福建省東山第二中學2023-2024學年高三下期第二次模擬考試數學試題理試題_第1頁
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文檔簡介

福建省東山第二中學2023-2024學年高三下期第二次模擬考試數學試題理試題注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知曲線的一條對稱軸方程為,曲線向左平移個單位長度,得到曲線的一個對稱中心的坐標為,則的最小值是()A. B. C. D.2.一個組合體的三視圖如圖所示(圖中網格小正方形的邊長為1),則該幾何體的體積是()A. B. C. D.3.近年來,隨著網絡的普及和智能手機的更新換代,各種方便的相繼出世,其功能也是五花八門.某大學為了調查在校大學生使用的主要用途,隨機抽取了名大學生進行調查,各主要用途與對應人數的結果統計如圖所示,現有如下說法:①可以估計使用主要聽音樂的大學生人數多于主要看社區、新聞、資訊的大學生人數;②可以估計不足的大學生使用主要玩游戲;③可以估計使用主要找人聊天的大學生超過總數的.其中正確的個數為()A. B. C. D.4.向量,,且,則()A. B. C. D.5.已知a>b>0,c>1,則下列各式成立的是()A.sina>sinb B.ca>cb C.ac<bc D.6.已知命題,;命題若,則,下列命題為真命題的是()A. B. C. D.7.袋中裝有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個小球,從袋子中一次性摸出兩個球,記下號碼并放回,如果兩個號碼的和是3的倍數,則獲獎,若有5人參與摸球,則恰好2人獲獎的概率是()A. B. C. D.8.我國古代數學名著《九章算術》有一問題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣;高七尺.問積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺9.點在曲線上,過作軸垂線,設與曲線交于點,,且點的縱坐標始終為0,則稱點為曲線上的“水平黃金點”,則曲線上的“水平黃金點”的個數為()A.0 B.1 C.2 D.310.已知,為兩條不同直線,,,為三個不同平面,下列命題:①若,,則;②若,,則;③若,,則;④若,,則.其中正確命題序號為()A.②③ B.②③④ C.①④ D.①②③11.設集合,,則集合A. B. C. D.12.已知變量的幾組取值如下表:12347若與線性相關,且,則實數()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若實數,滿足,則的最小值為__________.14.已知數列是等比數列,,則__________.15.設全集,集合,,則集合______.16.某商場一年中各月份的收入、支出情況的統計如圖所示,下列說法中正確的是______.①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同;②支出最高值與支出最低值的比是6:1;③第三季度平均收入為50萬元;④利潤最高的月份是2月份.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知點是拋物線的頂點,,是上的兩個動點,且.(1)判斷點是否在直線上?說明理由;(2)設點是△的外接圓的圓心,點到軸的距離為,點,求的最大值.18.(12分)在數列中,已知,且,.(1)求數列的通項公式;(2)設,數列的前項和為,證明:.19.(12分)已知函數,曲線在點處的切線在y軸上的截距為.(1)求a;(2)討論函數和的單調性;(3)設,求證:.20.(12分)如圖所示的幾何體中,,四邊形為正方形,四邊形為梯形,,,,為中點.(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)為了檢測某種零件的一條生產線的生產過程,從生產線上隨機抽取一批零件,根據其尺寸的數據得到如圖所示的頻率分布直方圖,若尺寸落在區間之外,則認為該零件屬“不合格”的零件,其中,s分別為樣本平均數和樣本標準差,計算可得(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表).(1)求樣本平均數的大小;(2)若一個零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.22.(10分)在平面直角坐標系中,將曲線(為參數)通過伸縮變換,得到曲線,設直線(為參數)與曲線相交于不同兩點,.(1)若,求線段的中點的坐標;(2)設點,若,求直線的斜率.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

在對稱軸處取得最值有,結合,可得,易得曲線的解析式為,結合其對稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對稱軸.,又..∴平移后曲線為.曲線的一個對稱中心為..,注意到故的最小值為.故選:C.【點睛】本題考查余弦型函數性質的應用,涉及到函數的平移、函數的對稱性,考查學生數形結合、數學運算的能力,是一道中檔題.2、C【解析】

根據組合幾何體的三視圖還原出幾何體,幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱,從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得,幾何體的結構是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱,故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積,即,故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題,解題的關鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體,然后根據幾何體的結構求出其體積.3、C【解析】

根據利用主要聽音樂的人數和使用主要看社區、新聞、資訊的人數作大小比較,可判斷①的正誤;計算使用主要玩游戲的大學生所占的比例,可判斷②的正誤;計算使用主要找人聊天的大學生所占的比例,可判斷③的正誤.綜合得出結論.【詳解】使用主要聽音樂的人數為,使用主要看社區、新聞、資訊的人數為,所以①正確;使用主要玩游戲的人數為,而調查的總人數為,,故超過的大學生使用主要玩游戲,所以②錯誤;使用主要找人聊天的大學生人數為,因為,所以③正確.故選:C.【點睛】本題考查統計中相關命題真假的判斷,計算出相應的頻數與頻率是關鍵,考查數據處理能力,屬于基礎題.4、D【解析】

根據向量平行的坐標運算以及誘導公式,即可得出答案.【詳解】故選:D【點睛】本題主要考查了由向量平行求參數以及誘導公式的應用,屬于中檔題.5、B【解析】

根據函數單調性逐項判斷即可【詳解】對A,由正弦函數的單調性知sina與sinb大小不確定,故錯誤;對B,因為y=cx為增函數,且a>b,所以ca>cb,正確對C,因為y=xc為增函數,故,錯誤;對D,因為在為減函數,故,錯誤故選B.【點睛】本題考查了不等式的基本性質以及指數函數的單調性,屬基礎題.6、B【解析】解:命題p:?x>0,ln(x+1)>0,則命題p為真命題,則¬p為假命題;取a=﹣1,b=﹣2,a>b,但a2<b2,則命題q是假命題,則¬q是真命題.∴p∧q是假命題,p∧¬q是真命題,¬p∧q是假命題,¬p∧¬q是假命題.故選B.7、C【解析】

先確定摸一次中獎的概率,5個人摸獎,相當于發生5次試驗,根據每一次發生的概率,利用獨立重復試驗的公式得到結果.【詳解】從6個球中摸出2個,共有種結果,兩個球的號碼之和是3的倍數,共有摸一次中獎的概率是,5個人摸獎,相當于發生5次試驗,且每一次發生的概率是,有5人參與摸獎,恰好有2人獲獎的概率是,故選:.【點睛】本題主要考查了次獨立重復試驗中恰好發生次的概率,考查獨立重復試驗的概率,解題時主要是看清摸獎5次,相當于做了5次獨立重復試驗,利用公式做出結果,屬于中檔題.8、A【解析】

根據三視圖得出原幾何體的立體圖是一個三棱錐,將三棱錐補充成一個長方體,此長方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計算可得選項.【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球,所以為的中點,設球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.9、C【解析】

設,則,則,即可得,設,利用導函數判斷的零點的個數,即為所求.【詳解】設,則,所以,依題意可得,設,則,當時,,則單調遞減;當時,,則單調遞增,所以,且,有兩個不同的解,所以曲線上的“水平黃金點”的個數為2.故選:C【點睛】本題考查利用導函數處理零點問題,考查向量的坐標運算,考查零點存在性定理的應用.10、C【解析】

根據直線與平面,平面與平面的位置關系進行判斷即可.【詳解】根據面面平行的性質以及判定定理可得,若,,則,故①正確;若,,平面可能相交,故②錯誤;若,,則可能平行,故③錯誤;由線面垂直的性質可得,④正確;故選:C【點睛】本題主要考查了判斷直線與平面,平面與平面的位置關系,屬于中檔題.11、B【解析】

先求出集合和它的補集,然后求得集合的解集,最后取它們的交集得出結果.【詳解】對于集合A,,解得或,故.對于集合B,,解得.故.故選B.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查對數不等式的解法,考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是:先將二次項系數化為正數,且不等號的另一邊化為,然后通過因式分解,求得對應的一元二次方程的兩個根,再利用“大于在兩邊,小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.12、B【解析】

求出,把坐標代入方程可求得.【詳解】據題意,得,所以,所以.故選:B.【點睛】本題考查線性回歸直線方程,由性質線性回歸直線一定過中心點可計算參數值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由約束條件先畫出可行域,然后求目標函數的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域,如圖所示,由,即,當平行線經過點時取到最小值,由可得,此時,所以的最小值為.故答案為.【點睛】本題考查了線性規劃的知識,解題的一般步驟為先畫出可行域,然后改寫目標函數,結合圖形求出最值,需要掌握解題方法.14、【解析】

根據等比數列通項公式,首先求得,然后求得.【詳解】設的公比為,由,得,故.故答案為:【點睛】本小題主要考查等比數列通項公式的基本量計算,屬于基礎題.15、【解析】

分別解得集合A與集合B的補集,再由集合交集的運算法則計算求得答案.【詳解】由題可知,集合A中集合B的補集,則故答案為:【點睛】本題考查集合的交集與補集運算,屬于基礎題.16、①②③【解析】

通過圖片信息直接觀察,計算,找出答案即可.【詳解】對于①,2至月份的收入的變化率為20,11至12月份的變化率為20,故相同,正確.對于②,支出最高值是2月份60萬元,支出最低值是5月份的10萬元,故支出最高值與支出最低值的比是6:1,正確.對于③,第三季度的7,8,9月每個月的收入分別為40萬元,50萬元,60萬元,故第三季度的平均收入為50萬元,正確.對于④,利潤最高的月份是3月份和10月份都是30萬元,高于2月份的利潤是80﹣60=20萬元,錯誤.故答案為①②③.【點睛】本題考查利用圖象信息,分析歸納得出正確結論,屬于基礎題目.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)不在,證明見詳解;(2)【解析】

(1)假設直線方程,并于拋物線方程聯立,結合韋達定理,計算,可得,然后驗證可得結果.(2)分別計算線段中垂線的方程,然后聯立,根據(1)的條件可得點的軌跡方程,然后可得焦點,結合拋物線定義可得,計算可得結果.【詳解】(1)設直線方程,根據題意可知直線斜率一定存在,則則由所以將代入上式化簡可得,所以則直線方程為,所以直線過定點,所以可知點不在直線上.(2)設線段的中點為線段的中點為則直線的斜率為,直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由,所以上式化簡為即線段的中垂線的方程為同理可得:線段的中垂線的方程為則由(1)可知:所以即,所以點軌跡方程為焦點為,所以當三點共線時,有最大所以【點睛】本題考查直線于拋物線的綜合應用,第(1)問中難點在于計算處,第(2)問中關鍵在于得到點的軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合常常要聯立方程,結合韋達定理,屬難題.18、(1);(2)見解析.【解析】

(1)由已知變形得到,從而是等差數列,然后利用等差數列的通項公式計算即可;(2)先求出數列的通項,再利用裂項相消法求出即可.【詳解】(1)由已知,,即,又,則數列是以1為首項3為公差的等差數列,所以,即.(2)因為,則,所以,又是遞增數列,所以,綜上,.【點睛】本題考查由遞推公式求數列通項公式、裂項相消法求數列的和,考查學生的計算能力,是一道基礎題.19、(1)(2)為減函數,為增函數.(3)證明見解析【解析】

(1)求出導函數,求出切線方程,令得切線的縱截距,可得(必須利用函數的單調性求解);(2)求函數的導數,由導數的正負確定單調性;(3)不等式變形為,由遞減,得(),即,即,依次放縮,.不等式,遞增得(),,,,先證,然后同樣放縮得出結論.【詳解】解:(1)對求導,得.因此.又因為,所以曲線在點處的切線方程為,即.由題意,.顯然,適合上式.令,求導得,因此為增函數:故是唯一解.(2)由(1)可知,,因為,所以為減函數.因為,所以為增函數.(3)證明:由,易得.由(2)可知,在上為減函數.因此,當時,,即.令,得,即.因此,當時,.所以成立.下面證明:.由(2)可知,在上為增函數.因此,當時,,即.因此,即.令,得,即.當時,.因為,所以,所以.所以,當時,.所以,當時,成立.綜上所述,當時,成立.【點睛】本題考查導數的幾何意義,考查用導數研究函數的單調性,考查用導數證明不等式.本題中不等式的證明,考查了轉化與化歸的能力,把不等式變形后利用第(2)小題函數的單調性得出數列的不等關系:,.這是最關鍵的一步.然后一步一步放縮即可證明.本題屬于困難題.20、(1)見解析;(2)【解析】

(1)取的中點,結合三角形中位線和長度關系,為平行四邊形,進而得到,根據

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