第16課正多邊形

號目標導航

學習目標

L了解正多邊形的概念.

2.了解正多邊形與圓的關系:任何一個正多邊形都有一個外接圓.

3.了解正多邊形的一般畫法.

4.會用尺規作正六邊形.

即’知識精講

知識點01正多邊形的相關概念

1.正多邊形：各邊相等、各內角也相等的多邊形叫做正多邊形；

2.正多邊形的對稱性：任何正〃邊形都是軸對稱圖形，且對稱軸有〃條對稱軸.當〃為偶數時，正〃邊形

是中心對稱圖形.

知識點01正多邊形與圓

2.經過一個正多邊形的各個頂點的圓叫做這個正多邊形的外接圓，這個正多邊形叫做圓的內接正多邊形;

3.任何正多邊形都有一個外接圓；

能力拓展

考點01正多邊形的計算

【典例1】如圖，正方形ABC。內接于。。，P為前上一點，連接。P,CP.

(1)NCPD=°；

(2)若。C=4,CP=2V2.求OP的長.

【即學即練1】如圖，正六邊形ABCDEF內接于O。，點M在窟上，則NC0E的度數為（）

題組A基礎過關練

1.如圖，在同一平面內，將邊長相等的正六邊形、正方形的一邊重合，則的度數為（)

A.18°B.25°C.30°D.45°

2.如圖，正五邊形內接于圓,連接AC,BE交于點、F,則/CFE的度數為（）

C.135°D.144°

3.如圖，。。是正方形A8CO的外接圓，若。。的半徑為4,則正方形A8C。的邊長為（）

A.4B.8C.272D.4A/2

4.下列關于正多邊形的敘述，正確的是（）

A.正九邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形B.存在一個正多邊形，它的外角和為720°

C.任何正多邊形都有一個外接圓D.不存在每個外角都是對應每個內角兩倍的正多邊形

5.已知正六邊形的邊長為4,則這個正六邊形外接圓的半徑為（）

A.2B.273C.4?D.4

6.如圖，。。經過正五邊形的頂點A,。，點E在優弧AO上，則NE等于度.

A

E

7.圓內接正五邊形中，每個外角的度數=—度.

8.如圖，已知點。是正六邊形A3CQEF的對稱中心，G,H分別是AR3C上的點，且AG=3H.

(1)求的度數;

(2)求證：OG=OH.

題組B能力提升練

9.如圖，在正六邊形A3CDM中，點G是AE的中點，若A3=4,則CG的長為()

A.5B.6C.7D.8

10.如圖，在擰開一個邊長為〃的正六角形螺帽時,扳手張開的開口則這個正六邊形的面積

C.150A/3^^2D.

11.如圖，若干全等正五邊形排成環狀.圖中所示的是前3個正五邊形，要完成這一圓環還需一個正五

邊形.

12.如圖，AB為。。的內接正多邊形的一邊，已知N048=70°,則這個正多邊形的內角和為

13.如圖，正六邊形ABCDEP的頂點8,C分別在正方形AMNP的邊AM,MN上.若A8=4,則CN=

14.如圖，在正六邊形ABCQEP中，對角線AE與8尸相交于點8。與CE相交于點N.

（1）觀察圖形，寫出圖中與全等三角形；

（2）選擇（1）中的一對全等三角形加以證明.

題組C培優拔尖練

15.如圖，圓形螺帽的內接正六邊形的面積為24我則圓形螺帽的半徑是（

B.2cmC.2VscmD.4cm

16.如圖，正六邊形ABC。所內接于。0,若。。的半徑為6,則△ADE的周長為

17.若圓內接正六邊形的兩條對角線長為根，“(根＜〃)，則加：n—.

18.如圖，在正五邊形A8CDE中，點尸是C。的中點，點G在線段Ab上運動，連接EG,當△OEG

的周長最小時，則NEGO=()

A.36°B.60°C.72°D.108°

19.已知圓的半徑為R,試求圓內接正三角形、正四邊形、正六邊形的邊長之比.

20.如圖，。。的周長等于8m正六邊形A8CDEF內接于。。

(1)求圓心。到AF的距離；

(2)求正六邊形ABCQEF的面積.

第16課正多邊形

號目標導航

學習目標

1.了解正多邊形的概念.

2.了解正多邊形與圓的關系:任何一個正多邊形都有一個外接圓.

3.了解正多邊形的一般畫法.

4.會用尺規作正六邊形.

魏獻精講

知識點01正多邊形的相關概念

L正多邊形：各邊相等、各內角也相等的多邊形叫做正多邊形；

2.正多邊形的對稱性：任何正〃邊形都是軸對稱圖形，且對稱軸有〃條對稱軸.當〃為偶

數時，正〃邊形是中心對稱圖形.

知識點01正多邊形與圓

2.經過一個正多邊形的各個頂點的圓叫做這個正多邊形的外接圓，這個正多邊形叫做圓的

內接正多邊形；

3.任何正多邊形都有一個外接圓；

能力拓展

考點01正多邊形的計算

【典例1】如圖，正方形A8CD內接于oo,P為前上一點，連接。P,CP.

(1)/CPD=45°；

(2)若。C=4,CP=2A歷，求。P的長.

【思路點撥】(1)連接根據正方形ABC。內接于O。，可得NCPD=/Z32C=45

(2)作CH_LZ)P于H,因為CP=2我，ZCPD=45°,可得CH=PH=2,因為。C=

4,所以￡>H=4CD2_CH2,BPDP=PH+DH=2+2y/3-

【解析】解：(1)如圖，連接2。，

:正方形ABC。內接于O。，尸為前上一點，

/.ZDBC=45°,

■:NCPD=NDBC,

；./CPD=45°.

故答案為：45；

(2)如圖，作C”_L。尸于H,

,:CP=2?ZCPD=45°,

：.CH=PH=2,

；￡>C=4,

；?DH=VCD2-CH2==2^3，

:.DP=PH+DH=2+2V3.

【點睛】本題考查圓周角定理，正方形的性質，勾股定理.解題的關鍵是掌握圓周角定

理.

【即學即練1】如圖，正六邊形ABCDEF內接于O。,點M在窟上，則NCME的度數為（）

A.30°B.36°C.45°D.60°

【思路點撥】由正六邊形的性質得出/COE=120°,由圓周角定理求出NCME=60°.

【解析】解：連接。C,OD,OE,

多邊形ABCDEF是正六邊形，

：.ZCOD^ZDOE^6Q°,

/.ZCOE=2ZCOD=120°,

AZCME=1ZCOE=60°,

2

故選：D.

【點睛】本題考查了正六邊形的性質、圓周角定理；熟練掌握正六邊形的性質，由圓周

角定理求出/COM=120°是解決問題的關鍵.

M分層提分

題組A基礎過關練

1.如圖，在同一平面內，將邊長相等的正六邊形、正方形的一邊重合，則的度數為（）

A.18°B.25°C.30°D.45°

【思路點撥】根據多邊形內角和公式求出正三角形、正六邊形每個內角的度數，再求出

答案即可.

【解析】解：：正方形的每個內角的度數是90°,正六邊形的每個內角的度數是=120

AZI=120°-90°=30°,

故選C.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓，多邊形的內角和外角等知識點，能分別求出正三角

形、正六邊形每個內角的度數是解此題的關鍵.

2.如圖，正五邊形內接于圓，連接AC,BE交于點F,則NCFE的度數為（）

A.108°B.120°C.135°D.144°

【思路點撥】根據五邊形的內角公式求出NA8C,再由等腰三角形的性質、三角形的內

角和定理可得答案.

【解析】解：：五邊形A2COE是正五邊形，

AZABC=AX（5-2）X180°=108°,

5

"：BA=BC,

：.ZBAC=ZBCA=36°,

同理乙48尸=36°,

：.ZCFE=ZAFB=1800-ZABF-ZBAF=180°-36°-36°=108°,

故選：A.

【點睛】此題考查的是正多邊形的內角和定理，掌握正多邊形的內角和的計算公式、等

腰三角形的性質是解決此題的關鍵.

3.如圖，是正方形ABCD的外接圓，若。。的半徑為4,則正方形ABCD的邊長為（）

A.4B.8C.272D.加

【思路點撥】連接BD由題意，△BCQ是等腰直角三角形，故可得出結論.

由題意，△BC。是等腰直角三角形，

ZCBD=45°,/BCD=90°,

：.BC=^-BD=4>^2.

2

故選：D.

【點睛】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造

出等腰直角三角形是解答此題的關鍵.

4.下列關于正多邊形的敘述，正確的是（）

A.正九邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形B.存在一個正多邊形，它的外角和為

720°

C.任何正多邊形都有一個外接圓D.不存在每個外角都是對應每個內角兩倍的正多邊

形

【思路點撥】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義可判斷選項A,把一個圖形繞某一

點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱

圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸

對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；

根據多邊形的內角和公式可判斷選項8,多邊形內角和定理：Cn-2）-180°（“N3且

w為整數）；

根據正多邊形與圓的關系可判斷選項C；

根據多邊形的內角與外角可判斷選項D.

【解析】解：A.正九邊形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

艮任意多邊形的外角和為360。，故本選項不合題意；

C.任何正多邊形都有且只有一個外接圓，故本選項符合題意；

D.正三角形的每個外角都是對應每個內角兩倍，故本選項不合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形，軸對稱圖形以及多邊形內角與外角，熟記相關

定義是解答本題的關鍵.

5.已知正六邊形的邊長為4,則這個正六邊形外接圓的半徑為()

A.2B.273C.4?D.4

【思路點撥】如圖，求出圓心角NAOB=60°,得到△O4B為等邊三角形，即可解決問

題.

【解析】解：如圖，為O。內接正六邊形的一邊；

則NAO2=36Cr.=60。,

6

?：OA=OB,

...△OA8為等邊三角形，

：.AO=AB=4.

.?.這個正六邊形外接圓的半徑為4,

【點睛】該題主要考查了正多邊形和圓的性質及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用正

多邊形和圓的性質來分析、判斷、解答.

6.如圖，。。經過正五邊形。的頂點A,￡),點E在優弧上，則/E等于54度.

【思路點撥】根據正五邊形的內角和求得，ZAOD=108°,然后根據圓周角定理即可得

到結論.

【解析】解：：0。經過正五邊形042。的頂點A,D,

：.ZA(?D=108°,

ZE=A2/AOD=54°

故答案為：54.

【點睛】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.

7.圓內接正五邊形中，每個外角的度數=72度.

【思路點撥】利用正五邊形的外角和等于360度，除以邊數即可求出答案.

【解析】解：360°4-5=72°.

故答案為：72.

【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理，任何一個多邊形的外角和都是360°.

8.如圖，已知點。是正六邊形ABCDEP的對稱中心，G,X分別是AF,上的點，且

AG=BH.

(1)求/物8的度數;

(2)求證：OG=OH.

【思路點撥】（1）根據多邊形的內角和定理、正多邊形的性質計算;

（2）證明△AOGg△80”，根據全等三角形的性質證明結論.

【解析】（1）解：?..六邊形ABCDEF是正六邊形，

；./FAB=（6-2）X180,=120。.

6

（2）證明：連接。4、OB,

'：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

'：ZFAB=ZCBA,

：.ZOAG=ZOBH,

在△AOG和△BO”中，

.?.△AOG之△BOH(SAS)

：.OG=OH.

ED

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的內角的計算公式、全等三角形的

判定定理和性質定理是解題的關鍵.

題組B能力提升練

9.如圖，在正六邊形ABCOEF中，點G是AE的中點，若AB=4,則CG的長為（）

【思路點撥】如圖，連接AC,EC.證明△ABC是等邊三角形，利用等邊三角形的性質

求解.

【解析】解：如圖，連接AC,EC.

?.,ABCDEF是正六邊形,

ZVICE是等邊三角形,

VAB=4,

：.AC=CE=AE=4-J3,

'：AG=GE=2-/3,

：.CG±AE,

?*-CG=VAC2-AG2=V(4V3)2-(2V3)2=6>

故選：B.

【點睛】本題考查正多邊形的性質，等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈

活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

10.如圖，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口6=10加相加，則這個

正六邊形的面積為（）

A.°B.C.150,\[3mnrD.75A/3WI/?2

3

【思路點撥】根據正六邊形的性質，可得NABC=120。，AB=BC=a,根據等腰三角形

的性質，可得CD的長，根據銳角三角函數的余弦，可得答案.

【解析】解：如圖：作2DLAC于。，

由正六邊形，得

ZABC=120°,AB=BC=a,

NBCD=/BAC=30°.

由得CD=5y/"§mm.

得4=10,

這個正六邊形的面積6X_1X1OX5?=15O我(mm2),

【點睛】本題考查了正多邊形和圓，利用了正六邊形的性質得出等腰三角形是解題關鍵,

又利用了正三角形的性質，余弦函數，

11.如圖，若干全等正五邊形排成環狀.圖中所示的是前3個正五邊形，要完成這一圓環還

需7個正五邊形.

【思路點撥】先求出正五邊形的內角的多少，求出每個正五邊形被圓截的弧對的圓心角,

即可得出答案.

【解析】解：：多邊形是正五邊形,

...內角是工X(5-2)X1800=108°，

5

：.ZO=180°-(180°-108°)-(180°-108°)=36°,

36°度圓心角所對的弧長為圓周長的工，

10

即10個正五邊形能圍成這一個圓環，

所以要完成這一圓環還需7個正五邊形

故答案為：7.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓，能求出每個正五邊形被圓截的弧對的圓心角的度數

是解此題的關鍵.

12.如圖，A2為。。的內接正多邊形的一邊，已知/。43=70°,則這個正多邊形的內角

【思路點撥】由圓的性質易證△0A2是等腰三角形，所以NAOB的度數可求，再根據正

多邊形的性質可求出其邊數，最后利用多邊形內角和定理計算即可.

【解析】解：

?：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=7Q°,

：.ZAOB=40°,

,：AB為。。的內接正多邊形的一邊，

...正多邊形的邊數=皿=9,

40

.?.這個正多邊形的內角和=(9-2)X18O0=1260°,

故答案為：1260°.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓的有關知識、等腰三角形的判斷和性質以及多邊形內

角和定理的運用，熟記多邊形內角和定理計算公式是解題的關鍵.

13.如圖，正六邊形ABCDEF的頂點3,C分別在正方形AMNP的邊AM,MN上.若A2

=4,則CN=_6-W§_.

【思路點撥】在RtaBCM中，根據條件AB=BC=4,ZCBM=6Q°,ZM=90°,解直

角三角形即可解決問題；

【解析】解：在RtZkBCM中，'：AB=BC=4,ZCBM=60°,ZM=90°,

：.ZBCM=30°,

：.BM=^BC=2,CM=?BM=2百，

2

：.AM=4+2=6,

:四邊形AMNP是正方形，

：.MN=MA=6,

:.CN=MN-CM=6-2A/3.

故答案為6-2?.

【點睛】本題考查正多邊形與圓，解直角三角形，正方形的性質，正六邊形的性質等知

識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

14.如圖，在正六邊形ABCDEE中，對角線AE與8F相交于點8。與CE相交于點N.

（1）觀察圖形，寫出圖中與全等三角形；

（2）選擇（1）中的一對全等三角形加以證明.

【思路點撥】（1）先證明出△DEM同理得出△ABM經△FEM■也△CBN,

（2）選擇證明，根據正六邊形得出/DEN,AB=DE,ZBAM

=ZEDN,證明全等即可.

【解析】解：（1）與△48/全等的三角形有△￡>￡?/,AFEM沿ACBN；

（2）證明四△QEN,

證明：?.,六邊形ABCDEP是正六邊形，

C.AB^DE,NBAF=120°,

AZABM=30°,

ZBAM=9Q°,

同理/￡>EN=30°,NEDN=90°,

ZABM=/DEN,ZBAM=ZEDN,

在△ABM和△DEN中，

，ZBAM=ZEDN

-AB=DE，

ZABM=ZDEN

:.AABM/ADEN(ASA).

【點睛】本題考查了正多邊形和圓以及全等三角形的判定，掌握正多邊形的性質和全等

三角形的判定是解題的關鍵.

題組C培優拔尖練

15.如圖，圓形螺帽的內接正六邊形的面積為24?CM2,則圓形螺帽的半徑是()

B.2cmC.2\[3cmD.4cm

【思路點撥】根據圓內接正六邊形的性質可得△AOB是正三角形，由面積公式可求出半

徑.

【解析】解：如圖，由圓內接正六邊形的性質可得△A08是正三角形,

設半徑為即。4=02=ABrem,

OM=^^-r(cm),

2

?圓。的內接正六邊形的面積為24a(cm2),

...△AOB的面積為24百+6=4a(cm2),

即工小。m=4愿,

2

22

解得r=4,

圓形螺帽的半徑的4cm,

【點睛】本題考查正多邊形和圓，作邊心距轉化為直角三角形的問題是解決問題的關鍵.

16.如圖，正六邊形ABCDEF內接于O。，若。。的半徑為6,則的周長為

18+6V3_.

【思路點撥】首先確定三角形的三個角的度數，從而判斷該三角形是特殊的直角三角形,

然后根據半徑求得斜邊的長，從而求得另外兩條直角邊的長，進而求得周長.

【解析】解：連接0E,

多邊形ABCDEF是正多邊形，

=60。,

6

AZDAE=AZZ)OE=AX60O=30°,ZAED=90°,

22

的半徑為6,

：.AD=2OD=12,

.,.DE——AD——X12,—6,AE—y/SDE—6A/3>

22

AA￡)E的周長為6+12+6我=18+6如,

故答案為：18+6百.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓的知識，解答的關鍵是確定三角形的三個角的度數，

然后確定其三邊的長，難度不大.

17.若圓內接正六邊形的兩條對角線長為機，〃,則機：n=_-/g：2.

【思路點撥】根據正多邊形的內角的計算公式求出/ABC和N8CO,根據等腰三角形的

性質和三角形內角和定理求出NBC4,求出NACD,根據正弦的定義解答.

【解析】解：ZABC=ZBCD==120°,

,:BA=BC,

：.ZBAC=ZBCA=30°,

，ZACD=ZBCD-ZBCA=90°,

VZADC=Ax120°=60°,

2

=sin60°=2/1-,

n2

AM：n—:2,

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的內角的計算方法，正弦的定義是

解題的關鍵.

18.如圖，在正五邊形A8COE中，點F是C。的中點，點G在線段AF上運動，連接EG,

DG,當△OEG的周長最小時，則/EGZ)=()

【思路點撥】根據軸對稱的性質，得出連接EC與AF交于G,此時的周長最小,

進而由正五邊形的性質進行計算即可.

【解析】解：如圖，連接EC交A尸于點G,此時△OEG的周長最小，

?1-五邊形ABCDE是正五邊形，

:.DE=D