PAGE立體幾何(10)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．[2024·湖北宜昌聯考]在空間中，有如下四個命題：①平行于同一個平面的兩條直線是平行直線②垂直于同一條直線的兩個平面是平行平面③若平面α內有不共線的三個點到平面β的距離相等，則α∥β④過平面α的一條斜線有且只有一個平面與平面α垂直．其中正確的命題是()A．①③B．②④C．①④D．②③2．[2024·四川瀘州模擬]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱所在直線與直線BA1A．4B．5C．6D．73．設一個球形西瓜，切下一刀后所得切面圓的半徑為4，球心到切面圓心的距離為3，則該西瓜的體積為()A．100πB.eq\f(256,3)πC.eq\f(400,3)πD.eq\f(500,3)π4．已知E，F，G，H是空間四點，命題甲：E，F，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．[2024·四川瀘州模擬]設a，b是空間中不同的直線，α，β是不同的平面，則下列說法正確的是()A．a∥b，b?α，則a∥αB．a?α，b?β，α∥β，則a∥bC．a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α∥βD．α∥β，a?α，則a∥β6．[2024·河北省九校高三其次次聯考試題]下圖網格紙中小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．7π＋8＋4eq\r(2)B．7π＋4＋4eq\r(2)C．5π＋8＋4eq\r(2)D．5π＋4＋4eq\r(2)7．[2024·桂林、百色、崇左市聯合模擬]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點，用平面AEC18．[2024·武漢調研]某幾何體的三視圖如圖所示，則從該幾何體的全部頂點中任取兩個頂點，它們之間距離的最大值為()A.eq\r(3)B.eq\r(6)C．2eq\r(3)D．2eq\r(6)9．[2024·福州市高三期末質量檢測]已知四邊形ABCD為正方形，GD⊥平面ABCD，四邊形DGEA與四邊形DGFC也都為正方形，連接EF，FB，BE，點H為BF的中點，有下述四個結論：①DE⊥BF②EF與CH所成角為60°③EC⊥平面DBF④BF與平面ACFE所成角為45°其中全部正確結論的編號是()A．①②B．①②③C．①③④D．①②③10．[2024·湖南省長沙市高三調研試題]已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為A1D，AC上的點，且滿意A1D＝3MD，AN＝2NC，則異面直線MN與C1D1A.eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),4)11．[2024·蓉城名校第一次聯考]已知一個幾何體的正視圖和側視圖如圖1所示，其俯視圖用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個直角邊長為1的等腰直角三角形(如圖2所示)，則此幾何體的體積為()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)12．[2024·洛陽市尖子生第一次聯考]已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在同一個球面上，底面△ABC滿意BA＝BC＝eq\r(6)，∠ABC＝eq\f(π,2)，若該三棱錐體積的最大值為3，則其外接球的體積為()A．8πB．16πC.eq\f(16,3)πD.eq\f(32,3)π二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．[2024·長春市質量監測]已知一個全部棱長都是eq\r(2)的三棱錐，則該三棱錐的體積為________．14．[2024·南昌市高三年級摸底測試卷]已知一個圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，則該圓錐的側面積為________．15.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱AA1的中點．若AA1＝4，AB＝2，則四棱錐B-ACC1D16．[2024·石家莊市重點中學畢業班摸底考試]已知正三棱錐S-ABC的全部頂點都在球O的球面上，棱錐的底面是邊長為2eq\r(3)的正三角形，側棱長為2eq\r(5)，則球O的表面積為________．立體幾何(10)1．答案：B解析：平行于同一個平面的兩條直線，可能平行、相交或異面，①不正確；垂直于同一條直線的兩個平面是平行平面，②正確；若平面α內有不共線的三個點到平面β的距離相等，則α與β可能平行，也可能相交，③不正確；過平面α的一條斜線有且只有一個平面與平面α垂直，④正確，因為一條斜線只有一條射影，只能確定一個平面．故選B.2．答案：C解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共有6條直線與直線3．答案：D解析：因為切面圓的半徑r＝4，球心到切面的距離d＝3，所以球的半徑R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(42＋32)＝5，故球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π，即該西瓜的體積為eq\f(500,3)π.4．答案：B解析：若E，F，G，H四點不共面，則直線EF和GH確定不相交，但直線EF和GH不相交，E，F，G，H四點可以共面，例如EF∥GH.故選B.5．答案：D解析：由a，b是空間中不同的直線，α，β是不同的平面，知：在A中，a∥b，b?α，則a∥α或a?α，故A錯誤；在B中，a?α，b?β，α∥β則a與b平行或異面，故B錯誤；在C中，a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α與β相交或平行，故C錯誤；在D中，α∥β，a?α，則由面面平行的性質定理得，a∥β，故D正確．6．答案：C解析：由三視圖可知，該幾何體是上方為一個八分之一球，下方是一個底面為等腰直角三角形的直三棱柱，故所求表面積S＝eq\f(1,8)×4π×22＋eq\f(1,4)×π×22×3＋2×2×2＋2eq\r(2)×2＝5π＋8＋4eq\r(2)，故選C.7．答案：B解析：因為ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以AE∥平面DCC1D1，設平面AEC1∩平面DCC1D1＝C1G，因為AE?平面AEC1，所以AE綊C1G.取CC1的中點F，連接EF，DF，易得四邊形AEFD為平行四邊形，所以AE綊DF，所以C1G綊DF，所以G為DD1的中點，連接AG，則平面AEC1G即平面AEC1截正方體所得的截面，則剩余的幾何體為A1B18.答案：B解析：由三視圖知，該幾何體是一個四棱柱，記為四棱柱ABCD-A1B1C1D1，將其放在如圖所示的長方體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，四棱柱的高為1，連接AC1，視察圖形可知，幾何體中兩頂點間距離的最大值為AC1的長，即eq\r(22＋12＋12)＝eq\r(6).故選B.9．答案：B解析：連接AG，由BF∥AG，DE⊥AG，得DE⊥BF，故①正確；由CH∥DE，DE與EF所成角為60°，得到EF與CH所成角為60°，故②正確；由EC⊥DB，EC⊥DF，DB∩DF＝D，得EC⊥平面DBF，故③正確；過B作BM⊥AC，垂足為M，連接MF，則∠MFB為BF與平面ACFE所成的角，因為∠MFB＝30°，所以BF與平面ACFE所成角為30°，故④錯．綜上，全部正確結論的編號是①②③.故選B.10．答案：A解析：取線段AD上一點E，使AE＝2ED，連接ME，NE，如圖所示．因為A1D＝3MD，AN＝2NC，所以eq\f(MD,A1D)＝eq\f(CN,AC)＝eq\f(DE,AD)＝eq\f(1,3)，所以NE∥CD，ME∥AA1.又CD∥C1D1，所以∠MNE為異面直線MN與C1D1所成的角．設該正方體的棱長為3a，則EN＝eq\f(2,3)CD＝2a，ME＝eq\f(1,3)AA1＝a，所以在Rt△MNE中，MN＝eq\r(ME2＋EN2)＝eq\r(a2＋2a2)＝eq\r(5)a，所以cos∠MNE＝eq\f(EN,MN)＝eq\f(2a,\r(5)a)＝eq\f(2\r(5),5)，故選A.11．答案：B解析：依據直觀圖可得該幾何體的俯視圖是一個直角邊長分別是2和eq\r(2)的直角三角形(如圖所示)，依據三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，且三棱錐的高為3，所以體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(2)))×3＝eq\r(2).故選B.12．答案：D解析：如圖，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC為截面圓的直徑，外接球的球心O在截面ABC上的射影為AC的中點D，∴當P，O，D共線且P，O位于截面ABC同一側時三棱錐的體積最大，高最大，此時三棱錐的高為PD，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(6)×PD＝3，解得PD＝3，設外接球的半徑為R，則OD＝3－R，OC＝R，在△ODC中，CD＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3)，由勾股定理得(3－R)2＋(eq\r(3))2＝R2，解得R＝2.∴三棱錐P-ABC的外接球的體積V＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π，故選D.13．答案：eq\f(1,3)解析：記全部棱長都是eq\r(2)的三棱錐為P-ABC，如圖所示，取BC的中點O，連接AD，PD，作PO⊥AD于點O，則PO⊥平面ABC，且OP＝eq\f(\r(6),3)×eq\r(2)＝eq\f(2\r(3),3)，故三棱錐P-ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·OP＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(1,3).14．答案：eq\r(2)π解析：因為圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，所以圓錐的底面半徑r＝1，母線l＝eq\r(2)，所以圓錐的側面積S＝πrl＝eq\r(2)π.15．答案：2eq\r(3)解析：取AC的中點O，連接BO(圖略)，則BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D.因為AB＝2，所以BO＝eq\r(3).因為D為棱AA1的中點，AA1＝4，所以AD＝2，所以S梯形ACC1D＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以四棱錐B-ACC1D的體積為eq\f(1,3)×6×eq\r(3)＝2eq\r(3).16.答案：25π解析