第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列各組兩個(gè)方程表示相同曲線的是(

)A.y=x，yx=1 B.y=x，y=x2

C.|x|=|y|，x2.“k∈(2,3)”是“方程y2k?2?x2k?4A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.在商場(chǎng)A正東3公里處新落成一家商場(chǎng)B，其占地面積是A面積的23，研究表明，在僅考慮A和B兩家商場(chǎng)相互影響的情況下，其對(duì)周邊住戶的吸引程度F受其面積S，及住戶家離商場(chǎng)距離d的影響，滿足關(guān)系：F=kSd2，其中k是大于0的常數(shù)，則相比于商場(chǎng)A，商場(chǎng)BA.橢圓的內(nèi)部 B.雙曲線右支的開(kāi)口側(cè)

C.拋物線的開(kāi)口側(cè) D.圓的內(nèi)部4.已知?jiǎng)訄AC的方程為(x?cosθ)2+(y?sinθ)2=θ，其中θ為常數(shù)，θ∈[π,2π)，有下列兩個(gè)命題：

①存在θ∈[π,2π)，使圓C與圓C1：(x+cosθ)2+(y+sinθ)2=1相切；

②對(duì)任意θ∈[π,2π)，直線l：xcosθ+ysinθ+1=0A.①②都為真命題 B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題 D.①②都為假命題二、填空題：本題共12小題，共54分。5.直線x+3y+2=0與4x+2y?1=0的夾角是______．6.平行直線l1：3x?4y+1=0與l2：6x?8y+1=0之間的距離是______．7.若直線l的傾斜角θ的取值范圍是(π2,2π38.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=______．9.若圓x2+y2+6x?8y+25=λ與x10.已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2的橢圓x245+y211.已知直線l1：(a+1)x+y+a=0，l2：x+(a+1)y+2=0，若l1//l12.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右支上存在兩點(diǎn)A13.直線l的方程為(λ+2)x+(2λ?1)y+(λ?3)=0(λ∈R)，當(dāng)原點(diǎn)O到直線l的距離最大時(shí)，λ的值為_(kāi)_____．14.等軸雙曲線y=kx(k>0,k為常數(shù))15.若點(diǎn)F1、F2是橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)，P16.已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與雙曲線的右支分別交于A，B兩點(diǎn)，△AF三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題15分)

在△ABC中，邊AB，AC上的高所在直線的方程分別為2x?3y+1=0與x+y=0，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)．

(1)求邊BC的高AH所在直線的一般式方程；

(2)求邊BC的中線AM所在直線的斜率．18.(本小題15分)

若圓C過(guò)點(diǎn)O(0,0)，A(4,0)，B(2,2)．

(1)求圓C的一般方程；

(2)求圓C關(guān)于直線l：y=2x+3對(duì)稱的圓C′的標(biāo)準(zhǔn)方程．19.(本小題15分)

如圖，A點(diǎn)是東西和南北走向兩條相互垂直的道路CD和MN的交點(diǎn)，假設(shè)一段鐵路從A點(diǎn)出發(fā)，延曲線方向向東北無(wú)限延伸，鐵路上任意點(diǎn)B到A點(diǎn)正東0.5公里處的一車站F與其到道路MN的距離之差均為0.5公里(道路與鐵路的寬度均忽略不計(jì))．

(1)試建立合適的直角坐標(biāo)系，求鐵路所在曲線AB的方程；

(2)若在道路CD上位于A點(diǎn)正東t公里處有一倉(cāng)庫(kù)T(t為常數(shù)，t>0)，B為鐵路上任意一點(diǎn)，其到點(diǎn)T的距離為|BT|=d，求d的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)B到道路MN的距離(單位：公里)．20.(本小題15分)

如圖，已知橢圓C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2，離心率為22，稱圓心P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，且半徑為a2+b23的圓P是橢圓C的“環(huán)繞圓”．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記直線PF1與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)Q，“環(huán)繞圓”P的面積為SP，三角形PQF2的面積為S△PQF2，試判斷，是否存在點(diǎn)P，使S21.(本小題18分)

已知F(p,0)(p>0)，若點(diǎn)N到點(diǎn)F的距離和它到y(tǒng)軸的距離之比為常數(shù)λ(λ>0)，記點(diǎn)N的軌跡為曲線Γ．

(1)若p=2，λ=1，求曲線Γ的方程；

(2)若p=1，試根據(jù)λ的不同取值，討論曲線Γ的形狀；

(3)若p=1，λ=2，過(guò)點(diǎn)F且不與x軸垂直的直線l與Γ交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，求證：直線BC恒過(guò)定點(diǎn)．參考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.π4

6.1107.(?∞,?8.4

9.16

10.40

11.0

12.(213.?114.(15.3+16.±217.解：(1)由題意聯(lián)立2x?3y+1=0x+y=0，解得x=?15，y=15，

即垂心H(?15,15)，

可得kAH=2?151?(?15)=32，

所以BC邊上的高AH的方程為y?2=32(x?1)，

即3x?2y+1=0；

(2)因?yàn)锳B邊上的高為2x?3y+1=0，

所以設(shè)直線AB的方程3x+2y+c=0，

將點(diǎn)A(1,2)代入直線AB的方程，可得：3×1+2×2+c=0，

解得c=?7，

即直線AB的方程為3x+2y?7=0，

聯(lián)立3x+2y?7=0x+y=0，解得x=7，y=?7，

即點(diǎn)B(7,?7)，

因?yàn)锳C上的高所在直線的方程x+y=0，

設(shè)AC所在的直線方程為x?y+m=0，將點(diǎn)A(1,2)代入直線AC的方程為1?2+m=0，

可得m=1，

所以直線18.解：(1)設(shè)圓C的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

則F=016+4D+F=04+4+2D+2E+F=0，解得D=?4E=0F=0，

∴圓C的一般方程為x2+y2?4x=0；

(2)由(1)得圓C的圓心為C(2,0)，半徑r=2，圓C′半徑為2，

設(shè)C′(m,n)，則CC′⊥l，且CC′的中點(diǎn)(m+22,n219.解：(1)如圖，以A為原點(diǎn)，CD，NM為x，y軸正方向建坐標(biāo)系，則F(12,0)，

由題意，|BF|?dB?MN=12，即B到直線x=?12的距離d1=|BF|，

根據(jù)拋物線的定義知，曲線AB的方程為y2=2x(y≥0)；

(2)由題意，令T(t,0)，B(x0,y0)，

則d=(x0?t)2+y02=(x0?t20.解：(1)由題意，2c=2ca=22，得a=2c=1，

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22+x2=1；

(2)由(1)知：F1(0,1)，顯然直線PF1不與y軸重合，

設(shè)直線PF1的方程為y=kx+1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

聯(lián)立y=kx+1y22+x2=1，得(2+k2)x2+2kx?1=0，顯然Δ>0，

所以x1+x2=?2k2+k2，x1x2=?12+k2，

則S△PQF2=12|F1F2|?|x1?x2|=121.解：(1)當(dāng)p=2，λ=1時(shí)，F(xiàn)(2,0)，

設(shè)N(x,y)，

因?yàn)辄c(diǎn)N到點(diǎn)F的距離和它到y(tǒng)軸的距離之比為常數(shù)λ(λ>0)，

所以(x?2)2+y2|x|=1，

整理化簡(jiǎn)得y2=4x?4，

則曲線Γ的方程為y2=4x?4；

(2)若p=1，

可得F(1,0)，

設(shè)N(x,y)，

因?yàn)橐驗(yàn)辄c(diǎn)N到點(diǎn)F的距離和它到y(tǒng)軸的距離之比為常數(shù)λ(λ>0)，

所以(x?1)2