PAGE2第三章多維隨機(jī)變量及其分布一、基本內(nèi)容與公式1.二維隨機(jī)變量的概念設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為,而是定義在上的兩個(gè)隨機(jī)變量,稱為定義在上的二維隨機(jī)變量。2.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)是二維隨機(jī)變量,對(duì)任意實(shí)數(shù),二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)或稱為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù).3.聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì):且對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的關(guān)于和均為單調(diào)非減函數(shù),即對(duì)任意固定的當(dāng)對(duì)任意固定的當(dāng)關(guān)于和均為右連續(xù),即4.二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布若二維隨機(jī)變量只取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值,稱為二維離散型隨機(jī)變量.為二維離散型隨機(jī)變量當(dāng)且僅當(dāng)均為離散型隨機(jī)變量.二維離散型隨機(jī)變量的概率分布(分布律),其中滿足：1）；2）二維離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)6.二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度。7.概率密度函數(shù)的性質(zhì)落入內(nèi)的概率為8.邊緣分布函數(shù)關(guān)于的邊緣分布函數(shù)：關(guān)于的邊緣分布函數(shù)：9.離散型隨機(jī)變量的邊緣分布關(guān)于的邊緣分布律：關(guān)于的邊緣分布律：關(guān)于的邊緣分布函數(shù)：關(guān)于的邊緣分布函數(shù)：10.連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布關(guān)于的邊緣分布密度：關(guān)于的邊緣分布密度：關(guān)于的邊緣分布函數(shù):關(guān)于的邊緣分布函數(shù):11.幾個(gè)常用二維隨機(jī)變量的分布二維均勻分布：在上服從均勻分布，的面積為.其概率密度二維正態(tài)分布服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布，其概率密度為：其中均為常數(shù),且.注：二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布。隨機(jī)變量的獨(dú)立性離散型：對(duì)一切均成立：連續(xù)型：對(duì)一切均成立：13.兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的和分布：離散型：當(dāng)獨(dú)立，的概率分布為：設(shè)，則；設(shè)，則連續(xù)型：當(dāng)獨(dú)立，有設(shè)，則二、教學(xué)基本要求1．理解二元隨機(jī)變量的含義及其實(shí)際意義。2．熟悉二元隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義和性質(zhì)。3．熟悉二元離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的定義和性質(zhì)。4．會(huì)求二元離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布。5．熟悉二元連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的定義和性質(zhì)。6．理解二元隨機(jī)變量的邊緣分布的含義。7．會(huì)求二元離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率分布和邊緣密度函數(shù)。8．了解二元均勻分布和二元正態(tài)分布。9．理解兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義及判斷方法，會(huì)利用隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性求二元隨機(jī)變量的概率分布或概率密度。10．會(huì)求兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量的和分布。教學(xué)重點(diǎn)：兩元隨機(jī)變量的聯(lián)合分布和邊緣分布；隨機(jī)變量落在區(qū)域內(nèi)概率的計(jì)算。兩元隨機(jī)變量獨(dú)立的條件；兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量和分布及最大最小分布。教學(xué)難點(diǎn)：兩元連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布及邊緣分布。三、典型例題分析例1設(shè)隨機(jī)變量在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量在1~中等可能地取一整數(shù)值，試求的聯(lián)合概率分布律和邊緣分布。解：顯然，可能取值為：0，1，2，3；的可能取值為：0，1，2，3；但只可取（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）這十組數(shù)，所以根據(jù)概率乘法和古典概率計(jì)算公式可得，；；；；；；；；于是，的聯(lián)合分布為：012300001002031邊緣分布為：01230123例2把三個(gè)相同的球等可能地放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，記落入第一號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為，落入第二號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為，試求隨機(jī)變量的概率分布和邊緣分布。解：顯然的可能取值為：０，１，２，３；同樣的可能取值為：０，１，２，３；于是，由概率乘法公式得：；；；；；；，于是012301020030001例3設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為YX010.30.10.110.050.2020.200.05求：及解：＝＋＋＋０＝。。例4設(shè)有二元實(shí)變量函數(shù)，問(wèn)它是否可成為某二元隨機(jī)變量的分布函數(shù)？解：一個(gè)二元函數(shù)要成為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)必須滿足分布函數(shù)的性質(zhì)。若我們?cè)谄矫嫔先∷狞c(diǎn)：，有所以不可能是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)。例5設(shè)隨機(jī)變量等可能的取值（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），求的聯(lián)合分布函數(shù)。0101解：1）顯然，當(dāng)或，有；2）；3）；4）；5）于是所求的分布函數(shù)為：例6設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為(1)試確定常數(shù)；(2)的聯(lián)合分布密度；（3）邊緣分布密度；（4）求。解：（1）由聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)，；；；由于，故意解得：；再由。所以，分布函數(shù)。（2）聯(lián)合密度函數(shù)為：。（3）邊緣密度函數(shù),,(4).例7求常數(shù)A；（2）求聯(lián)合分布函數(shù)；（3）求邊緣密度；并問(wèn)是否獨(dú)立？（4）求；（5）求。解：（1）由于，得。（2）當(dāng)或時(shí)，因?yàn)椋裕．?dāng)時(shí)，；所以，。（3）邊緣密度函數(shù)為：；；由于，所以獨(dú)立。（4）。（5）。例8二元隨機(jī)變量若在矩形區(qū)域內(nèi)的任一點(diǎn)有相同的分布密度，即分布密度在此區(qū)域上為常量。求（1）聯(lián)合分布密度；（2）判斷隨機(jī)變量是否獨(dú)立？（3）求聯(lián)合分布函數(shù)。解：（1）由題意，在矩形區(qū)域上分布密度為，由概率密度的性質(zhì)，得，所以，。當(dāng)時(shí)，有；；于是，的邊緣密度函數(shù)為由于，所以獨(dú)立。分布函數(shù)，將整個(gè)平面分成五個(gè)區(qū)域來(lái)計(jì)算。區(qū)域1：或，此時(shí)，所以；區(qū)域2：時(shí)，此時(shí)；區(qū)域3：時(shí)，此時(shí)有；區(qū)域4：時(shí)，此時(shí)有；區(qū)域5：時(shí)，此時(shí)有。綜上所述，得的聯(lián)合密度函數(shù)為。例9以分別表示二個(gè)電子元件的壽命，設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，試求從開(kāi)始使用起，在200小時(shí)內(nèi)，以下事件的概率：僅第一個(gè)電子元件壞掉；（2）2個(gè)電子元件壞；（3）至少有一個(gè)電子元件壞；（4）至多有一個(gè)電子元件壞。解：（1）僅第一個(gè)電子元件壞可表示為：，于是。（2）2個(gè)電子元件壞可表示為：，于是。（3）至少有一個(gè)電子元件壞可表示為：或，于是。（4）至多有一個(gè)電子元件壞可表示為：，于是。例10設(shè)隨機(jī)變量和具有聯(lián)合概率密度，求邊緣概率密度.解：；。說(shuō)明：二維均勻分布的邊緣分布密度不再是均勻分布。例11設(shè)隨機(jī)變量和的概率密度為。問(wèn)和是否獨(dú)立？解：由聯(lián)合分布知，其邊緣分布為：；由于，于是，和不獨(dú)立。例12設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且分別具有下列概率分布：，求隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律。解：因?yàn)楹拖嗷オ?dú)立，于是,由得:013例13設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且都在上服從均勻分布，試求二次方程有實(shí)根的概率。解：因?yàn)閄和Y服從均勻分布，所以它們的分布密度函數(shù)分別為：由于它們相互獨(dú)立，所以X和Y的聯(lián)合分布為：；又因?yàn)槎畏匠逃袑?shí)根的條件為，所以方程有實(shí)根的概率為：。例14設(shè)同時(shí)獨(dú)立地?cái)S一枚硬幣和一顆骰子兩次，用X表示兩次中硬幣出現(xiàn)的正面的次數(shù)，Y表示兩次中骰子點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4的次數(shù)。試求X，Y的聯(lián)合概率分布，并求：（1）Z=X+Y；（2）Max(X,Y)；（3）Min(X,Y)；*（4）ln(1+XY).解：由題意，X和Y相互獨(dú)立，且都服從B（2，p）分布。故有于是它們的聯(lián)合分布為：Y012012(X,Y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)X+Y012123234Max(X,Y)012112222Min(X,Y)000011012ln(1+XY)0000ln2ln30ln3ln5P所以，（1）Z=X+Y的概率分布為：Z=X+Y01234P（2）Z=Max(X,Y)的概率分布