1.4.1.2空間中直線、平面的平行第1章

空間向量與立體幾何

1.空間中點、直線和平面的向量表示(1)點→點+位置向量(2)線→點+方向向量(3)平面→點+法向量2.求平面的法向量的步驟：復習問題1：生活中有很多線線平行，線面平行，面面平行的建筑，比如左下圖上海世博會的中國館，右下圖是加拿大館，我們肯定不能僅憑眼睛判斷建筑的各個面之間是否平行。導入

下圖是武漢大學校門，校門上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行。這是為什么呢?導入我們知道，直線的方向向量和平面的法向量是確定空間中的直線和平面的關鍵量，那么是否能用這些向量來刻畫空間直線、平面的平行、垂直關系呢?首先來看平行的問題.【思考】由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量間的什么關系?如圖(1)所示，設分別是直線l1,l2的方向向量，由方向向量的定義可知，如果兩條直線平行，那么它們的方向向量一定平行，反過來，如果兩條直線的方向向量平行，那么這兩條直線也平行，所以l1l2(1)(1)直線與直線平行探究新知(2)直線與平面平行如圖(2)所示，設是直線l的方向向量，是平面α的法向量，則(3)平面與平面平行如圖(3)所示，設分別是平面α,β的法向量，則αl(2)mα(3)βPmn探究新知

例1、用向量方法證明面面平行的判定定理.證明:設平面α的法向量為n,直線a,b的方向向量分別為u,v.已知：如圖，求證：

abP因為所以因為所以對任意點Q∈β，存在x,y∈R，使得所以，向量n也是平面β的法向量.故從而例題鞏固例2、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點S在DD1上，且SD1＝2SD，點N，R分別為A1D1，BC的中點，求證：MN∥RS.CDA1B1C1D1ABSRMN∴MN＝RS，∴MN∥RS，又∵R?MN，∴MN∥RS.法一：設AB＝a，AD＝b，AA1＝c，例題鞏固CDA1B1C1D1ABxyzSRNM法二：如圖所示，建立空間直角坐標系,∴MN＝RS.∴MN∥RS.∵M?RS，∴MN∥RS.探究新知

練習1、已知O為坐標原點，四面體OABC中，A，B，C的坐標分別為A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，若直線AD∥BC且AD交坐標平面Ozx于點D，求點D的坐標．練習練習或0＝－(x－1)，2＝－(y－2)，－5＝－z.所以x＝1，y＝4，z＝－5或x＝1，y＝0，z＝5.故D點坐標為(1,4，－5)或(1,0,5)．

例3、如圖，在正方體ABCD

–A1B1C1D1中，E,F分別是面AB1，面A1C1的中心.求證:EF//平面ACD1.ADCBA1D1C1B1F?E?∴EF//平面ACD1.例題鞏固解練習3、長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，線段B1C上是否存在點P，使得A1P∥平面ACD1.xyz坐標法例題鞏固利用空間向量證明線面平行的三種方法方法一：證明直線的方向向量與平面內任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內的一個基底表示；方法二：證明直線的方向向量與平面內某一向量共線，轉化為線線平行，利用線面平行判定定理得證；方法三：先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．總結例4、如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分別是線段PA，PD，CD的中點．求證：平面EFG∥平面PBC．BACDPEFG[證明]

因為平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．xyz例題鞏固例題鞏固

練習2、如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO?CDA1B1C1D1ABPOQ如圖所示，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，在CC1上任取一點Q，連接BQ，D1Q．練習CDA1B1C1D1ABPOQxyz即AP∥BQ，同理可得AP∥平面D1BQ，PO∩AP于點P,有平面PAO∥平面D1BQ，即當點Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO．例題鞏固()故當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO．設平面PAO的法向量為n1＝(x，y，z)，取x＝1，則n1＝(1,1,2)．設平面D1BQ的法向量為n2＝(x，y，z)，取z＝1，則n2＝(m,1－m,1)．要使平面D1BQ∥平面PAO，需滿足n1∥n2，2、利用向量解決探索性問題的方法對于探索性問題，一般先假設存在，利用空間坐標系，結合已知條件，轉化為代數方程是否有解的問題．若有解滿足題意，則存在；若沒有滿足題意的解，則不存在．小結

1.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2

，則()√鞏固練習2.(多選)若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是()A.a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0)

B.a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C.a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D.a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解

若l∥α，則a·n＝0.而A中a·n＝0，

B中a·n＝1＋5＝6，

C中a·n＝－1，

D中a·n＝－3＋3＝0.√√當堂檢測

2鞏固練習3.已知直線l∥平面ABC，且l的一個方向向量為a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，

則實數m的值是______.解

∵l∥平面ABC，∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)，－34.已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，則λ的值是()解

∵α∥β，∴α的法向量與β的法向量也互相平行.√當堂檢測

DABCEF

5.如圖,在四面體ABCD中,E是BC的中點.直線AD上是否存在點F,使得AE//CF?當堂檢測

ABCDEF此方程組無解當堂檢測

3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點,求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.證明:(1)建立如圖所示的空間直角坐標系