4.5函數(shù)模型及其應(yīng)用—2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)湘教版（2019）

必修一隨堂測(cè)試

一、選擇題

1.為了能在規(guī)定時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸最Q。，某運(yùn)輸公司提出了四種運(yùn)輸方案，

每種方案的運(yùn)輸量Q與時(shí)間t的關(guān)系如下圖（四個(gè)選項(xiàng)）所示，其中運(yùn)輸效率（單位時(shí)

間內(nèi)的運(yùn)輸量）逐步提高的選項(xiàng)是（）

2.某企業(yè)生產(chǎn)A,3兩種型號(hào)的產(chǎn)品，每年的產(chǎn)量分別為10萬(wàn)支和20萬(wàn)支，為了擴(kuò)大再

生產(chǎn),決定對(duì)兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造，預(yù)計(jì)改造后的A,B兩種產(chǎn)品的年產(chǎn)量的增

長(zhǎng)率分別為50%和20%,那么至少經(jīng)過(guò)多少年后,A產(chǎn)品的年產(chǎn)量會(huì)超過(guò)3產(chǎn)品的年產(chǎn)量

（MZ1g2=0.3010）（）

A.2年B.3年C.4年D.5年

3.國(guó)家新能源車(chē)電池衰減規(guī)定是在質(zhì)保期內(nèi)，電池的性能衰減不能超過(guò)20%，否

則，由廠家免費(fèi)為車(chē)主更換電池，某品牌新能源車(chē)電池容量測(cè)試數(shù)據(jù)顯示：電池的性

能平均每年的衰減率為1.5%，該品牌設(shè)置的質(zhì)保期至多為（）（參考數(shù)據(jù)：

lg2工0.3010,lg985h2,9934）

A.15年B.14年C.13年D.12年

4.天上的星光有的較亮，有的較暗，天文學(xué)以“星等”區(qū)分之，即選擇某一特定的星光

強(qiáng)度乙為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于發(fā)出星光強(qiáng)度為R的星體，定義其“星等”為根=-2.51g土，并稱(chēng)

Fo

該星體為“冽等星”，已知天狼星為-1.4等星，北極星為2等星，則天狼星的星光強(qiáng)度

大約是北極星的（）倍.（已知1g2。0.301,1g3?0.477）

A.3B.13C.23D.33

5.我們知道二氧化碳是溫室性氣體，是全球變暖的主要元兇.在室內(nèi)二氧化碳含量的

多少也會(huì)對(duì)人體健康帶來(lái)影響.下表是室內(nèi)二氧化碳濃度與人體生理反應(yīng)的關(guān)系：

室內(nèi)二氧化碳濃度（單位：

人體生理反應(yīng)

ppm）

不高于1000空氣清新，呼吸順暢

1000-2000空氣渾濁，覺(jué)得昏昏欲睡

2000~5000感覺(jué)頭痛，嗜睡，呆滯，注意力無(wú)法集中

可能導(dǎo)致缺氧，造成永久性腦損傷，昏迷甚至死

大于5000

亡

《室內(nèi)空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》和《公共場(chǎng)所衛(wèi)生檢驗(yàn)辦法》給出了室內(nèi)二氧化碳濃度的國(guó)家

標(biāo)準(zhǔn)為：室內(nèi)二氧化碳濃度不大于0.1%（0.1%即為lOOOppm）,所以室內(nèi)要經(jīng)常通

風(fēng)換氣，保持二氧化碳濃度水平不高于標(biāo)準(zhǔn)值.經(jīng)測(cè)定，某中學(xué)剛下課時(shí)，一個(gè)教室內(nèi)

二氧化碳濃度為2000ppm,若開(kāi)窗通風(fēng)后二氧化碳濃度y%與經(jīng)過(guò)時(shí)間/（單位：分

鐘）的關(guān)系式為y=0.05+2el（/leR）,則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)需要

開(kāi)窗通風(fēng)時(shí)間至少約為（參考數(shù)據(jù)：ln3aL099,ln5?1.609）（）

A.10分鐘B.U分鐘C.12分鐘D.20分鐘

6.國(guó)家新能源車(chē)電池衰減規(guī)定是在質(zhì)保期內(nèi)，電池的性能衰減不能超過(guò)20%,否則由廠

家免費(fèi)為車(chē)主更換電池.某品牌新能源車(chē)動(dòng)力電池容量測(cè)試數(shù)據(jù)顯示：電池的性能平

均每年的衰減率為1.5%,該品牌設(shè)置的質(zhì)保期至多為（）

（參考數(shù)據(jù)：1g2ao.3010,lg985土2.9934）

A.12年B.13年C.14年D.15年

7.果農(nóng)采摘水果，采摘下來(lái)的水果會(huì)慢慢失去新鮮度.已知某種水果失去新鮮度力與

其采摘后時(shí)間/（天）滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式為丸=m?".若采摘后10天，這種水果失去的

新鮮度為10%,采摘后20天，這種水果失去的新鮮度為20%.那么采摘下來(lái)的這種水

果多長(zhǎng)時(shí)間后失去40%新鮮度（）

A.25天B.30天C.35天D.40天

8.著名物理學(xué)家牛頓在1701年提出的牛頓冷卻定律是傳熱學(xué)的基本定律之一：物體

在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為仇。C,空氣溫度為，oP,則/分鐘后物體的溫

度夕（單位：。c）滿(mǎn)足：e=q+（q-q）e-",其中左是一個(gè)根據(jù)物體與空氣接觸情

況而定的正常數(shù)，現(xiàn)有42P的物體放在2。（2的空氣中冷卻，2分鐘后物體的溫度為

22℃,則再過(guò)4分鐘該物體的溫度可冷卻到（）

A.6℃B.7℃C.8℃D.9℃

9.函數(shù)/（尤）的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（）

X-2-101235

/(x)2.31.10.71.12.35.949.1

A./(JC)=ka^+bB./(x)=Axe￥+b

C.f(^x)-k\x\+bD./(x)=A;(%-1)2+b

10.2023年5月10日21時(shí)22分，搭載天舟六號(hào)貨運(yùn)飛船的長(zhǎng)征七號(hào)遙七運(yùn)載火箭，

在我國(guó)文昌航天發(fā)射場(chǎng)點(diǎn)火發(fā)射，約10分鐘后，天舟六號(hào)貨運(yùn)飛船與火箭成功分離并

進(jìn)入預(yù)定軌道.已知火箭的最大速度v（單位：km/s）與燃料質(zhì)量M（單位：kg）、火

箭（除燃料外）的質(zhì)量機(jī)（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系為v=21n，+,）若已知火箭的質(zhì)

量為3100kg,火箭的最大速度為Ukm/s,則火箭需要加注的燃料質(zhì)量為（）（參考數(shù)

值：In2?0.69,In244.69?5.50,結(jié)果精確到O.Olt,It=1000kg）

A.890.23tB.755.44tC.244.69tD.243.69t

二、多項(xiàng)選擇題

11.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園,甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園

的距離都是2km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過(guò)的路程y（km）與時(shí)間

x（min）的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（）

A.甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60min

B.甲從家到公園的時(shí)間是30min

C.甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快

D.當(dāng)0co時(shí)，丁與％的關(guān)系式為y=

12.聲強(qiáng)級(jí)乙（單位：面）由公式L,=10聯(lián)，給出,其中/為聲強(qiáng)（單位：W/濟(jì)），則

下列結(jié)論中正確的是（）

A.女高音的聲強(qiáng)級(jí)是75力,普通女性的聲強(qiáng)級(jí)為45力，則女高音聲強(qiáng)是普通女性聲強(qiáng)的

100倍

B.一般正常人聽(tīng)覺(jué)能忍受的最高聲強(qiáng)為1卬/m2,能聽(tīng)到的最低聲強(qiáng)為10.12卬/m2,則人聽(tīng)

覺(jué)的聲強(qiáng)

級(jí)范圍為0d5—120面

C.如果聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，對(duì)應(yīng)聲強(qiáng)級(jí)也變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

D.如果聲強(qiáng)級(jí)增加10力，則聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉?lái)的10倍

三、填空題

13.某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制定了一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案，在銷(xiāo)售額x為8萬(wàn)元

時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)1萬(wàn)元；銷(xiāo)售額x為64萬(wàn)元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)4萬(wàn)元.為公司從一下函數(shù)模型

y=kx+b,y=a4x+b,y=alog4X+Z?中選擇恰當(dāng)?shù)莫?jiǎng)勵(lì)模型，計(jì)算某業(yè)務(wù)員要得到

8萬(wàn)元獎(jiǎng)勵(lì)，則他的銷(xiāo)售額應(yīng)為（萬(wàn)元）.

14.候鳥(niǎo)每年都要隨季節(jié)的變化進(jìn)行大規(guī)模的遷徙.研究某種鳥(niǎo)類(lèi)的專(zhuān)家發(fā)現(xiàn)，該種鳥(niǎo)

類(lèi)的飛行速度（單位：m/s）與其耗氧量Q之間的關(guān)系為v=a+log2s（其中是實(shí)

數(shù)）.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該種鳥(niǎo)類(lèi)在靜止的時(shí)候其耗氧量為20個(gè)單位，若這種鳥(niǎo)類(lèi)為趕路程，

飛行的速度不能低于2m/s,其耗氧量至少需要個(gè)單位.

15.如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm，3C=16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/秒

的速度向終點(diǎn)3移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)3出發(fā)以2cm/秒的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，則移動(dòng)到

第秒時(shí)，可使△P5Q的面積最大.

DC

APB

16.甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，其路程

力(x)(i=1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間尤(尤20)的函數(shù)關(guān)系式分別為力(x)=2,-1,上(x)=/,

f3{x}-x,力(X)=log2(尤+1),有以下結(jié)論：

①當(dāng)X>1時(shí)，甲走在最前面；

②當(dāng)X>1時(shí)，乙走在最前面；

③當(dāng)0<%<1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)％>1時(shí)，丁走在最后面；

④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；

⑤如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲.

其中，正確結(jié)論的序號(hào)為(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上，多填或少填均不得

分).

四、解答題

17.某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為30元,出廠單價(jià)定為52元，該廠為鼓勵(lì)銷(xiāo)售

商訂購(gòu)，決定當(dāng)一次訂購(gòu)量超過(guò)100個(gè)時(shí),每多訂購(gòu)一個(gè)，訂購(gòu)的全部零件的出廠單價(jià)就

降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于41元.

(1)當(dāng)一次訂購(gòu)量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰好降為41元？

(2)設(shè)一次訂購(gòu)量為x個(gè),零件的實(shí)際出廠單價(jià)為尸元，寫(xiě)出函數(shù)P=/(x)的表達(dá)式；

(3)當(dāng)銷(xiāo)售商一次訂購(gòu)500個(gè)零件時(shí),該廠獲得的利潤(rùn)是多少元？(工廠售出一個(gè)零

件的利潤(rùn)=實(shí)際出廠單價(jià)-成本)

參考答案

1.答案：B

解析：由題意，運(yùn)輸效率逐步提高，即函數(shù)增長(zhǎng)速率逐漸加快，選項(xiàng)B滿(mǎn)足.

故選：B

2.答案：C

解析：設(shè)經(jīng)過(guò)x年后A產(chǎn)品的年產(chǎn)量會(huì)超過(guò)3產(chǎn)品的年產(chǎn)量，

則10x(1+50%)，>20x(1+20%)，，

解得x>logs2,

4

lg2坨2lg20.3010

而logs2=?3.103,

Ig5-lg4,10…l-31g2~1-3x0.3010

41g5Tg2

最小值為4,

故選：C.

3.答案：B

解析：設(shè)電池初始電量為a,Va(l-1.5%)">80%?^n<lg8-1?14.70,所以質(zhì)保

lg985-3

期至多為14年，故選B.

4.答案：C

解析：設(shè)天狼星的星光強(qiáng)度為《，北極星的星光強(qiáng)度為工，

因?yàn)樘炖切菫?1.4等星，北極星為2等星，

所以—1.4=—2.53二，2=—2.5

Fo

144

解得耳=1025罪，8=105片,

14

14(4^134

1025F°25

所以二==10I511Q25-23.

4

故選：C.

5.答案：A

解析：由題意可知，當(dāng)/=0時(shí)，y=0.05+2=0.2,可得力=0.15,則

y=0.05+0.15”，

t

由y=0.05+0.15e「5W0.1,可得7291n3。9.891,

故該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)需要開(kāi)窗通風(fēng)時(shí)間至少約為10分鐘.

故選：A.

6.答案：C

解析：設(shè)該品牌設(shè)置的質(zhì)保期至多為x年，

由題意可得,(1-1.5%)工>1-20%，則0.985*>0.8>

QQCQ

兩邊取對(duì)數(shù)lgO.985,>1g0,8，即xlg0.985>lg0.8，則1g卡，

即x(lg985-3)>lg8-lglO，則x(lg985-3)>31g2-l,

因?yàn)閘g985a2.9934，所以lg985—3<0,則x<溫;一；工工14.6970,又因?yàn)?/p>

xeN*，所以％=14,

故選：C.

7.答案：B

解析：依題意，『°%=力〃：，解得="。=2,當(dāng)/?=40%時(shí)，

2Q%=m-cr°20

40%=--aS

20

即40%=工.屋.口1°,解得=4=(d)2=/。，于是得7—10=20,解得/=30,

20

所以采摘下來(lái)的這種水果30天后失去40%新鮮度.

故選：B.

8.答案：B

解析：由題設(shè)，22=2+(42—2)e2,可得左=ln0,

再過(guò)4分鐘，W^=2+(22-2)e-4ta^=2+20x47=7℃.

e

故選：B.

9.答案：A

解析：由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知,函數(shù)2)=〃2),/(-1)=/(1),

偶函數(shù)滿(mǎn)足此性質(zhì)，可排除B,D；

當(dāng)x>0時(shí)，由函數(shù)/（力的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)/（“增長(zhǎng)越來(lái)越快，可排除C.

故選：A.

10.答案：B

解析：根據(jù)題意，加=3100,

令丫=21/1+*-]=11,則ln[l+4-]=lne”,

I3100JI3100J

2

M5.5

所以則1+=e

3100

55ta24469

即4-=e--1xe--1=244.69-1=243.69,

3100

所以Af?3100x243.69=755439kg=755.44t.

故選：B.

11.答案：BD

解析：在A中，甲在公園休息的時(shí)間是lOmin,所以只走了50min,A錯(cuò)誤；

由題中圖象知,B正確；

甲從家到公園所用的時(shí)間比從公園到乙同學(xué)家所用的時(shí)間長(zhǎng)，而距離相等，所以甲從家到

公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢,C錯(cuò)誤；

當(dāng)0WxW30時(shí)，設(shè)y=Ax（人/0），則2=30%，解得左=/D正確?

故選：BD.

12.答案:BD

解析:設(shè)女高音聲強(qiáng)為人,普通女性聲強(qiáng)為右，則101g（，^）=75,所以

所以&=1045②，則①+②得：2=1000,故女高音聲強(qiáng)是普通女性聲強(qiáng)的1000倍,A

12

1012

錯(cuò)誤

11f）T2

101g（k5）=WxlglO12=120（辦），101g（片）=101gl=0（"）.

因此人聽(tīng)覺(jué)的聲強(qiáng)級(jí)范圍為正確

由4=10聯(lián)記、)=101g/+120,當(dāng)/變?yōu)?/,L2=101g(2/)+120牛2(10lgI+120),C錯(cuò)誤

設(shè)聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉?lái)的左倍，則101g(H)+120-(10坨/+120)=10,解得左=10，故選項(xiàng)口正確.

13.答案：1024

解析：由題知，函數(shù)過(guò)（8,1）,（64,4）,自變量增長(zhǎng)速度較快，函數(shù)值增長(zhǎng)速度較緩

慢，用平滑曲線連接得

因?yàn)閥=m；+b,增長(zhǎng)速度相對(duì)平穩(wěn),

y=。4，+6,增長(zhǎng)速度越來(lái)越快,

y=alog4x+b,增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢,

又公司是為了業(yè)務(wù)發(fā)展制定的激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案，增長(zhǎng)速度應(yīng)越來(lái)越慢，差距

不能太大，

所以函數(shù)模型應(yīng)選y=?log4x+b,

3,,

l=alog^+b—a+b=1

所以,即《2解得a=2,b=—2,

4=tzlog64+Z>

43a+Z?=4

所以y=210g4X-2,

當(dāng)y=8時(shí)，210g寸―2=8,解得x=1024,

故答案為：1024

14.答案:80

解析：由題意a+Iog?!^=0，a=-l,即v=—l+log2《,

由—l+log2《22,解得Q280.

故答案為：80.

15.答案：4

解析：設(shè)移動(dòng)x秒時(shí)，面積最大，

止匕時(shí)5P=8—x，BQ=2x,（0<x<8），所以

22

SAPBQ=^\PB\\BQ\=~(8~X)2X=-X+8X=-(X-4)+16-

故當(dāng)％=