江蘇省南京市、鹽城市2024屆高三第一次模擬考試數學試題

一、單選題

1.已知全集。與集合a2的關系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為()

A.A^BB.NUa5C.D.3U&/

2.復數z滿足(1-丁2=1+1,(i為虛數單位)，貝曲|

3.等比數列｛%｝的前〃項和為S“，已知$3=出+5%,%=4,則4=()

11?1

A.-B.——C.-D.——

4422

4.德國天文學家約翰尼斯開普勒根據丹麥天文學家第谷布拉赫等人的觀測資料和星表,

通過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律一一

繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長。與公轉周期7有

如下關系：T=-^-a\其中M為太陽質量，G為引力常量.已知火星的公轉周期

yJGM

約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的()

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

5.關于函數/(x)=/sin(0x+e)(A>0,?>0,0<?若)，有下列四個說法：

①/(x)的最大值為3

②/(x)的圖像可由》=3sinx的圖像平移得到

③/(x)的圖像上相鄰兩個對稱中心間的距離為］

?f(x)的圖像關于直線x=f對稱

若有且僅有一個說法是錯誤的，則/()

A.普

6.設。為坐標原點，圓及■：@一1)2+(>-2)2=4與工軸切于點人，直線x-傷+2百=0

試卷第1頁，共4頁

交圓河于3,C兩點，其中B在第二象限，則次.前=()

AV15036「V15「3A/5

4422

7.在棱長為2ag>0)的正方體A8CD-4耳G2中，點”，N分別為棱0G的中

點.已知動點尸在該正方體的表面上，且西.麗=0，則點尸的軌跡長度為()

A.12aB.12兀QC.24。D.24兀。

8.用min{x,y}表示x,了中的最小數.已知函數/(x)=j,則min{〃x)J(x+ln2)}

的最大值為()

A.B.—C.——D.In2

e2e2

二、多選題

9.已知尤jeR,且12、=3,⑵=4，貝1K)

A.y>xB.x+y>l

C.xy<—D.<V2

10.有〃(〃eN*,"N10)個編號分別為1,2,3,〃的盒子，1號盒子中有2個

白球和1個黑球，其余盒子中均有1個白球和1個黑球.現從1號盒子任取一球放入2

號盒子；再從2號盒子任取一球放入3號盒子；…；以此類推，記“從i號盒子取出的球

是白球”為事件43=1，2,3,〃),則()

14

A.尸(44)=§B-尸(4=w

71

c.尸(4+4)=§D.P(4)=5

11.已知拋物線￡：f=4y的焦點為凡過尸的直線4交￡于點/(%,必)，B(x2,y2),

E在8處的切線為4,過/作與4平行的直線4,交E于另一點。(尤3，%)，記4與V軸

的交點為。，貝U()

A.yxy2=1B.x{+x3=3x2

C.AF=DFD."BC面積的最小值為16

三、填空題

12.展開式的常數項為

試卷第2頁，共4頁

22

13.設雙曲線C：\-4=l(a>0,6>0)的一個焦點為凡過?作一條漸近線的垂線,

ab

垂足為瓦若線段骸的中點在。上，則。的離心率為.

14.已知a,/?^［。為)且sina-sin/?=-g,cosa-cos/?=；,貝|

tani+tan/?=.

四、解答題

15.在“SC中,sin(5-4)+行sin4=sinC.

⑴求5的大小；

____JT

(2)延長8c至點使得2就=心祝.^ZCAM=-,求/A4c的大小.

16.如圖，己知四棱臺/BCD-44GA的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形,

平面44QQ1平面/BCD,//=2。=而，點尸是棱。A的中點，點。在棱3c

上.

(1)若BQ=30C,證明：尸。〃平面44；

(2)若二面角尸的正弦值為餐，求3。的長.

17.已知某種機器的電源電壓。(單位V)服從正態分布N(220,202).其電壓通常有

3種狀態：①不超過200V；②在200V?240V之間③超過240V.在上述三種狀態下,

該機器生產的零件為不合格品的概率分別為0.15,0.05,0.2.

(1)求該機器生產的零件為不合格品的概率；

⑵從該機器生產的零件中隨機抽取〃(?>2)件，記其中恰有2件不合格品的概率為

P,,,求P?取得最大值時"的值.

附：若Z?耳〃,〃)，取P(//-cr<Z<〃+cr)=0.68,P(〃-2<T<Z<〃+2CF)=0.95.

22

18.已知橢圓C：?+方=l(a>6>0)的右焦點為尸(1,0),右頂點為/,直線/：I

試卷第3頁，共4頁

與x軸交于點M,且|/叫=4/刊

(1)求C的方程；

(2)3為/上的動點，過8作C的兩條切線，分別交y軸于點P,Q,

①證明：直線2尸，BF,30的斜率成等差數列；

②ON經過8,P,0三點，是否存在點8,使得，NPNQ=9Q°?若存在，求忸叫；若

不存在，請說明理由.

19.已知。>0,函數〃x)=axsinx+cosox-l,0<x<：.

⑴若“=2,證明：/(x)>0;

(2)若/(x)>0,求。的取值范圍；

(3)設集合P={a?\an=￡cos西臺u，〃eN*},對于正整數加，集合2K={x\m<x<1m},

記尸CO”,中元素的個數為超，求數列{九}的通項公式.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【分析】

利用韋恩圖表示的集合運算，直接寫出結果即可.

【詳解】

觀察韋恩圖知，陰影部分在集合/中，不在集合8中，所以所求集合為

故選：A

2.C

【分析】

根據復數的運算求出復數z,再求模長即可求解.

【詳解】

1+i1+i（l+i）i11.

由己知得：2=百=五=二^=一］+9，

所以，回=j（一；y+（；）2=日.

故選：C.

3.A

【分析】

把等比數列｛%｝各項用基本量％和9表示，根據已知條件列方程即可求解.

【詳解】

設等比數列｛%｝的公比為/

由邑=。2+5%,得：％+%+%=。2+5%,

2

即：a3-4%=axq,

所以，［2=4,

又。5=4,所以，=%(02)2=%x42=4,

所以，

故選：A.

4.B

答案第1頁，共20頁

【分析】

根據已知的公式，由周期的倍數關系求出長半軸長的倍數關系即可.

【詳解】

設火星的公轉周期為長半軸長為弓，火星的公轉周期為（，長半軸長為出，

2%3

4=碎①

4GM

則，1=8＜，且

3

2%加②

4GM

SW：/管=8,

所以，：=4,即：％=4電.

故選：B.

5.D

【分析】

根據題意，由條件可得②和③相互矛盾，然后分別驗證①②④成立時與①③④成立時的

結論，即可得到結果.

【詳解】

TTTOjr

說法②可得0=1,說法③可得彳=G，則T=兀=一，則0=2,②和③相互矛盾;

22coJ一

jrjr

當①②④成立時，由題意4=3,co=\,—+(p=2kn+—,keZ.

因為9”,]Tl71

,故左=0,0=:，即/(%)=3sinx+—

6

/jrjr

說法①③④成立時，由題意4=3,3=2,(p-2kji+—,kEZJ,

9=2左)一.任(0,|^,故不合題意.

故選：D.

6.D

【分析】

先根據圓的弦長公式求出線段的長度，再求出直線x-回+26=0的傾斜角，即可求

得刀與死的的夾角，進而可得出答案.

答案第2頁，共20頁

【詳解】

由題意」(1,0),圓心

河(1,2)至I］直線》一回；+2百=0距離為，

所以叱=2/_：=病,

直線工-?了+2?=0的斜率為出,則其傾斜角為

36

則近與前的的夾角為?，

6

所以刀.灰？=|方卜前jcosE,灰？=lxjf?xg=竽.

故選：D.

7.B

【分析】根據條件得到尸點軌跡為以"N為直徑的球，進而得出點尸的軌跡是六個半徑為。

的圓，即可求出結果.

【詳解】因為兩?麗=0,故P點軌跡為以"N為直徑的球，

如圖，易知MN中點即為正方體中心。，球心在每個面上的射影為面的中心，

設。在底面/BCD上的射影為0,又正方體的棱長為2a,所以MN=2亞a，

易知。。1="，0}M=a,又動點尸在正方體的表面上運動,

所以點P的軌跡是六個半徑為。的圓，軌跡長度為6*2私=12兀°,

8.C

答案第3頁，共20頁

【分析】

利用導數研究〃x)=?的單調性，作出其圖象，根據圖象平移作出y=/(x+ln2)的圖象,

數形結合即可得到答案.

【詳解】???/(加十，.."(x)=(，

根據導數易知/(x)在(-雙1)上單調遞增，在(1,+“)上單調遞減；

由題意令/(x)=/(x+ln2),即己普，解得x=ln2；

則min{/(x),/(x+ln2)}的最大值為兩函數圖象交點處函數值，為殍.

故選：C.

9.ACD

【分析】

用對數表示x,小利用對數函數的性質、對數的計算、基本不等式等即可逐項計算得到答

案.

【詳解】

,??12'=3,.0=1。8123,同理y=log124,

,.j=logi2X在x>0時遞增，故N>x,故A正確；

?.?x+y=log]212=l,錯誤；

1?1x>0,y>0,；.=',當且僅當x=V時等號成立，而x<y,故孫<},

正確；

+6)=x+y+2y[xy=1+2y[xy<2,即人<四,'D正確.

故選：ACD.

10.BC

答案第4頁，共20頁

【分析】

根據題意，由概率的公式即可判斷AC,由條件概率的公式即可判斷B,由p（4）與尸（4_J

的關系，即可得到尸（4）=；［l+g］，從而判斷D

【詳解】

對A,P（44）=f7xj?=^4所以A錯誤；

,、22115z、尸（44）4

對B,P（4）=fx|+ixi="故P（//4）=+所以B正確；

2547

對C,P（Al+A2）=P（Al）+P（A2）-P（AlA2）=-+---=-,所以C正確；

對D,由題意:尸（4）=*（4T）+；［I-尸（&）］，所以尸（4）-；=!尸（4-）—，

「（4）=|，p（4）-|=|-rr所以尸⑷-9：、出"=">

所以尸（4）=；1i+g］，

則P（&））=；11+JJ，所以D錯誤.

故選：BC.

11.ACD

【分析】

A選項，求出焦點坐標與準線方程，設直線4的方程為>=6+1,聯立拋物線方程，得到兩

根之積，從而求出M%=1；B選項，求導，得到切線方程，聯立拋物線方程，得到

再+$=2xz；C選項,求出。（0,必+2）,。下|=%+1,結合焦半徑公式求出|/下|=弘+1,C

正確；D選項，作出輔助線，結合B選項，得到S/BC=2S〃BM，表達出S△皿，利用基本

不等式求出最小值，從而得到。8C面積最小值.

【詳解】

A選項，由題意得尸（0」），準線方程為了=-1,

直線4的斜率存在，故設直線4的方程為y=b+l,

聯立x2=4y,得/一414=0,xtx2=-4,故%％=4x；x；=l,A正確；

答案第5頁，共20頁

B選項，/=gx,直線4的斜率為;馬，故直線4的方程為Pf=￡（x-xJ,

即夕=三工+弘+2,聯立/=4了，得/-2尤2x-2（H+2）=0,故網+毛=2工2，

所以B錯誤；

C選項，由直線。的方程令x=0得了=/（一玉）+乂，

又再迎=一4,所以了=必+2,

故仇0,%+2）,故口口|=M+1,

又由焦半徑公式得|/尸|=必+1,所以C正確；

D選項，不妨設再＜/，過8向4作垂線交4于M，

根據B選項知，再+七=2X2,

故S.ABC=2sAABM,

根據直線4的方程y-必=字（》-西），

22

x+

當工二12時，y=-Y（^2~dy[=￡+y一手_二5~+必+2，

故M（工2，1+凹+2,

x2再2x2空+2」1+?

故忸MJ71+2-%=22

TH44x：4(xj

1(44丫

］士+二|-|^+―

再X"

當且僅當X|=一,即再=2時，等號成立,

再

答案第6頁，共20頁

故AABC的面積最小值為16,D正確.

故選：ACD

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

(1)幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決

(2)代數法，若題目的條件和結論能體現某種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，

再求這個函數的最值或范圍.

12.15

【分析】

利用二項式的展開式通項公式求解.

【詳解】展開式的通項公式為加=或針[-5：=(-1)?4匕

令6-3左=0,解得左=2,

所以常數項為“=屋=15,

故答案為：15.

13.V2

【分析】

由直線E尸與漸近線方程聯立求出E的坐標，代入雙曲線標準方程即可求出離心率.

【詳解】

b

)=一"'2h

直線即與漸近線方程聯立得a解得乙=幺，yE=—,

a(\cc

y=--^-c),

,.S一一、r(/+。2Clb]

??,EF中點M的坐標為——,

I2c2c)

又M點在雙曲線上，代入其標準方程，得()+一)工=i，

4a2c24c2

化簡得c2=2a2,：.e1=2,e-V2.

故答案為：V2.

14.52

33

【分析】

答案第7頁，共20頁

IT

變形后得到sina+cosa=sin/?+cosp,利用輔助角公式得到a+尸="得到

13、

sina-cosa,兩邊平方后得到sinacosa=^,利用同角三角函數關系求出

28

c18

tan+tan/>=--------------=—.

sinacosa3

【詳解】

由題可知sincr-sin/?=-cosa+cos4,所以sina+coscr=sin/?+cos/7,

所以也5由（二+：）=行51111/7+：）,

因為所以a+*"!，/?+'eg,力

-r—?cLLtvt兀C兀I?c兀

又aw尸，所以。+:+尸+：=兀，故&+/?=「，

442

所以sina—sin夕=sina-cos6if=-—,

一’13

兩邊平方后得sin2a-2sinacosa+cos2a=—,故sinacosa=一,

48

八1sin。cosa18

tana+tan//=tana+-------=---------1--------=--------------=—.

tanacosasinasinacosa3

o

故答案為：—

71

15.⑴8=“

（2）NB/C=2或2.

71212

【分析】（1）由sinC=sin（/+8）,代入已知等式中，利用兩角和與差的正弦公式化簡得

cos5=——，可得5的大小；

2

（2）設BC=x,/BAC=e,在和△4CM中，由正弦定理表示邊角關系，化簡求

NA4。的大小.

【詳解】（1）在A^8C中，A+B+C=TI,所以sinC=sin（Z+5）.

因為sin（5-/）+亞sinZ=sinC,所以sin（5-/）+V^sin/=sin（4+8）,

BPsinBcosA-cos5sin/+/sinZ=sinBcosA+cosBsinA

化簡得J^sin/=2cosBsin/.

因為/￡（。,兀），所以sin/lwO,cosB=.

答案第8頁，共20頁

TT

因為0<8<兀，所以8=—.

4

⑵法1：設5C=x,ABAC=0,貝ljCM=2x.

Ji

由(1)知5=—,又/CAM=—,所以在中，Z.AMC=--6.

442

4C

BCAC

在。5c中，由正弦定理得，即sin3sin工①，

sinABACsin5

2x

CMAC

在△/CM中，由正弦定理得，lPsin-

sinZCAMsinM

4

V2

①+②，得2,即2sin6cose=:，所以sin26=2.

zsinU7222

因為6/0,當，2ejo,汩，所以20=2或與，故6*或泮

V4766"12

法2：設8C=x,則CM=2x,BM=3x.

所以所因此含=黑

所以4/2=9,CN=6X2,AM=46X.

3x_V6x

BMAM

在△力?河中，由正弦定理得即sinZR4M-V2，

sinZBAMsin5

V

化簡得sin/AW=@.

2

因為也］,所以48/〃=巴或四,ABAC=ABAM--,

k4J334

故4/C=A或3

16.(1)證明見解析;

(2)1.

【分析】

答案第9頁，共20頁

(1)取441的中點初，先證明四邊形"I"。是平行四邊形得到線線平行，再由線面平行性

質定理可得；

(2)法一：應用面面垂直性質定理得到線面垂直，建立空間直角坐標系，再利用共線條件

設西=X而(0<2<1),利用向量加減法幾何意義表示所需向量的坐標，再由法向量方法

表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空間直角坐標系后，直接設點。坐標

0(4,Z,O)(-l<f<3),進而表示所需向量坐標求解兩平面的法向量及夾角，建立方程求解入

法三：一作二證三求，設80=M()4X44),利用面面垂直性質定理，作輔助線作角，先證

明所作角即為二面角的平面角，再利用已知條件解三角形建立方程求解可得.

【詳解】(1)證明：取441的中點/，連接MP,MB.

在四棱臺/geo-44GA中，四邊形是梯形，44=2,AD=4,

AD-L-AD

又點M,尸分別是棱9。的中點，所以且曾=4；=3.

在正方形/3CD中，BC//AD,8c=4,又BQ=3QC,所以8。=3.

從而M尸〃50且〃尸=20,所以四邊形2Mp。是平行四邊形，所以尸。〃M3.

又因為Affiu平面耳4，尸。U平面所以尸。〃平面48耳4；

(2)在平面44a。中，作4。，40于。.

因為平面44。。，平面48CD,平面44QOc平面48cz>=4D,Afi±AD,/Qu平面

AAXD｛D,

所以4。，平面/BCD.

在正方形4BCD中，過。作N2的平行線交2。于點N,則CW_L0D.

以｛麗，礪，兩｝為正交基底，建立空間直角坐標系。-孫z.

答案第10頁，共20頁

因為四邊形44。。是等腰梯形，44=2,34,所以/。=1,又4/=。。=而，所

以40=4.

易得2（4,-1,0）,Z＞（0,3,0）,C（4,3,0）,A（0,2,4）,Plo,|,2j,所以皮=（4,0,0）,

法1：設函=4怎=（0,-4/1,0）（04241）,所以殖=皮+西=（4,一440）.

m-DP=0—y+2z—0/、

設平面PD0的法向量為玩=（x,y,z）,由＜，得2尸，取應=（4彳,4,1）,

m?DO=04x-4Ay=0

另取平面DCQ的一個法向量為反=（0,0,1）.

設二面角尸-0D-C的平面角為仇由題意得|cosq=Jl-sin26=與.

，26

\m'n\11_1

又|cosq=|cosm,H|=

阿,同7（42）2+17’所以而莎7二忘'

33

解得4=±二（舍負），因止匕CQ=：x4=3,BQ=\.

44

所以當二面角尸-紗-C的正弦值為旭時，20的長為1.

26

法2：設。（4/⑼（―1?區3）,所以而=（4,"3,0）.

「一[1

/、m?DP=0—y+2z=0

設平面PD0的法向量為玩=（x,y,z）,由＜_.，得|2，，取

[m-DQ=0[4x+?-3）y=0

=（3-Z,4,l）,

另取平面DCQ的一個法向量為方=（0,0,1）.

設二面角尸-0D-C的平面角為仇由題意得|cos《=a-sin?6=￡

726

答案第11頁，共20頁

又必砰…,小品;而入,所以;F二二看'

解得:0或6（舍），因此8。=1.

所以當二面角尸-8-C的正弦值為阻時，8。的長為1.

法3：在平面4/0。中，作PH_L4D,垂足為

因為平面440,，平面48CD,平面44DAPI平面/8CZ）=Z。，PH1AD,PHu平面

A]ADD],

所以尸HL平面/BCQ,又。。u平面/BCQ,所以尸H，。。.

在平面N8CD中，作垂足為G,連接尸G.

因為尸HG±DQ,PHCHG=H,PH,HGu平面P〃G,

所以。01平面尸HG,又尸Gu平面尸HG,所以。。，尸G.

因為〃G，。。，PG1DQ,所以/PG〃是二面角「一。。一/的平面角.

在四棱臺/BCD-44aA中，四邊形4〃。。是梯形，

44=2，AD=4,4/=DQ=&7,點P是棱的中點，

所以尸〃=2,DH=g.

設也=x（OVx<4）,則C0=4-x,吟臚+依-4=6-8x+32,

在中，一X—X4=—X7X^8^+32X//G,從而HG=r.

、222VX2-8X+32

因為二面角尸-QD-C的平面角與二面角P-0。-/的平面角互補，

且二面角P-QD-C的正弦值為空1,所以sinNPGH=二羽，從而tan/PG〃=5.

2626

所以在Rt^PHG中，駕=6-8x+32=5,解得尤=1或x=7（舍）.

HCJ

答案第12頁，共20頁

所以當二面角尸-紗-C的正弦值為%區時，30的長為1.

26

17.(1)0.09；

⑵〃=22.

【分析】

(1)根據題意，由正態分布的概率公式代入計算，再由全概率公式，即可得到結果；

(2)根據題意，由二項分布的概率公式代入計算，即可得到結果.

【詳解】(1)記電壓“不超過200V”、“在200V?240V之間”、“超過240V”分別為事件B,

C,“該機器生產的零件為不合格品”為事件。.

因為。?N(220,206所以尸(/)二尸(UW20O)=l_P(〃一+

P(B)=尸(200<U<240)=尸(〃一b<Z<〃+b)=0.68,

P(C)=P(U>240)=——上------------I=—產=0.16.

所以尸(。)=尸⑷尸⑷4)+尸⑻尸(。5)+P(C)尸(。C)

=0.16x0.15+0.68x0.05+0.16x0.2=0.09,

所以該機器生產的零件為不合格品的概率為0.09.

(2)從該機器生產的零件中隨機抽取〃件，設不合格品件數為X,則X?8(”,0.09),

所以p,=P（X=2）=C>0.91"-4-0.092.

解得24〃<與-.

所以當2V時，pn<p?+l；

當"222時,pn>pn+i；所以。22最大.

因此當〃=22時，p”最大.

22

18.⑴土+匕=1

43

(2)①證明見解析；②存在，|W|=V7

【分析】

答案第13頁，共20頁

(1)先求出右頂點。和"的坐標，利用題中條件列等式，分類討論計算得出橢圓的方程;

(2)設直線的方程為y—=Mx-4),將直線方程與橢圓方程聯立，得出韋達定理，由題意,

將韋達定理代入可出答案.

【詳解】⑴由右焦點為尸(1,0),得C=l,

因為|4四|=4/尸|,所以|4-4="0-1),

若貝l]a-4=a("l),得/_24+4=0,無解，

若。＜4,則4一。=。(°-1),得/=4,所以〃=3,因此。的方程[+:=1.

(2)設8(4,。，易知過8且與C相切的直線斜率存在，

設為了—=碎-4),

y-t=后(工一4)

聯立,消去〉得(3+4/卜2+8左?-4左)x+4?-4左丫-12=0,

143

由A=6僅2“-砌2-4(3+僅2)&?_44-12]=0,得12f-8%+/_3=0,

設兩條切線8P，80的斜率分別為左，k2,則左+內==彳，klk2=^.

12312

①設BF的斜率為k3,則左3=；1=；，

2/

因為占+L=W=2/，所以5PBF,5。的斜率成等差數列，

W②法1：在y_[=,(K-4)中,令x=0,得力=t-4左—所以尸(0,4左),

同理，得0(0,-4切,所以尸0的中垂線為y=f—2&+占),

易得8P中點為(2,"2幻，所以2P的中垂線為y=-；(x-2)+f-2勺，

答案第14頁，共20頁

V=%—2（左+1左2）

聯立_"上，_。沙，解得N（2上店+2,/-2（左+七））,

）—（X/J十IK]

IK

所以標=（一2%肉_22k2_2勺），NQ=（一2勺右一22k「2kJ,

要使標屣=0,即4（桃2+1）2-4（勺-e）2=0,整理得|桃2+1|=歸-目，

所以;^+1=號"解得/=7，/=±5，因此忸叫=療,

故存在符合題意的點3,使得標?而=0,此時忸叫=療.

法2：在yT±%（x—4）中,令x=0,得力=7-4%,因此尸（0J-4%）,

同理可得。（0J-4田，所以尸0的中垂線為了="2（尢+心），

因為95中點為（2,"2左），所以2P的中垂線為y=-；（x-2）+f-2勺,

y=t-2(kx+k2)

聯立,1,小,，，解得知=2先4+2,

y=-----{x-2)+t-2k

[kix^

要使麗?而=0,則/PN0=g,所以風卜幽，即|2岫+2|=2歸-周,

22

所以；^+1="^，解得/=7，/=土療，因此忸閭=療,

故存在符合題意的點8,使得標?而=o,此時忸M|=V7.

答案第15頁，共20頁

法3：要使NPNQ=90。，即/尸8。=45。或135。,

左一左2|二］

從而『的/尸=1,又tanNPBQ=所以

1+左］&1+桃2|

所以與￡=1+彳解得『=7，/=土不，所以忸叫=后,

故存在符合題意的點3,使得而?而=0,此時忸叫=近.

法4：要使NPNO=90。，即/尸8。=45。或135。,

BPBQ

從而|cosNP8Q|V2

BP\-\BQ2

在y_（=《（x_4）中，令x=0,得力=（_4左，故尸（0,7_4左）,

同理可得。（0J-4冬）,

因此麗=（一4,一4勺），皿=（一4,-4僅），

JPJQ_16+16^2_V2

所以回@=4而奸-4曲F=W'

故（1+k、k、）=Jl+k；k：+k；+k￡,即2+2k；后+4左色=1+左［傳+k;+k：,

整理得將代+6派2+1=（K+初2，

答案第16頁，共20頁

所以+6,1F+I=（f））整理得〃+2/-63=0,解得"=7或一9（舍去）,

因此r=±J7,忸M|=J7,

故存在符合題意的點3,使得標?而=0,此時忸叫=療.

在）_/=左（尤一4）中，令x=0,得力=/-4左],故P（O/—%）,

同理可得。（0,”能），

由等面積法得瓦|=之9/研.做卜?，

即"缺一4局?4=；?4而行.4y/l+k1■乎，整理得化+初2=k/+6k芯+1,

所以（,：=[+6.23+晨整理得〃+2/-63=0,解得r=7或-9（舍去），

因此/=±5，忸叫=J7,

故存在符合題意的點3,使得而?而=0,此時忸叫=療.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設直線方程，設交點坐標為（七,必）,（孫力）；

（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于x（或了）的一元二次方程，注意△的判斷;

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關系轉化為項+%、為尤2（或“+%、乂%）的形式;

（5）代入韋達定理求解.

19.（1）證明見解析;

⑵（0,2];

答案第17頁，共20頁

(3)bm=m.

【分析】

(1)通過構造函數，利用導數判斷函數單調性，求最小值即可證明；

(2)對。的值分類討論，利用導數判斷函數單調性，求最小值，判斷能否滿足/(x)>0；

(3)利用(1)中結論，++通過放縮并用裂項相消法求

弋71-1S兀

>COS——-----,有〃-COS——7-----<?,可得8=m

臺2M左+1)'e￡2左化+1)，J何加.

[詳解】(1)因為Q=2,所以/(x)=2xsinx+cos2x—l=2(x—sinx)sinx,

兀

0<x<—,2sinx>0.

4

設g(x)=x-sinx,0<xv：,

則g<x)=1-cosx>0,所以g(x)在上單調遞增，

所以g(x)>g(O)=O,

因此〃x)>0.

(2)函數/(x)=axsinx+cosax-l,0<x<^,

方法一：

/'(%)=a(sinx+xcosx-sin(7x),

當0<QK2時，

71

注意到0<oxW2X<—,故sin辦<sin2x,

2

因止匕/'(%)2。(sinx+xcosx-sin2x)=a[sirtr(1-cosx)+(x—sinx)cosx],

由(1)得x-sinx>0,因止匕

所以/(X)在(o,[上單調遞增，從而〃x)>〃o)=o,滿足題意；

當a>2時，令〃(%)=/<x)=a(sinjr+xcosx-sinax),

=a(2cosx-xsinx-acosax)<a(2-acosax)=a11--cosax|,

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因為0<2<1,所以存在aee(0，M，使得cosaO=2,

a<2ja

則當xe(0,6)時，axG(Q,a0),”(x)</仔