第1頁(yè)（共1頁(yè)）2023-2024學(xué)年江蘇省常州外國(guó)語(yǔ)附屬雙語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)（上）競(jìng)賽數(shù)學(xué)試卷1．O、H分別是銳角△ABC的外心、垂心．證明分別存在D、E、F在邊BC，CA，AB上，并且AD，BE2．已知：O、I、H為△外心、內(nèi)心、垂心，OI∥BC，證明：AI⊥IH．3．如圖，ABCD是圓內(nèi)接四邊形，AC與BD交于點(diǎn)P，連接EP并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，點(diǎn)G，DE的延長(zhǎng)線上，滿足∠EAG＝∠FAD，求證：C，D，G，H四點(diǎn)共圓．4．已知⊙O1和⊙O2外離，PM，PN分別是⊙O1和⊙O2的切線，M，N分別是切點(diǎn)，且PM＝PN．直線MN再次交⊙O1，⊙O2于點(diǎn)A，B．直線PA，PB再次交⊙O1，⊙O2于點(diǎn)C，D．證明：∠BCN＝∠ADM．5．設(shè)△ABC是一個(gè)銳角三角形，AD是BC邊上的高，以AD為直徑的圓分別與AC，F(xiàn)．P是△AEF的垂心，O為△ABC的外心，P，O三點(diǎn)共線．

2023-2024學(xué)年江蘇省常州外國(guó)語(yǔ)附屬雙語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)（上）競(jìng)賽數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析1．O、H分別是銳角△ABC的外心、垂心．證明分別存在D、E、F在邊BC，CA，AB上，并且AD，BE【解答】證明：如圖，連接AH，并延長(zhǎng)分別交BC，M和K1，H2和H2，連接OH1，OH2和OH3，分別交BC，AC和AB于點(diǎn)D，連接HD．∵AN⊥BC，BM⊥AC，∴∠BCA+∠H1AC＝∠BCA+∠H2BC＝90°，∴∠H5AC＝∠H2BC，∴＝，∴∠H1BC＝∠H2BC．在△HBN和△H3BN中，∠HBN＝∠H1BN，BN＝BN1NB，∴△HBN≌△H3BN（ASA），∴HN＝H1N∴點(diǎn)H和H1關(guān)于BC對(duì)稱，∴HD＝H2D，∴OD+DH＝OD+DH1＝OH1．同理，可得：OE+EH＝OH4，OF+FH＝OH3．∵OH1＝OH4＝OH3．∴OD+DH＝OE+EH＝OF+FH．為了證明AD，BE，連接BO，則∠OBD＝∠OCD．根據(jù)圓周角定理，∠BOD＝2∠BAN＝180°﹣5∠ABC，∵在△BOD中，根據(jù)正弦定理得：＝＝，在△COD中，根據(jù)正弦定理得：＝＝．∴＝，即：．同理可得：，．∴＝1．根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得：AD，BE．2．已知：O、I、H為△外心、內(nèi)心、垂心，OI∥BC，證明：AI⊥IH．【解答】證明：如圖，⊙O為△ABC的外接圓，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，IN⊥AB，N、M分別為垂足，連接BD，BI，LC．由垂徑定理可得：ED⊥BC，BK＝KC．又∵IM⊥BC，OI∥BC，∴四邊形OKMI是矩形．由內(nèi)心的性質(zhì)，IM＝IN，∴OK＝IM＝IN．由圓周角定理得：∠EBD＝∠BCL＝∠BAL＝90°．點(diǎn)H為△ABC的垂心，則AH⊥BC．∴OK∥IM∥AH∥LC，AL∥HC，∴四邊形AHCL為平行四邊形，∴AH＝LC．∵OK為△BCL的中位線，∴LC＝AH＝2OK＝2IM＝3IN．在△BDI中，∠DBI＝∠IBM+∠DBC，∠BID＝∠IBN+∠BAI，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，則∠IBM＝∠IBN，由圓周角定理可得：∠DAC＝∠DBC，∴∠DBI＝∠BID，∴BD＝ID．在Rt△DBE和Rt△INA中，由圓周角定理可知：∠E＝∠IAN，∴sinE＝sin∠IAN，即，∴，∴，∴，∵AH∥ED，∴∠IDO＝∠HAI．在△DOI和△AIH中，∠IDO＝∠HAI，，∴△DOI∽△AIH，∴∠AIH＝∠DOI＝90°，∴AI⊥IH．3．如圖，ABCD是圓內(nèi)接四邊形，AC與BD交于點(diǎn)P，連接EP并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，點(diǎn)G，DE的延長(zhǎng)線上，滿足∠EAG＝∠FAD，求證：C，D，G，H四點(diǎn)共圓．【解答】證明：∵四邊形ADCE為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠AEG＝∠ADF，∵∠EAG＝∠FAD，∴△AEG∽△ADF，∴∠G＝∠AFD，∵∠FAD+∠AFC＝180°，∴∠G+AFC＝180°，∴A，F(xiàn)，C，G四點(diǎn)共圓1．∵四邊形EDCB為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠HEB＝∠BCD，∵∠EBH＝∠FBC，∴△BEH∽△BFC，∴∠H＝∠BFC，∵∠BFD+∠BFC＝180°，∴∠H+∠BFD＝180°，∴B，F(xiàn)，D，H四點(diǎn)共圓2．則F是圓O4，圓O2 的一個(gè)公共點(diǎn)，延長(zhǎng)FP1于點(diǎn)K，如圖，∵ABCD是圓內(nèi)接四邊形，AC與BD交于點(diǎn)P，∴PA?PC＝PB?PD，∵PA?PC＝PF?PK，∴PF?PK＝PB?PD，∴點(diǎn)K也在⊙O8上，∵在⊙O1中：EK?EF＝EG?EC，在⊙O2中：EK?EF＝EH?ED，∴EH?ED＝EG?EC，∴．連接GH，∵∠GEH＝∠CED，∴△EGH∽△ECD，∴∠EGH＝∠EDC，∴C，D，G，H四點(diǎn)共圓．4．已知⊙O1和⊙O2外離，PM，PN分別是⊙O1和⊙O2的切線，M，N分別是切點(diǎn)，且PM＝PN．直線MN再次交⊙O1，⊙O2于點(diǎn)A，B．直線PA，PB再次交⊙O1，⊙O2于點(diǎn)C，D．證明：∠BCN＝∠ADM．【解答】證明：連結(jié)CM，如圖，∴PM、PN分別與⊙O1、⊙O2相切，∴PC?PA＝PM2，PN2＝PB?PD，∵PM＝PN，∴PC?PA＝PB?PD．∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠PCB＝∠PDA．∵PN2＝PC?PA，∴，∵∠CPN＝∠NPA，∴△PNC∽△PAN，∴∠PNC＝∠PAN．由弦切角定理知∠PMC＝∠PAM＝∠PAN，∴∠PNC＝∠PMC，∴P、C、M、N四點(diǎn)共圓，∴∠PMB＝∠PMN＝∠PCN．∵PM6＝PB?PD，∴，∵∠MPB＝∠DPB，∴△PBM∽△PMD，∴∠PMB＝∠PDM，∴∠PDM＝∠PCN，∵∠PCB﹣∠PCN＝∠PDA﹣∠PDM，∴∠BCN＝∠ADM．5．設(shè)△ABC是一個(gè)銳角三角形，AD是BC邊上的高，以AD為直徑的圓分別與AC，F(xiàn)．P是△AEF的垂心，O為△ABC的外心，P，O三點(diǎn)共線．【解答】證明：連接并且延長(zhǎng)AP交EF于點(diǎn)H，連接DE，∵P是△AEF的垂心，∴AP⊥EF，∵以AD為直徑的圓分別與AC，AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∴∠AHF＝∠AED＝90°，∠AFE＝∠ADE，∴∠BAP＝90°﹣∠AFE＝90°﹣∠ADE＝∠DAC，作△ABC的外接圓，連接并且延長(zhǎng)AO交△ABC的外接圓