+8)B.G，l)u(l,+8)

C.g,1)U(1,+o°)C.I，+oo).

3x—2>0

5，解得0且x豐i,所以函數/(X)今的定義域為

{x-l#03C一C%一1

G，1)U(1,+oo).

3.已知函數f=<。)的定義域是[-2,3],則函數y=<(2x—1)的定義域是()

A.[-5,5]B.[―；,2]

C.[-2,3]D.[1<2]

B解析：因為函數的定義域是[―2,3],所以一2W2x—1W3,解得一所以

函數產#2x—1)的定義域是,2].故選B.

4.若函數了二〃%2—1)的定義域為[―6，V3|,則函數y=/(x)的定義域為.

[-1,2]解析：因為y=/(x2—l)的定義域為[-0,V3],所以xe[—g,V3],x2-ie[-

1,2],所以函數y=/(x)的定義域為[―1,2].

?■反思感悟

1.求具體函數的定義域的策略

根據函數解析式列出自變量滿足的不等式(組)，得出不等式(組)的解集即可.

2.求抽象函數的定義域的策略

(1)若已知函數/(x)的定義域為[a,6],則復合函數/(g(x))的定義域由不等式aWg(x)W6求出.

(2)若已知函數/(g(x))的定義域為[a,b],則函數/(x)的定義域為函數g(x)在[a,可上的值域.

考點二求函數的解析式

【例1】⑴已知/(尤+l)=lnx,貝！)〃x)=()

A.In(x+1)B.In(x—1)

C.In|x—11D.In(1—x)

B解析：(方法一：換元法)因為/(x+l)=lnx,所以x>0.令f=x+l(介1),則x=L1,所

以/⑺=ln(f—1),因此，/(x)=ln(x—故選B.

(方法二：配湊法)因為/(x+l)=lnx=ln[(x+l)—l],所以/(x)=ln(x—l)(x>l).

(2)若/(x)為二次函數且"0)=3,/(x+2)-/(x)=4x+2,則/(x)的解析式為.

/(X)=X2-X+3解析：設又/(0)=c=3,所以/(x)=a/+6x+3,

所以/'(x+2)—/(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3—(a/+6x+3)=4ax+4a+26=4x+2.

所以14彳解得｛j：所以函數/(x)的解析式為/(X)=X2—X+3.

(3)已知函數/(x)滿足/(—x)+/(x)=2x,求/(x)的解析式.

解：由/(—x)+才■0)=2》①，

得/(x)+)(—x)=2「②，

由①義2一②，得"(勸=2,一2=，即/(x)=W

故f(x)的解析式為/(x)=二9一(XeR).

>反思感悟

函數解析式的求法

⑴配湊法：由已知條件/(g(x))=尸(X),可將尸(X)改寫成關于g(x)的表達式，然后以X替代g(x),

便得到了(X)的表達式.

(2)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法.

(3)換元法：已知復合函數/(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新變量的取值范圍.

(4)方程思想：已知關于/(x)與/(J或/■(一;<)的關系式，可根據已知條件再構造出另外一個

等式，組成方程組，解方程組即可.

多維訓練

???-----------------------------------■

1.已知一次函數/(%)滿足/?(x))=x+2,則/(x)=.

x+1解析：設/(x)=fci+b(左W0),則/?(%))=周h+6)+6=信+(左+l)b=x+2,

左2=1,解得1,故/(x)=x+l.

故

.01)6=2,(左=1,

2.已知y(x+B=x2+g求/(x)的解析式.

解：因為/(x+1)—x+—=(x+1)—2,

所以2,xG(—8,-2]U[2,+°°).

考點三分段函數

考向1分段函數求值

【例2】(1)(2024?濟南模擬)已知函數x<°'若/(f(—2))=3,則左=()

Z-k,x20.

A.-1B.0

C.1D.2

C解析：因為/(—2)=log24=2,所以/(/■(一2))=/(2)=22一左=4一左=3,解得左=1.故選

C.

(2)已知狄利克雷函數。(x)=11'%eQ，則。(D(x)=

10,XMRQ,

''所以當xdQ時，z)(x)=l,故￡>(D(x))=￡>(l)=l;

0,xeQ

當XG[RQ時，￡>(x)=0,故。(。^))=。(0)=1.綜上，r>(O(x))=l.

A反思感悟

分段函數求值的策略

要求分段函數的函數值，先確定要求值的自變量的取值屬于哪一段區間，然后代入該段的解

析式求值.當出現/仁(。))的形式時，應從內到外依次求值.

考向2分段函數與方程、不等式

''若/(a)+/(l)=0,則實數。的值等于()

x+1,xWO.

A.—3B.—1

C.1D.3

A解析：/(l)=2Xl=2,據此結合題意分類討論：當a>0時，/⑷=2a,由/⑷+/⑴=0,

得2a+2=0,解得a=—1,不滿足題意，舍去；當aWO時，/(a)=a+l,由/(a)+/(l)=0,

得a+l+2=0,解得a=—3,滿足題意.故選A.

丫2-4Y+6Y>f)

則不等式/㈤歹⑴的解集是()

(x+6,x<0,

A.{x|x<—3,或l<x<3}B.{x|l<x<3}

C.{x\x<-3}D.{x\x>3f或一3〈%vl}

A解析：由函數的解析式可得/(1)=1—4+6=3.當時，不等式為A2—4x+6<3,即

X2-4X+3<0,解得1<X<3;當x<0時，不等式為x+6<3,解得x<一3.綜上可得，不等式的

解集是{鄧K一3,或14<3}.故選A.

A反思感悟

分段函數與方程、不等式問題的求解思路

(1)解決此類問題時，先在分段函數的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數

的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結果合起來(取并集)即可.

(2)如果分段函數的圖象易得，也可以畫出函數圖象后結合圖象求解.

多維訓練

r2.

(—x+2,1,

1.已知函數/'(x)=

x+-一1,x>L

37解析：由已知得/(J=—(；)+2=：,/Q=瀉一1=基所以/1(；))=最

28

2.(2024?煙臺模擬)已知函數f(x)=J1'則不等式/(/—x+l)<12的解集是

—X+x,x<0,

(-1,2)解析：因為當x20時，f(x)^0且單調遞增；當x<0時，f(x)<0且單調遞增，且

函數/(x)連續，所以/(x)在R上單調遞增，畫出函數圖象如圖所示.

又因為/(3)=12,所以/(》2—芯+1)<12,即/(/-x+l)勺'(3),即％2—》+1<3,解得一

課時質量評價(五)

*考點鞏固

1.下列所給圖象是函數圖象的個數為()

④

A.1B.2

C.3D.4

B解析：圖象①關于x軸對稱，當x>0時，每一個％對應2個y,圖象②中xo對應2個y,

所以①②均不是函數圖象；圖象③④是函數圖象.

2.已知函數/(x)的對應值如表所示，則/?(2))等于()

X012345

y365427

A.4B.5

C.6D.7

D解析：由表可知"2)=5,/(5)=7,所以/(f(2))=/(5)=7.故選D.

3.已知/(x)=；L,當xWO時，下列選項中與/(f(x))相等的是()

1—X

A.1B---

?xf(.x)?可G)

C.D.—!—

xf(x)x~f(x)

C解析：因為〃x)=占，所以/(/^))=匚/=1—=.=一..故選c.

1x1J\Xj1——---x巧

1—X

4.已知函數/(x)滿足/(%)+)(—9=3%，則”2)等于()

A.-3B.3

C.-1D.1

A解析：因為函數/(x)滿足/(x)+^(一，=3x,所以在(—g)=3x中分別令1=

/(2)+2/(-i)=6,

2,x=一：，可得解得〃2)=—3,大一9=；.故選A.

/(-9W(2)=-3

2

5.(2024?佳木斯模擬)若函數/(2x—l)的定義域為[—1,1],則函數y的定義域為()

A.(-1,2]B.[0,2]

C.[-1,1)D.(1,2]

D解析：由函數/(2x—1)的定義域為[―1,1]，即一lWxWl,得一3W2x—1W1,因此，

由函數產父有意義，得尸《一臼，解得1<XW2,所以函數>=羋曰的定義域為

Jx-1lx—1>0,n

(1,2].故選D.

6.函數)=lg(。-4)+/12+6%的定義域是

C工2—4>0,

{x[x>2或xW—6}解析：由題意得|解得x>2或6.

〔￡+6X20,

7.已知函數/(%)滿足f(x+2)=f(x)+2,則/(x)的解析式可以是(寫出滿足條

件的一個解析式即可).

"x)=x(答案不唯一)解析：設/(X)=QX,則由/(x+2)=/(x)+2,得Q(X+2)="+2,解得

a=\,所以/(x)=x.

8.已知/(9==，則/(x)=----------

2aW0且xWl)解析：由令l=(xW0且xWl,華0且華1),則x=:(￡W0

1X\X/X1xt

且樣1),所以/(7)=土=匕(存0且岸1),所以/(x)=±(xW0且xWl).

9-設、「一函w,數小)(電ax+,b啟,x0V,OM,廠/(-2)=3,/(-1)=/(1).

(1)求/(x)的解析式;

(2)畫出了(無)的圖象.

/(-2)=3,—2。+6=3

解：(1)由解得

八一1)=/⑴，—a+b=2,

—x+1,xVO,

所以小)=

2X,QO.

(2Y(x)的圖象如圖所示.

。高考培優

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------c

10.(數學與生活)某家庭利用十一長假外出自駕游，為保證行車順利，每次加油都把油箱加

滿，下表記錄了該家庭用車相鄰兩次加油時的情況.

加油時間加油量/升累計里程/千米

10月1日1232000

10月6日4832600

(注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程).在這段時間內，該車每行駛100千

米平均耗油量為()

A.6升B.8升

C.10升D.12升

B解析：由表格中的信息可知，10月1日油箱加滿了油，此時的累計里程為32000千米，

到10月6日，油箱加滿油需要48升，說明這段時間的耗油量為48升，累計里程為32600

千米，說明這段時間汽車行駛了32600—32000=600(千米)，則在這段時間內，該車每行駛

100千米平均耗油量為?=8(升).故選B.

11.已知定義在R上的函數/(x)滿足：Vx,yeR,/(x+y)=/(x)/O),且/(1)=2,則/(0)

+〃2)=()

A.4B.5

C.6D.7

B解析：因為Vx,>￡R，/a+y)=/a)；/*(y),且/(1)=2,取x=0,y=l,可得/(1)=/(1)：/

(0)，則〃0)=l.取x=〉=l,可得/(2)=/(l)〃l)=4,所以/(0)+7(2)=5.

12.(2024?淄博模擬)記國為不超過x的最大整數,如[-22]=—2,[2.3]=2.已知函數/(勸

L2[x]—L1,C,則."L2))=

n，/(x)W3的解集為

3[-V2,3]解析：根據[x]的定義，得/(/X—1.2))=/(2.44)=2[2