重難點突破08利用導數解決一類整數問題

目錄

01方法技巧與總結...............................................................2

02題型歸納與總結...............................................................2

題型一：整數解問題之分離參數、分離函數、半分離..................................2

題型二：整數解問題之直接限制法..................................................3

題型三：整數解問題之虛設零點....................................................4

題型四：整數解問題之必要性探路..................................................5

03過關測試.....................................................................6

亡法牯自與.柒年

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利用導數解決一類整數問題常見技巧有:

1、分離參數、分離函數、半分離

2、直接限制法

3、虛設零點

4、必要性探路

題型歸贏總結

題型一：整數解問題之分離參數、分離函數、半分離

【典例1-1](2024?高三?江西?期末)若集合｛xklnx+("ln4)尤+左＜0｝中僅有2個整數，則實數左的

取值范圍是()

342,八「2,\3,小「2,\3,小「3,22,八

A.—In—ln2B.—In2,—In3C.—In2,—In2D.—In—ln2

_433)L34J|_32J|_433J

【典例切若函數〃上也「有兩個零點且存在唯一的擎虹則實數優的取值范

圍是（）

e

A.(0,-)

C.1—ln3ee.

D.r——,-)

92

【變式1-1］（2024?高三?福建泉州?期中）關于1的不等式＜2-1＜。的解集中有且僅有兩個大

（x-2）

于2的整數，則實數a的取值范圍為（）

【變式1-2】已知函數/（x）=±,若不等式/（力-。（了+1）＞0的解集中有且僅有一個整數，則實數〃的取

值范圍是（）

「11]「11）「21]「21）

A-R,ZjB-C?[m，2e」D.[爰，3J

【變式1-3]若關于無的不等式Mx2+2x）〈lnx+l的解集中恰有2個整數，則上的取值范圍是（）

cln2+l7/1

A.-<^<1B.--------<k<-

383

cln3+l,ln2+lln4+l/n3+l

C.--------<k<--------D.---7-----<k<--------

1582415

【變式1-4]（多選題）（2024-高三?廣東揭陽?期末）已知函數/（%）=%—雙e'—ae）且存在唯一的整

數%,使得/（%）＞0,則實數〃的可能取值為（）

【變式1-5]（2024?河南?模擬預測）已知函數〃x）=（2x-3孵-（依+l）e*+2aeX（a＞0,aeR）,若存在

唯一的整數看,使得/（不）＞0,則實數。的取值范圍是—.

題型二：整數解問題之直接限制法

【典例2-1】（2024?全國?模擬預測）若對于V〃?e[-e,e],Vye（-1,y）,使得不等式

4x3+ln（x+l）+（2023-m）^-l＜yln（y+l）恒成立，則整數x的最大值為一.

【典例2-2]（2024?河南南陽?一模）已知函數/（x）=3/-21nx+（a-l）x+3在區間（1,2）上有最小值，

則整數。的一個取值可以是—.

【變式2-1]（2024?高三?重慶?期中）若關于x的不等式xlnx+f—的解集中恰有三

個整數解，則整數。的取值是（）（參考數據:ln2M.6931,ln3=1.0986）

A.4B.5C.6D.7

【變式2-2]（2024?海南海口?模擬預測）過x軸上一點P（/,0）作曲線。:、=（%+3卜￡的切線，若這樣的

切線不存在，則整數才的一個可能值為.

【變式2-3]（2024?陜西西安?模擬預測）已知函數/（力=寸-7疝1%+%-1（m€1＜）,〃”的圖象在

（I"⑴）處的切線過原點.

(1)求加的值；

(2)設g(x)=/(x)-=f-2x+a,若對％e(0,+oo)總加eR,使g(%)>/?(馬)成立,求整數。的最

大值.

【變式2-4］已知函數"X)=IXnx-^nvr+l(/neR).

(1)當〃?=1時，證明：

(2)若關于x的不等式〈(m-2卜恒成立，求整數加的最小值.

【變式2-5］(2024?江西?模擬預測)已知函數〃司=￡/+(加一l)x-l(meR).

⑴求函數/(x)在區間［L2］上的最大值；

(2)若加為整數，且關于x的不等式恒成立，求整數加的最小值.

題型三：整數解問題之虛設零點

【典例3-1】已知函數/(x)=ln(x+l)-ox+2.

(1)若a=2,求在尤=0處的切線方程；

(2)當x20時，f(x)+2x+xln(x+l)N0恒成立，求整數a的最大值.

【典例3-2】(2024?高三?陜西西安?期末)已知函數/(x)=xlr比，對任意的x>0,關于》的方程

/'(x)=ln-x+a有兩個不同實根，則整數。的最小值是()

A.1B.2C.3D.4

【變式3-1](2024?全國?模擬預測)當x>l時，(％-lnx)x<lnx+4恒成立，則整數上的最大值為()

A.3B.2C.1D.0

【變式3-2](2024?浙江?三模)已知函數/(x)=(x-2)e*+lnx,g^x)=ax+b,對任意ae(-oo,l],存

在xe(0,1)使得不等式2g(x)成立，則滿足條件的6的最大整數為一.

【變式3-3](2024?陜西安康?模擬預測)已知函數=

(1)當相=2時，求曲線y=/(x)在點處的切線方程；

(2)當x>l時，不等式/(x)+lnx+3>0恒成立，求整數加的最大值.

題型四：整數解問題之必要性探路

【典例4-1】(2024?安徽合肥?三模)對于定義在。上的函數尸(x),若存在使得/(%)=%,則

稱看為尸(無)的一個不動點.設函數/(x)=(x-l)e*-aInX+尤，已知%H1)為函數/(元)的不動點.

(1)求實數。的取值范圍；

(2)若keZ,且也<“對任意滿足條件的不成立，求整數上的最大值.

23

(參考數據：In2?0.693,ln3?l.l,31.95，e2?7.39,/24.48)

【典例4-2】已知函數/(x)=e2*-(2a+l)eX+a2+2a,g(x)=lnx+7〃，對\/0€7?,也€(0,+00),不等式

f(x)2g(x)恒成立，則整數加的最大值是.

【變式4-1](2024?浙江臺州?一模)設〃同=4

In%

r2

(1)求證：/(X)<-----；

⑵若■/■(*)<Mn。-/)恒成立，求整數”的最大值.(參考數據ln2aQ693,ln3?1.099)

【變式4-2]己知a>0,函數/(x)=e，—ax2,g(x)=lnx.

(1)^0<?<|,求證：〃x)在R上是增函數；

⑵若存在〃，使得/(%)>g(力+b對于任意的I>0成立，求最大的整數b的值.

【變式4?3】已知函數/(%)=加2"-3元.

(1)當。=1時，求/(%)的最小值；

(2)若與>在(0,+◎上恒成立，求整數a的最小值.

e

【變式4-4]/(x)=lnx-mx2+(l-2m)x+l,對Vx>0,f(x)?0,求整數加的最小值.

0

〃過關測試,\

1.已知函數/(x)=lnx+(a-2)x—2a+4(a>0),若有且只有兩個整數小三使得/(網)>0,且

則實數。的取值范圍為()

A.Un3,2)B.(0,2-In3]C.(0,2-In3)D.[2-In3,2)

2.（2024?全國?模擬預測）當時，不等式e*-xcosx+cosxlncosx+m^1恒成立，則實數。的

最小整數為一.

3.（2024?云南?三模）設函數〃x）=xe，+依,。＞-1,若存在唯一整數馬，使得/伉）＜0,貝匹的取值

范圍是—.

4.（2024?廣東深圳?模擬預測）若關于x的不等式e"（2左-x）＜x+3對任意的xe（O,y）恒成立，則整數

上的最大值為一.

5.（2024?甘肅?三模）若關于x的不等式x（2左-lnx）＜lnx+4對任意的xe（l,+?））恒成立，則整數人的最

大值為—.

6.（2024?江蘇常州?模擬預測）已知函數/（為=111》-262尤2+7內，若〃力20的解集中恰有一個整數，則

m的取值范圍為.

7.（2024?高三?上海寶山?期中）若不等式尤lnx+依-ln4）x+左＜0的解集中僅有2個整數，則實數上的

取值范圍是—.

8.（2024?江蘇揚州?模擬預測）已知函數/（x）=asinx-lfi（l+x）（aeR）.

⑴若。=-1,求證：Vx＞0,/（x）+2x＞0；

（2）當aZl時，對任意xe0,1,者口有/（x）?0,求整數左的最大值.

9.（2024?貴州?一模）已知/（x）=lnx-依+1（〃￡R）.

⑴討論””的單調性；

⑵若/（尤）4g依2一無對xe（0,+8）恒成立，求整數。的最小值.

10.已知函數/(x)=e，-xe，+l.

⑴求曲線y=/(x)在點(1J(1))處的切線方程；

(2)若函數g(x)=lnx-x+l-e*-/(x)在1,1上的最大值在區間(加，加+1)內，求整數機的值.

11.(2024?廣西桂林?模擬預測)已知函數"x)=S-ln(x+a).

⑴討論函數g(x)=〃x)-士的單調性；

(2)若4=1,且存在整數上使得/")>左恒成立，求整數上的最大值.

(參考數據：In2?0.69,ln3?1.10)

12.設函數f(x)=cx-ax-2

⑴求/(尤)的單調區間

(2)若々=1,%為整數，且當次〉0時(％-4)/'(%)+%+1>0,求女的最大值

13.已知/(%)=辦2—21nx,

⑴討論函數”%)的單調性；

⑵若對任意的%>0,2-/(x)W2(a-1)%恒成立，求整數〃的最小值.

14.已知函數〃