章末核心要點分類整合第二十九章投影與視圖1.投影包括平行投影和中心投影，而平行投影包括正投影.(1)在判斷投影類型時，弄清楚物體與影子上的對應點的連線是平行還是相交；(2)在應用平行投影求物體的高度時，注意在同一時刻物體的高度與影長成正比.2.三視圖名稱概念性質主視圖由幾何體的前方向后進行正投影，在正面投影面上得到的視圖稱為主視圖1.主視圖、左視圖、俯視圖都是幾何體向某個方向的正投影；2.從不同的方向觀察幾何體，得到的三視圖可能是不同的左視圖由幾何體的左側向右進行正投影，在側面投影面上得到的視圖稱為左視圖俯視圖由幾何體的上方向下進行正投影，在水平投影面上得到的視圖稱為俯視圖3.

在畫三視圖時,要求主俯長對正、主左高平齊、俯左寬相等.即：(1)主視圖和俯視圖的長要相等，主視圖和左視圖的高要相等，左視圖和俯視圖的寬要相等；(2)在畫物體的三視圖時，能看到部分的輪廓線畫成實線，存在但看不到部分的輪廓線畫成虛線.專題平行投影1鏈接中考>>平行投影是由平行光線照射所形成的投影.物體在太陽光下形成的影子隨著物體與投影面的位置的改變而改變.同一時刻，不同物體的高度與影子的長度成正比.通常可以利用相似三角形或銳角三角函數的有關知識解決此類問題.例1[中考·蘭州]如圖29－1，在一面與地面垂直的圍墻的同側有一根高10米的旗桿AB和一根高度未知的電線桿CD，它們都與地面垂直，為了測得電線桿的高

度，一個小組的同學進行了如下測量：某一時刻，在太陽光的照射下，旗桿落在圍墻上的影子EF的長為2米，落在地面上的影子BF的長為10米，而電線桿落在圍墻上的影子GH的長為3米，落在地面上的影子DH的長為5米.依據這些數據，該小組的同學計算出了電線桿的高度.解題秘方：太陽光可以看成平行光線，這樣的光線所形成的投影是平行投影.利用平行投影的知識可以計算電線桿的高度.(1)該小組的同學在這里利用的是________投影的有關知識進行計算的；(2)試計算出電線桿的高度，并寫出計算的過程.平行

專題中心投影2鏈接中考>>中心投影是由同一點發出的光線形成的投影.當點光源與所照射物體的相對位置發生變化時，物體的中心投影發生變化.一般情況下，等高的物體垂直于地面放置時，物體與點光源的距離越近，物體的影子就越短，反之就越長.等長的物體平行于地面放置時，物體與點光源的距離越近，物體的影子就越長，反之就越短.中心投影在現實中有很多應用，解決這類問題時，往往要利用相似三角形的知識.[中考·鎮江]某興趣小組開展課外活動，如圖29－2，A，B

兩地相距12m，小明從點A

出發沿AB

方向勻速前進，2s后到達點D，此時他(CD)在某一燈光下的影子為AD，例2繼續按原速行走2

s到達點F，此時他在同一燈光下的影子仍落在其身后，并測得這個影長為1.2m，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2s到達點H，此時他(GH)在同一燈光下的影子為BH(點C，E，G

在一條直線上).(1)請在圖中畫出點光源O的位置，并畫出小明位于點F

時在這個燈光下的影子FM(不寫畫法)；解：如圖29－2，點O，線段FM即為所作.(2)求小明原來的速度.

專題三視圖3鏈接中考>>本專題是中考中的必考內容之一，主要考查能根據視圖描述幾何體的形狀，由實物確定或作出視圖，以及根據三視圖判斷構成幾何體的小立方體的個數等問題,題型多以選擇題、填空題為主，有時也以解答題的形式出現.例3

[中考·瀘州]如圖29－3所示的幾何體中，其三視圖的主視圖和左視圖都為矩形的是()知1－練解：A.主視圖和左視圖都為三角形，不符合題意；B.主視圖和左視圖都為等腰三角形，不符合題意；C.主視圖和左視圖都為矩形，符合題意；D.主視圖是矩形，左視圖是三角形，不符合題意．答案：C[中考·綏化]某幾何體由完全相同的小正方體組合而成，如圖29－4是這個幾何體的三視圖，那么構成這個幾何體的小正方體的個數是()A.5個B.6個C.7個D.8個例4知1－練解：由三視圖易得最底層有3個小正方體，第二層有2個小正方體，那么共有3＋2＝5(個)小正方體．答案：A專題根據三視圖求幾何體的表面積及體積4鏈接中考>>根據三視圖的相關數據求幾何體的表面積、體積，多以填空題或選擇題的形式出現，偶爾也會出現解答題.例5

知1－練解題秘方：先根據三視圖判斷幾何體的形狀，然后根據其尺寸求得其側面積即可．解：由題意可知，這個幾何體是圓柱，側面積是π×10×20＝200π．答案：A專題分類討論思想5專題解讀>>分類討論思想就是依據一定的標準對存在多種情況的問題分情況解決，最后綜合得出結論的思想.分類討論實際上是一個“化整為零”“積零為整”的解題策略.本章中若一個幾何體(由相同的小正方體組成)只給出部分視圖，在判斷小正方體的個數時，由于條件比較寬松，往往需要分類討論.[中考·牡丹江]由5個形狀、大小完全相同的小正方體組合而成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖29－6所示，則搭建該幾何體的方式有()A.1種B.2種C.3種D.4種例6解：由主視圖可知，左側一列最高一層，右側一列最高三層；由左視圖可知，前一排最高三層，后一排最高一層，可知右側一列前一排一定為三層，可得該幾何體俯視圖的可能情況如圖29－7所示.答案：C專題方程思想6專題解讀>>在解決數學問題時，有一種將未知轉化為已知的手段，這就是設元.設元后，尋找已知與未知之間的等量關系,構造方程或方程組，然后求解方程或方程組完成未知向已知的轉化，這種解決問題的思想稱為方程思想.在解決有關平行投影與中心投影的問題時，往往由相似三角形的性質得到一個比例式，利用方程思想求解.如圖29－8，某天晚上，李亮在廣場上乘涼.圖中線段AB表示站立在廣場上的李亮，線段PO表示直立在廣場上的燈桿，點P表示照明燈.例7(1)請你在圖中畫出李亮在照明燈(P)照射下的影子；解題秘方：直接連接點光源和物體頂端，形成的直線與地面的交點即是影子的頂端；解：如圖29－8，線段BC就是李亮在照明燈(P)照射下的影子.(2)如果燈桿高PO＝12m，李亮的身高AB＝1.6m，李亮與燈桿的距離BO＝13m，請求出李亮影子的長度.解題秘方：根據中心投影的特點可知△

CAB∽

△

CPO，利用其性質列方程即可得解.

專題轉化思想7專題解讀>>本章中，對于三視圖可以通過想象形成立體圖形,立體圖形又可以通過三視圖而轉化為平面圖形，實物的投影也是立體圖形與平面圖形的相互轉化，這都體現了轉化思想.[中考·包頭]幾個大小相同的小正方體搭成幾何體的俯視圖如圖29－9所示，圖中小正方形中數字表示對應位置小正方體的個數，則該幾何體的主視圖是(

)例8解題秘方：通過幾何體俯視圖上標注的數字想象該幾何體的形狀，然后確定其主視圖．解：觀察圖形可知，該幾何體的主視圖有3列，從左到右小正方形的個數分別為1，2，2，即．答案：D1.(1)如圖，兩棵樹的影子是在太陽光下形成的還是在燈光下形成的？畫出同一時刻木桿的影子.(用線段表示)類型利用投影的特征作圖1解：如圖，過樹和影子的頂端分別畫兩條光線AA1，BB1.觀察可知，AA1∥BB1，故兩棵樹的影子是在太陽光下形成的.過木桿的頂端C畫AA1(或BB1)的平行線CC1，交地面于點

C1，連接木桿底端點O和點C1，則線段OC1即為同一時刻木桿的影子．(2)[期末·酒泉玉門市]某公司的外墻壁貼的是反光玻璃，晚上兩根木棒的影子如圖(短木棒的影子是玻璃反光形成的)，請確定圖中路燈燈泡所在的位置．解：如圖，點O就是燈泡所在的位置．2.日晷是我國古代較為普遍使用的計時儀器.如圖，日晷的平面是以點O為圓心的圓，線段BC是日晷的底座，點D為日晷與底座的接觸點(即BC與⊙O相切于點D).點A在⊙O上，OA為某一時刻晷針的影長，AO的延長線與⊙

O相交于點E，與BC相交于點B，連接AC，OC，BD＝CD＝30cm，OA⊥AC．類型利用投影解決實際問題2(1)求∠B的度數；解：如圖，連接OD.∵BC

與⊙O相切于點D，∴OD⊥BC.又∵BD＝DC，∴易得OB＝OC，∴∠OCB＝∠B.∵OA⊥AC，OA為半徑，∴CA與⊙O相切于點A，∠BAC＝90°.又∵BC與⊙O相切于點D，∴∠ACB＝2∠BCO.易知∠B＋∠ACB＝90°，∴3∠B＝90°，∴∠B＝30°.(2)連接CE，求CE的長．題型1：判斷幾何體的三視圖3.[中考·威海]下列幾何體都是由四個大小相同的小正方體搭成的.其中主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是()類型幾何體與三視圖3D題型2：利用三視圖確定幾何體的形狀4.[中考·安徽]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為()B題型3：利用三視圖求幾何體的表面積5.如圖是某幾何體的三視圖(單位：mm).(1)請畫出此幾何體；解：如圖．(2)根據此幾何體的三視圖的尺寸，求此幾何體的表面積.題型4：利用三視圖求幾何體的體積6.如圖是一個幾何體的三視圖，求該幾何體的體積(π取3.14).7.[中考·自貢]為測量水平操場上旗桿的高度，九(2)班各學習小組運用了多種測量方法．(1)如圖①，小張在測量時發現，自己在操場上的影長EF恰好等于自己的身高DE．此時，小組同學測得旗桿AB的影長BC為11.3m，據此可得旗桿高度為_______m.類型測量方案中的投影問題411.3(2)如圖②，小李站在操場上E點處，在地面上水平放置鏡面C，并通過鏡面觀測到旗桿頂部A.小組同學測得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到鏡面的水平距離EC＝2m，鏡面到旗桿底端的距離CB＝16m(鏡面大小忽略不計).求旗桿高度.(3)小王所在小組采用圖③的方法測量，結果誤差較大.在更新測量工具、優化測量方法后，測量精度明顯提高.研學旅行時，他們利用自制工具，成功測量了江姐故里廣場雕塑的高度.方法如下：如圖④，在透明的塑料軟管內注入適量的水，利用連通器原理，保持