14.4因式分解綜合

【考點1：因式分解的定義】

【考點2:公因式】

【考點3:提公因式】

【考點4:因式分解-平方差】

【考點5:因式分解-完全平方】

【考點6：提公因式與公式法綜合】

【考點7：十字相乘法】

知識點1：因式分解

1.定義：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分

解.

2.掌握其定義應注意以下幾點：

（1）分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素

缺一不可；

（2）因式分解必須是恒等變形；

（3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.

3.弄清因式分解與整式乘法的內在的關系.

因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為

和差的形式.

【考點1：因式分解的定義】

【典例11

1.下列從左邊到右邊的變形，其中是因式分解的是（）

A.(3—+x)=9—x2B.x~—2x+3=x(x-2)+3

試卷第1頁，共12頁

C.2x-8=2(x-4)D.18x2y=2x-3x-3y

【變式1-1】

2.下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.a(x-j)=ax-ayB.a2-b2=(a+/))(o-/7)

C.x2+2^+1=x(x+2)+1D.(x+l)(x+3)=x2+4x+3

【變式1-2】

3.下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）

A.x(x+l)=x2+xB.x2+xy-3=x(x+y)-3

C.X2+6X+4=(X+3)2-5D.x~+2x+l=(x+l)~

【變式1-3】

4.下列變形是因式分解的是()

A.a~-4+3a=(a-2)(a+2)+3aB.x~+4x+4=(x+2)~

C.X+l=xfld---

D.(x+l)(x—1)=x~—1

知識點2：公因式

像多項式pa+pbUpc,它的各項都有一個公共的因式p,我們把這個公共因式p

叫做這個多項式各項的公因式

注意：公因式的構成一般情況下有二部分:

①系數一各項系數的最大公約數；

②字母——各項含有的相同字母；

③指數一相同字母的最低次數；

【考點2:公因式】

【典例2】

5.將多項式-6仍2+18.2/）2-12/6%分解因式，應提取的公因式是.

【變式2-1]

試卷第2頁，共12頁

6.多項式8/出-4/加的公因式是:

【變式2-21

7.把4%3/2一6盯2z3+12砂3z2分解因式時，應提取的公因式是()

A.4x2y2zB.2xy2zC.6xyD.2

【變式2-3]

8.多項式-8X2J/Z+12中?z3一24X3沖2的公因式是()

A.一乎B.-4x3y3z3C.4xyzD.-x3y3z-

知識點3：提公因式

提公因式法的步驟：

第一步是找出公因式；

第二步是提取公因式并確定另一因式.

需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢

驗是否漏項.

注意：

①提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到"底”；

②如果多項式的第一項的系數是負的，一般要提出“一”號，使括號內的第一項的系數是正

的.

【考點3:提公因式】

【典例3】

9.分解因式：

(l)a2x2-ax

(2)-14abc-7ab+49ab2c

【變式3-1】

10.將下列各式分解因式:

⑴/-5a；

試卷第3頁，共12頁

(2)ab+ac；

(3)4/〃_6ab3c;

(4)x2y-2x2y3-3x3y,

【變式3-2]

11.把下列各式分解因式：

(l)-5a2b3+20ab2-5ab;

⑵(x+y)(x-y)-(x+y『；

(3)8.(尤-才-4(y-x)3；

(4)x(/-XF)-(4X2-4孫).

【變式3-31

12.分解因式:

(1)2Ixy-14xz+35x2；

(2)15xy+10x2-5x；

(3)(2Q+ZJ)(3Q-2b)-4〃(2a+Z?)?

(4)(x-2)-x+2.

知識點4：公式法

運用公式法分解因式的實質是把整式中的乘法公式反過來使用;

常用的公式：

①平方差公式：a2—b2=(a+6)(a—b)

②完全平方公式：a2+2ab+b2—(a+b)2

a2-2ab-\-b2=(a—6)2

【考點4:因式分解-平方差】

【典例4]

13.分解因式：9a2-4b2=.

試卷第4頁，共12頁

【變式4-1]

14.分解因式：25y2-4x2=.

【變式4-2】

15.分解因式：9a2-]6b2=.

【變式4-3]

16.分解因式：9(x+y)2-(x-y)2=

【考點5:因式分解-完全平方】

【典例5】

17.分解因式/一6〃+9的結果是.

【變式5-1]

18.分解因式：4+4加+加2=.

【變式5-2]

19.分解因式：9a2-6ab+b2=.

【變式5-3]

20.因式分解：9m2+6m+l=.

知識點5：提公因式與公式法綜合

(1)提公因式：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多

項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

(2)公式法:

①平方差公式：a2—b2=(a+6)(a—b)

②完全平方公式：a2-\-lab-\-b2=(a+6)2

a2—2ab+b2=z(a—6)

【考點6：提公因式與公式法綜合】

【典例6】

21.分解因式：

(1)3/-12

試卷第5頁，共12頁

(2)3a3-6a2b+3ab2.

【變式6-1]

22.分解因式：

(l)x2；

(2)—2m3+12m2—18m.

【變式6-2]

23.把下列各式因式分解.

(1)/一4Q；

(2)x2y-6xy+9y.

【變式6-3]

24.分解因式

(l)12x3j/-3xy3

(2)3ax2-6axy+3ay2

知識點5：十字相乘法

1.x2+□/?□q\Jx\JpqU(x+p)(x+q)

2.在二次三項式ax2□□c(a□0)中，如果二次項系數a可以分解成兩個因數之積，

即Q□□〃2,常數項?？梢苑纸獬蓛蓚€因數之積，即c□clUc2，把Ql,al,cl,

cl排列如下：

axcx

々2C]

+42G

按斜線交叉相乘，再相加，得到a\cl□a2cl,若它正好等于二次三項式ax2UbxUc的

一次項系數b，即alc2□q2cl□b,那么二次三項式就可以分解為兩個因式alx□cl與

a2xUc2之積，即ax2□for□c□(alx□cl)(a2x□c2).

試卷第6頁，共12頁

【考點7：十字相乘法】

【典例7】

25.提出問題：你能把多項式x?+5x+6因式分解嗎？

探究問題：如圖1所示，設6為常數，由面積相等可得：

(x+a)(x+b)-x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab,將該式從右到左使用，就可以對形如

X2+(a+b)x+ab的多項式進行進行因式分解即x2+{a+b)x+ab=(x+a)(x+6).觀察多項式

/+(0+6次+成的特征是二次項系數為1,常數項為兩數之積，一次項為兩數之和.

解決問題：x2+5%+6=x2+(2+3)x+2x3=(x+3)(x+2)

運用結論：

2x-5

ax|

爐版,(-5)X2x+3X2x=-4x

10(交叉相乘再相加等于一次項)

圖1圖2

(1)基礎運用：把多項式進行因式分解.

①X2-5X-24；@X2+8X+12；③/_尤_12.

⑵知識遷移：對于多項式4--4x-15進行因式分解還可以這樣思考：將二次項4—分解成

圖2中的兩個2x的積，再將常數項-15分解成-5與3的乘積，圖中的對角線上的乘積的和

為-4x,就是4x2-4x-15的一次項，所以有4/一4x-15=(2x-5)(2尤+3).這種分解因式的

方法叫做“十字相乘法”.請用十字相乘法進行因式分解：3/一19x74

【變式7-1]

26.探究：如何把多項式/+8x+15因式分解？

(1)觀察：上式能否可直接利用完全平方公式進行因式分解？答：.(填“能”或“不

能”)；

【閱讀與理解】由多項式乘法，我們知道(x+">(x+?=尤2+(a+?x+a6,將該式從右到

左地使用，即可對形如/+(a+6)x+仍的多項式進行因式分解，即：

x。+(a+b)x+ab=(x+a)(x+6)；

試卷第7頁，共12頁

此類多項式/+g+6)無+仍的特征是二次項系數為i,常數項為兩數之積，一次項系數為

這兩數之和.

(2)猜想并填空：x2+8x+15=x2+(___+)了+___x=(x+)(x+

_____);

(3)請運用上述方法將下列多項式進行因式分解：

①x?+8x+12②爐-尤_12

【變式7-2]

27.在數學學習中，/+5+q)x+pq是常見的一類多項式，對這類多項式常采用十字相乘

法和配方法來進行因式分解.請閱讀材料，按要求回答問題.

材料二：分解因式：%2-14x+24

材料一：分解因式：

解：原式=x?-27.7+72-72+24

X2-14X+24

=(x-7)2-49+24

解：v24=(-2)x(-12)

2

(-2)+(-12)=-14=(x-7)-25

x2-14x+24=(x-2)(x-12)=(x-7+5)(x-7-5)

=(x-2)(x-12)

⑴按照材料一提供的方法分解因式：X2-20X+75;

(2)按照材料二提供的方法分解因式：X2+12x-28.

【變式7-3]

28.【教材呈現】人教版八年級上冊數學教材第121頁的閱讀與思考：

x2+(p+g)x+pq型式子的因式分解

x2+(p+?)x+pq型式子是數學學習中常見的一類多項式，如何將這種類型的式子進

行因式分解呢？

在第102頁的練習第2題中，我們發現，(x+0(x+4)=x2+(p+q)x+0q.這個規律

可以利用多項式的乘法法則推導得出：(x+0(x+q)

=x2+px+qx+pq

試卷第8頁，共12頁

=x2+(p+g)x+pq

因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得

x2+(p+q)x+,q=(x+p)(x+g)①

利用①式可以將某些二次項系數是1的二次三項式分解因式。例如，將式子/+3x+2

分解因式。這個式子的二次項系數是1,常數項2=1x2,一次項系數3=1+2,因此這是一

個/+(°+4卜+網型的式子.利用①式可得—+3x+2=(x+l)(x+2).

上述分解因式/+3x+2的過程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次

項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右

上角和右下角；然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數(圖1).

X

一、2

lx2+lxl=3

圖1

這樣，我們也可以得至lJ—+3x+2=(x+l)(x+2).

利用上面的結論，可以直接將某些二次項系數為1的二次三項式分解因式：

(1)分解因式：「+7了_18=；

【知識應用】

(2)X2+"?x+3=(x+〃)(x-3),貝°"7=,n=；

【拓展提升】

(3)如果x2+wx+6=(x+p)(x+g),其中加，p,q均為整數，求加的值.

傘達標測試

29.已知町=-3,x-y=2f則代數式中2_玲；的值是()

A.-6B.6C.-5D.-1

30.下列各式能用完全平方公式進行分解因式的是()

A.x2+9B.x2+2x-1C.x2+x+1D.x2+4%+4

31.下列從左邊到右邊的變形中，是因式分解的是()

試卷第9頁，共12頁

A.Q?-9=(〃-3)(a+3)

B.(x-y)2=x2-y2

C.x2-4x+4^=(x+2)(x-2)+4A:

D.—+3x+1—X]X+3H-)

32.將多項式d—x分解因式正確的是()

A.x(x2-1)B.x(l—C.x(x+l)(x-l)D.x(l+x)(l-x)

33.在△ABC中，/4/B,NC的對邊分另I」為a,6,c,且〃2+/+c2=ab+bc+c〃，貝IJZXZBC

的形狀是（）

A.不等邊三角形B.等邊三角形

C.只有兩邊相等的三角形D.無法確定

34.多項式一一9與多項式/+6%+9的公因式是（）

A.x+3B.(x+3)2C.x-3D.(X-3)(X+3)2

35.若有理數％,V滿足|2x—1|+/_4>+4=0,則中的值等于()

A.2B.-2C.1D.-1

36.已知qb=3,a+b=2,則代數式仍2+/6-3必的值為()

A.-3B.0C.3D.2

37.分解因式：3。26一15"2=.

38.因式分解：Q2_2Q+I=.

39.已知加〃=2,及+加=3,則加2〃+加〃2=.

40.因式分解：m3-25m=.

41.多項式/_4/與“2_4Q6+4/的公因式是.

42.因式分解：16（x+y）2_（%一切2=

43.因式分解:

(l)-3x2-6xy-3y2；

（2）8（Q-b）+c（b-Q）.

44.如圖，在一塊半徑為R的圓形板材上，沖去半徑為一的四個小圓，小剛測得&=6.8cm,

試卷第10頁，共12頁

r=1.6cm,他想知道剩余陰影部分的面積，你能利用所學過的因式分解的方法幫助小剛計

算嗎？請寫出求解的過程（兀取3）.

45.因式分解

（1）-8/+24--18x

⑵4x--

（3）（/+4）2-16/

46.因式分解：

（l）2tz（^-z）-3/）（z-y）

（2）3ax2+6axy+3ay2

47.小明遇到下面一個問題：

W.（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）.

經過觀察，小明發現如果將原式進行適當的變形后可以出現特殊的結構，進而可以應用平方

差公式解決問題，具體解法如下：

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（24-1）（24+1）（28+1）

=（28-1）（28+1）

=216-1.

請你根據小明解決問題的方法，試著解決以下的問題：

（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）

試卷第11頁，共12頁

（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）

試卷第12頁，共12頁

1.c

【分析】本題考查了因式分解的意義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫

做把這個多項式因式分解，結合選項進行判斷即可.

【詳解】解：A.右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤；

B.右邊不是整式積的形式，不合因式分解的定義，故本選項錯誤；

C.2x-8=2(x-4),是因式分解，故本選項正確；

D.18/y是單項式，不符合因式分解的定義，不是因式分解，故本選項錯誤.

故選：C.

2.B

【分析】本題主要考查的是因式分解的概念，利用因式分解的概念(把一個多項式化為幾個

整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解)進行判定是解題的關鍵.根據因式

分解的概念，逐項判斷，即可解題.

【詳解】解：A、是多項式的乘法運算，不是因式分解，不符合題意；

B、符合因式分解的定義，符合題意；

C、右邊不是整式積的形式，不是因式分解，不符合題意；

D、是多項式的乘法，不是因式分解，不符合題意；

故選：B.

3.D

【分析】此題考查了因式分解，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做因式分解，據

此進行判斷即可.

【詳解】解：A、不是因式分解，故本選項不符合題意；

B、不是因式分解，故本選項不符合題意；

C、不是因式分解，故本選項不符合題意；

D、是因式分解，故本選項符合題意；

故選：D.

4.B

【分析】此題主要考查了因式分解的定義以及整式的乘法運算，正確掌握相關定義是解題關

鍵.直接利用因式分解的定義以及整式的乘法運算法則分別判斷即可得出答案.

【詳解】解：A、a2-4+3?=(a-2)(a+2)+3a,右邊不是幾個因式乘積的形式，因此由左

答案第1頁，共19頁

到右的變形中，不是因式分解，故A不符合題意；

B、x2+4x+4=(x+2)2,是因式分解，故B符合題意；

C、x+l=x(l+})右邊不是整式，不是因式分解，故C不符合題意；

D、(x+l)(x-l)=/—1,是整式乘法，不是因式分解，故D不符合題意.

故選：B.

5.-6ab2

【分析】本題主要考查了因式分解的知識，熟練掌握提公因式法因式分解是解題關鍵.各項

都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式，提公因式的方法為：在確定公因式前,

應從系數和因式兩個方面考慮.公因式的系數應取各項系數的最大公約數，字母取各項的相

同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；如果多項式的第一項為負，要提出負號，使括

號內的第一項的系數成為正數.據此即可獲得答案.

【詳解】解：-6ab2+18a2b2—11ab2c=—6ab2(l-3a+2tz2c),

所以，將多項式-6a/+18//一12a%%分解因式，應提取的公因式是_6a〃.

故答案為：-6ab,.

6.4a2b##4ba2

【分析】本題考查了公因式，解題的關鍵是正確理解公因式的定義，本題屬于基礎題型.根

據公因式的定義即可找出該多項式的公因式.

【詳解】解：原式=8a%2-4a%c=4/b(2a6-c)；

故答案為：4a2b.

7.B

【分析】本題主要考查公因式的確定，熟練掌握相關知識是解題的關鍵，找公因式的要點是：

①公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數；②字母取各項都含有的相同字母；③相

同字母的指數取次數最低的.根據找公因式的方法解題即可.

【詳解】解:4x3y2z-6xy2z3+I2xy3z2

=2xy~z-3z2+6yz),

4x3y2z-6xy2z3+12xv3z2的公因式是2肛?z；

故選：B.

答案第2頁，共19頁

8.C

【分析】本題主要考查了公因式的定義，多項式的公因式的系數應取各項系數的最大公約數;

字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的，據此求解即可.

【詳解】解：多項式-8X2J/Z+12可/z3-24Yyz2的公因式是4盯z,

故選：C.

9.(l)ax(ax-l)

(2)-7a6(2c+1-76c)

【分析】本題考查分解因式；

(1)直接提公因式分解因式即可；

(2)直接提公因式分解因式即可.

【詳解】(1)a2-^2-ax=ax-1)；

(2)-14abc-lab+49ab2c=-lab(2c+\-Ibc^.

10.(l)a(a-5)

⑵a(Hc)

(3)2a/(2a?—36c)

【分析】本題主要考查了因式分解，確定各式的公因式是解題關鍵.

(1)提公因式。，即可完成因式分解；

(2)提公因式。，即可完成因式分解；

(3)提公因式2"2,即可完成因式分解；

(4)提公因式無2y，即可完成因式分解.

【詳解】(1)解：原式=。(。一5)；

(2)解：原式=a(6+c)；

答案第3頁，共19頁

(3)解：原式=2仍2(2/一3a)；

(4)解：原式=x，(l-2/_3X).

11.(1)-59(加-46+1)

⑵-2Mx+y)

⑶4(x-y)2(la+x-y^

⑷x(x-y)(x-4)

【分析】本題考查的是提公因式分解因式，確定公因式是解本題的關鍵;

(1)直接利用提公因式法分解因式即可；

(2)直接利用提公因式法分解因式即可；

(3)直接利用提公因式法分解因式即可；

(4)直接利用提公因式法分解因式即可；

【詳解】(1)解：-5a2b3+20ab2-5ab

(2)解：(x+y)(x-y)-(x+y)'

^(x+y)(x-y-x-y)

=-2"+力；

(3)解：8a(x-y)2-4(j^-x)3

=8a(x-j)2+4(x-y)3

=4(x—才(2a+x-y)；

(4)解：x(x2-AJ)-(4X2-4xy^

=Y(x-y)-4x(x-y)

=x(x-力(x-4)；

12.(l)7x(3y-2z+5x)

答案第4頁，共19頁

(2)5%(3y+2%-1)

(3)—(2。+6)(a+2b)

⑷(X-2)(X-3)

【分析】本題考查的是提公因式法分解因式，掌握公因式的確定是解本題的關鍵;

(1)直接利用提公因式分解因式即可；

(2)直接利用提公因式分解因式即可；

(3)直接利用提公因式分解因式即可；

(4)直接利用提公因式分解因式即可；

【詳解】(1)解：21xy-14xz+35x2

=7x(3j/-2z+5x)；

(2)解：15孫+10工2一5x

=5x(3y+2x-l)；

(3)解：(2。+6)(3。一26)—4。(2。+6)

=(2a+6)(3Q-2b-4Q)

=(2Q+6)(-Q-26)

=-(2。+6乂。+26)；

(4)解：(x-2)—x+2

=(x-2)2-(x-2)

=(x-2)(x-2-l)

=(x-2)(x-3)；

13.(3a+2b)(3a-2b)

【分析】本題主要考查了分解因式，直接根據平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：9/_止=(3a+26)(3〃—26),

答案第5頁，共19頁

故答案為：（3a+26）（3a-26）.

14.（5y+2x）（5y-2x）

【分析】本題考查了運用平方差公式進行因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關

鍵.

根據平方差公式進行因式分解即可.

【詳解】解：25y2-4x2=（5y）2~（2x）2=（5y+2x）（5y-2x）,

故答案為：（5y+2x）（5"x）.

15.（3a+46）（3°-46）

【分析】本題考查了因式分解，先把9/,16〃寫成（3a）:（46）2,然后利用平方差公式分

解因式即可.

【詳解】解:9a2-16〃

=（3a）2-（4b）2

=（3a+4b）（3a-46）,

故答案為：（3a+4b）（3"4b）.

16.4（x+2歹）（2x+y）

【分析】本題考查因式分解，先利用平方差公式，再提公因式進行因式分解即可.

【詳解】解：原式=[3（x+y）-（x-y）][3（x+y）+（x-y）]

=（2x+4y）（4x+2y）

=4（x+2y）（2x+y）.

17.（"3）2

【分析】本題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵.利用完

全平方公式進行分解即可解答.

【詳解】解：a2-6a+9=（a-3）2,

故答案為：（。-3）2.

答案第6頁，共19頁

18.（2+加『##（加+2）~

【分析】本題考查因式分解.熟練掌握完全平方公式法因式分解，是解題的關鍵.

直接利用完全平方公式即可求解.

【詳解】解：4+4m+7M2=（2+w）2.

故答案為：（2+機。

19.（3a-bf

【分析】本題主要考查了用公式法進行因式分解.熟練掌握完全平方公式分解因式是解決問

題的關鍵.

根據完全平方公式進行分解即可求得答案.完全平方公式：。2±2仍+62=,±6）2.

【詳解】9a2-6ab+b2=（3a）~-2x3ax6+62=（3°-6『.

故答案為：（3a-6）二

20.（3w+l）2##（l+3m）2

【分析】本題主要考查利用完全平方公式進行因式分解，直接利用完全平方公式進行因式分

解即可.

【詳解】解：9m2+6m+1

=（3m）2+2x1x3m+12

=（3m+1）-

故答案為：（3%+1）L

21.（1）3（a+2）（a-2）

⑵3a（a—6）*"

【分析】本題主要考查了因式分解，掌握綜合運用提取公因式法和公式法因式分解成為解題

的關鍵

（1）先提取公因式3,然后再運用平方差公式因式分解即可；

（2）先提取公因式3a,然后運用完全平方公式分解即可.

答案第7頁，共19頁

【詳解】⑴解:3a2-12

=3(/一4)

=3(a+2)(a-2).

(2)解：3/一6a2b+3ab2

=3〃(/一2〃6+人2)

=3Q(Q-6)2.

22.(l)(m-H)(x+8)(x-8)；

(2)-2m(m-3)2.

【分析】本題考查提公因式與公式法因式分解，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

(1)先提取公因式，再利用平方差公式即可求解；

(2)先提取公因式，再利用完全平方公式即可求解；

【詳解】(1)解：原式=%，(4一〃)一64(加一〃)

二(加一一64)

=(m-?)(x+8)(x-8)；

(2)解：原式=一2加(加之一6加+9)

=-2m(m—3)2.

23.(l)a("+2)(a-2)

⑵3)2

【分析】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解.

(1)先提公因式，再利用平方差公式繼續分解即可；

(2)先提公因式，再利用完全平方公式繼續分解即可.

【詳確軍】(1)解：a3-4a

—a_4)

答案第8頁，共19頁

=Q(Q+2)(Q-2)；

(2)解：x2y-6xy+9y

=—6%+9)

=y(x-3)2.

24.⑴3%(2x+y)(2x—y)

(2)3?(x-y)2

【分析】本題考查了因式分解，解題的關鍵是正確找出公因式，熟練掌握平方差公式和完全

平方公式.

(1)先提取公因式，再用平方差公式進行因式分解即可；

(2)先提取公因式，再用完全平方公式進行因式分解即可；

【詳解】⑴解：12短一3孫3

=3肛(4%2一歹2)

=3x(2x+))(2%-力；

(2)解：3ax2-6axy+3ay2

=3a(%2-2xy+y2^

=3a(x-y^；

25.(l)0^2-5x-24=(x-8)(x+3)；@x2+8x+12=(x+2)(x+6)；③

x2—x—\2={x+3)(x-4)

(2)3x2-19x-14=(3x+2)(x-7)

【分析】本題屬于閱讀理解題型，考查了因式分解的十字相乘法，解題關鍵是掌握十字相乘

法的運算規律.

(1)把-24拆成-8x3即可；把12拆成2x6即可；把-12拆成-4x3即可；

(2)把3/拆成3x-x,把-14拆成2x成7)|即可.

答案第9頁，共19頁

【詳解】(1)解：X2-5X-24=X2+[(-8)+3]X+[(-8)X3]=(X-8)(X+3)

x2+8x+12=x2+(2+6)x+(2x6)=(x+2)(x+6)

x2-x-12=x2+[3+(-4)]%+[3x(-4)]=(x+3)(x-4)

(2)解：3x2-19x-14=(3x+2)(x-7)

26.⑴不能

(2)3,5,3,5,3,5

⑶①(x+2"x+6)；②(x+3)(x-4)

【分析】本題考查因式分解，掌握十字相乘法，是解題的關鍵.

(1)根據完全平方式的特點判斷即可；

(2)將15拆解乘3x5,又3+5=8,即可得出結果；

(3)利用十字相乘法進行因式分解即可.

【詳解】(1)解：?.?/+8x+15不是完全平方式，

???不能利用完全平方公式進行因式分解；

故答案為：不能；

(2):15=3x5,8=3+5,

二x?+8x+15=/+(3+5)x+3x5=(x+3)(x+5)；

(3)x~+8x+12=x~+(2+6)x+2x6=(x+2)(x+6)；

(2)x2-x-12=x2+[3+(-4)]x+3x(-4)=(x+3)[x+(-4)]=(x+3)(x-4).

27.(4)(x—5)(x—15)

⑵(x+14)(x-2)

【分析】本題考查了因式分解，解答本題的關鍵是理解題意，明確題目中的分解方法.

(1)仿照題目中的例子進行分解即可得出答案；

(2)仿照題目中的例子進行分解即可得出答案.

【詳解】(1)解：.?.75=(-5)x(-15),(-5)+(-15)=-20,

X2-20X+75=(X-5)(X-15)；

答案第1。頁，共19頁

(2)解：原式=/+2.-6+62-62-28

=(x+6)2-36-28

=(無+6)2-64

—(x+6+8)(%+6—8)

=(x+14)(x-2).

28.(1)(y+9)(y-2)(2)-4,-1(3)±7,±5

【分析】本題主要考查某些二次項系數是1的二次三項式分解因式及其應用：

(1)根據閱讀材料中提供的方法進行解答即可；

(2)先將等號右邊的括號括號展開合并，根據對應項的系數相等可得結論；

(3)先將等號右邊的括號括號展開合并，根據對應項的系數相等可得網=6,p+q=m,根

據如p,g均為整數討論求解即可.

【詳解】解:(1)?.--18=9X(-2),7=9+(-2),

.-./+7y-18=(>>+9)(y-2),

故答案為：(y+9)(y-2)；

(2)由元?+加x+3=(x+〃)(x—3)=尤2+(-3+〃)x-3〃,

-3n=3,—3+〃=加，

解得，n=-l,m=-4,

故答案為：-4,-1；

(3)由I?+妙+6=(x+p)(x+q)=*+(p+q)x+pq,

Jpg=6

[p+q=m

t-m,p,q均為整數,

此時機=〃+q=_3+(-2)=_5；

P=-2

或者此時加二,+9=-2+(—3)=—5；

q=-3

答案第11頁，共19頁

或者I"1，止匕時加=〃+9=-1+(-6)=-7；

國二—6

[p=1

或者《,，止匕時機=°+?=1+6=7；

14=6

[p=2

或者｛.，此時機=0+q=2+3=5；

匕=3

1P=3

或者《止匕時機=,+[=3+2=5；

[4=2

綜上，加的值為：+7,±5

29.B

【分析】本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是掌握因式分解的方法和整體代入求值.

利用因式分解把代數式變形，再代入數值計算即可.

【詳解】解：：孫=-3,x-y=2,

xy2-x2y

=xy(y-x)

-3x(-2)

=6.

故選：B.

30.D

【分析】此題考查了分解因式，根據完全平方公式進行判斷即可.

【詳解】A.+9不能進行因式分解，故選項不符合題意；

B./+2x-l不能進行因式分解，故選項不符合題意；

C.V+x+1不能進行因式分解，故選項不符合題意；

D.X2+4X+4=(X+2)2,能用完全平方公式進行分解因式，故選項符合題意；

故選：D

31.A

【分析】本題考查了因式分解的定義：把一個多項式在一個范圍(如實數范圍內分解，即所

有項均為實數)化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解.據此

答案第12頁，共19頁

即可求解.

【詳解】解：A選項符合因式分解的定義，符合題意；

B選項是整式的乘法運算，不符合題意；

C選項等號右邊不是幾個整式的積的形式，不符合題意；

D選項等號右邊的因式里面包含分式，不符合題意；

故選：A.

32.C

【分析】本題主要考查了分解因式，先提取公因式x,再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：-x=x[x1-l)=x(x+l)(x-l),

故選：C.

33.B

【分析】利用配方法把原式變形，根據非負數的性質得到。=6=c,根據等邊三角形的概念

判斷即可.本題考查的是因式分解的應用、等邊三角形的概念，靈活運用配方法、非負數的

性質是解題的關鍵.

【詳解】解：a2+b2+c2=ab+bc+ca>

則2a2+2b2+2c2=lab+2bc+2ca，

cr—2ab+-2bc+c~+af—2ac+c：=0,

(a-6)2+(6-c)2+(a-c)2=0,

..a—6=0,b—c=0,a—c=0,

?*ci—b—c>

:必4BC是等邊三角形，

故選：B.

34.A

【分析】本題主要考查公因式的確定，利用公式法分解因式是解本題的關鍵.利用平方差公

式和完全平方公式分解因式，然后再確定公因式，即可解題.

【詳解】解：,「一一9=(工一3)(1+3),產+6%+9=(%+3)2,

*,?多項式上一9與多項式％2+6%+9的公因式是％+3.

故選A.

35.C

答案第13頁，共19頁

【分析】本題主要考查了絕對值和平方的非負性，利用完全平方公式化簡是解題的關鍵.

利用完全平方公式化簡后再根據絕對值和平方的非負性即可得出結果.

【詳解】解：\2x-l\+y2-4y+4=0,

化簡得，|2x-l|+(y-2)2=0,

1c

,y=2,

2

1c1

.\xy=-x2=l.

故選：C.

36.A

【分析】本題主要考查了因式分解以及代數式求值，將—3"轉化為必(〃+6-3)是

解題關鍵.將尤2+/6—轉化為仍(。+6-3),然后將必=3,q+b=2代入求值即可.

【詳解】解：?.?"=3,a+b=2,

???ab2+a2b-3ab

=〃6(〃+6-3)

=3x(2-3)

=3x(-1)

=—3.

故選：A.

37.3ab(a-5b)

【分析】本題考查的是提公因式法分解因式，掌握提公因式法是解題關鍵.利用提公因式法

直接分解因式即可.

【詳解】解：3〃%—15〃/=3〃b(〃一56),

故答案為：3ab(a-5b).

38.(a-1)

【分析】本題考查因式分解，直接運用完全平方公式進行分解即可.

【詳解】解：/-2a+1=(a-1).

答案第14頁，共19頁

故答案為：

39.6

【分析】本題考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知條件的形式是解題的關

鍵，然后整體代值計算.只要把所求代數式因式分解成已知的形式，然后把已知代入即

可.

【詳解】解：：〃+機=3,mn=2,

m2n+mn2=mn(m+”)=2x3=6.

故答案為：6.

40.m(m+5)(m-5)

【分析】本題考查因式分解，先提公因式，再用平方差公式分解即可.

[詳解]m3—25m=m(m2—25)=m(m+5)(m—5),

故答案為：加(加+5)(加-5).

41.a-2b##-2b+a

【分析】本題主要考查公因式的確定，熟練掌握公因式的定義和公因式的確定方法是解題的

關鍵.首先將/一4/與/一4仍+4/進行因式分解，然后根據公因式的定義確定答案即

可.

【詳解】解：—46?=(a+2b)(a—26),a2-4ab+4b2=(a-2Z?)~,

???多項式/一4Z>2與/一+4/的公因式是。一2b.

故答案為：”2b.

42.(5x+3y)(3x+5y)

【分析】本題考查了因式分解，掌握“2-62=(a+b)(a-6)是解題的關鍵.根據平方差公式

分解因式即可.

【詳解】解：原式=[4(工+用了一(1方

=[4(x+y)+(x-y)][4(x+y)-(x-y)]

=(4x+4y+x-y)(4x+4y-％+y)

=(5x+3y)(3%+5y),

故答案為：(5x+3y)(3x+5y).

答案第15頁，共19頁

43.(l)-3(x+j)2

⑵(8-祖”6)

【分析】本題考查了因式分解，解題的關鍵是掌握提公因式法和公式法進行因式分解

(1)先提公因數，再利用完全平方公式進行因式分解；

(2)利用提公因式進行因式分解.