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專題04三角形全等的常見輔助線

1)全等中常見輔助線總結

方法1截長補短法(往往需證2次全等)

截長補短法使用范圍:線段和差的證明

(1)截長:在較長線段上截取一段等于某一短線段,再證剩下的那一段等于另一短線段。

例:如圖,求證

方法:①在4D上取一點尸,使得證

②在ND上取一點F,DF=DC,AF=BE

(2)補短:將短線段延長,證與長線段相等

例:如圖,求證3E+DC=4D

方法:①延長DC至點M處,使CM=BE,證。助=/。;

②延長。。至點M處,使DMD,證

(3)旋轉:將包含一條短邊的圖形旋轉,使兩短邊構成一條邊,證與長邊相等。

注:旋轉需要特定條件(兩個圖形的短邊共線)

例:如圖,已知4B=/C,ZABM=ZCAN=90°,求證3M+CN—W

方法:旋轉A4BM至AACF處,誣NE=MN

1.(2021?湖北八年級期末)如圖,ZUBC中,/B=2NA,N/C3的平分線CD交N5于點。,已知NC=16,

BC=9,則BD的長為()

c

A.6B.7C.8D.9

2.(2022?四川南充?八年級期末)(1)閱讀理解:問題:如圖1,在四邊形48C。中,對角線5。平分/48C,

ZA+ZC=180°.求證:DA=DC.

思考:“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題.

方法1:在2C上截取8M=A4,連接DM,得到全等三角形,進而解決問題;

方法2:延長8/到點N,使得BN=BC,連接。N,得到全等三角形,進而解決問題.

結合圖1,在方法1和方法2中住造7種,添加輔助線并完成證明.

(2)問題解決:如圖2,在(1)的條件下,連接/C,當/為。=60。時,探究線段BC,8。之間

的數量關系,并說明理由;

(3)問題拓展:如圖3,在四邊形/BCD中,乙4+/C=180。,DA=DC,過點。作。垂足為點

E,請直接寫出線段/8、CE、8c之間的數量關系.

3.(2021?湖北)如圖,4ABC為等邊三角形,直線/經過點C,在/上位于C點右側的點D滿足/BDC=

60°.(1)如圖1,在/上位于C點左側取一點E,使/AEC=60°,求證:△AECgACDB;

(2)如圖2,點F、G在直線/上,連AF,在/上方作/AFH=120°,且AF=HF,ZHGF=120。,求證:

HG+BD=CF;(3)在(2)的條件下,當A、B位于直線/兩側,其余條件不變時(如圖3),線段HG、

CF、BD的數量關系為______________________.

4.(2021?四川東辰國際學校八年級期末)已知在四邊形ABCD中,ZABC+ZADC=180°,ZBAD+ZBCD

=180°,AB=BC

Cl)如圖1,連接BD,若NBAD=90。,AD=7,求DC的長度.

(2)如圖2,點P、Q分別在線段AD、DC上,滿足PQ=AP+CQ,求證:ZPBQ=ZABP+ZQBC

(3)若點Q在DC的延長線上,點P在DA的延長線上,如圖3所示,仍然滿足PQ=AP+CQ,請寫出/

PBQ與/ADC的數量關系,并給出證明過程.

5.(2021?廣西玉林市?八年級期末)在中,N48C=60。,點。、£分別在NC、5C上,連接3。、

£)£和NE;并且有45=8£,ZAED=ZC.(1)求NCDE的度數;(2)求證:AD+DE=BD.

6.(2021?陜西西安?七年級期末)問題情境:已知,在等邊A/BC中,N3/C與N/CB的角平分線交于點O,

點M、N分別在直線/C,43上,且NM9N=60。,猜想CM、MN、NN三者之間的數量關系.

方法感悟:小芳的思考過程是在CM上取一點,構造全等三角形,從而解決問題;

小麗的思考過程是在N2取一點,構造全等三角形,從而解決問題;

問題解決:(1)如圖1,M、N分別在邊/C,46上時,探索CM、MN、/N三者之間的數量關系,并證明;

(2)如圖2,“在邊NC上,點N在8/的延長線上時,請你在圖2中補全圖形,標出相應字母,探索QM、

MN、/N三者之間的數量關系,并證明.

7.(2021?四川八年級期末)如圖1,在等邊三角形N3C中,4。_18。于。,。石,43于6/。與以相交于點

O.(1)求證:OA=2DO;(2)如圖2,若點G是線段4D上一點,CG平分NBCE/BGF=6U,GF交CE

所在直線于點F.求證:GB=GF.(3)如圖3,若點G是線段OA上一點(不與點。重合),連接3G,在

BG下方作N8G尸=60。,邊G廠交CE所在直線于尸.猜想:OG,OF、。/三條線段之間的數量關系,并證明.

方法2.與中點有關的輔助線

倍長中線

已知中點

向中線做垂線

’過端點作另一邊的平行線

證中點<

兩端點向中線作垂線

1).已知中點

(1)中線倍長法:將中點處的線段延長一倍。

目的:①構造出一組全等三角形;②構造出一組平行線。將分散的條件集中到一個三角形中去。

1.(2021?四川七年級期末)在A4BC中,48=/C,點。是AABC內一點,點E是CO的中點,連接

作所,NE,若點尸在3。的垂直平分線上,NBAC=a,則.(用a含的式子表示)

D

E

BC

2.(2021?河北邢臺?八年級期中)某數學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動,請你來加入.

【探究與發現】如圖1,延長ZUBC的邊3c到。,使DC=8C,過。作。E〃/8交/C延長線于點E,求

證:4ABe^^EDC.

【理解與應用】如圖2,已知在AABC中,點E在邊3c上且/C4E=/B,點E是CD的中點,若4D平分

ZBAE.(1)求證:4C=BD;(2)若BD=3,4D=5,AE=x,求x的取值范圍.

3.(2021?廣東東莞?八年級期中)如圖1,在ZUBC中,若/8=10,BC=8,求NC邊上的中線的取值

范圍.

(1)小聰同學是這樣思考的:延長AD至E,使DE=BD,連接C£,可證得△CEDZ/UBO.

①請證明△CEO之△/2£>;②中線3。的取值范圍是.

(2)問題拓展:如圖2,在A/BC中,點。是/C的中點,分別以/£3c為直角邊向△A8C外作等腰直

角三角形和等腰直角三角形8CN,其中,AB=BM,BC=BN,ZABM=ZNBC=Z90°,連接MN.請

寫出2。與兒W的數量關系,并說明理由.

圖2

4.(2021?山東八年級期末)(1)方法呈現:

如圖①:在“8C中,若4B=6,NC=4,點。為3c邊的中點,求3c邊上的中線的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法:延長/。到點E使=再連接BE,可證A4CD/△E3。,從而把48、

AC,2/。集中在△/BE中,利用三角形三邊的關系即可判斷中線/D的取值范圍是,這

種解決問題的方法我們稱為倍長中線法;

(2)探究應用:如圖②,在ANBC中,點。是8C的中點,DELDF于點、D,DE交AB于點、E,DF交AC

于點凡連接£尸,判斷8E+C尸與跖的大小關系并證明;

(3)問題拓展:如圖③,在四邊形4BCD中,ABHCD,/尸與DC的延長線交于點尸、點£是BC的中點,

若/£是NR4廠的角平分線.試探究線段N8,AF,CF之間的數量關系,并加以證明.

5.(2021?上海九年級專題練習)已知,在Rt448C中,/A4c=90。,點。為邊N3的中點,AELCD分

別交CO,BC于點、F,E.(1)如圖1,①若N8=/C,請直接寫出NE4C-N3CD=

②連接。E,若AE=2DE,求證:ZDEB=ZAEC;

(2)如圖2,連接E8,若FB=AC,試探究線段CF和。尸之間的數量關系,并說明理由.

6.(2021?江蘇八年級期末)如圖,在A4BC中,4D是高,E、尸分別是48、NC的中點,48=8,AC=6.(1)

求四邊形/EL甲的周長;(2)若NA4C=90。,求四邊形/££>尸的面積.

(2)向中線作垂線:過線段兩端點向中點處的線段作垂線。

目的:構造出一組全等三角形

輔助線技巧:銳角三角形的垂線在中線線段上;鈍角三角形的垂線在中線線段的延長線上。

1.(2021?全國初三專題練習)如圖,。是C5延長線上一點,且E是4B上一點,DE=AC,

求證:ABAC=ABED.

2.(2021?全國初三專題練習)如圖,已知AD為AABC的中線,點E為AC上一點,連接BE交AD于點F,

且AE=FE.求證:BF=AC.

3.(2020.廣東省七年級期中)如圖,△/BC中,D為2C的中點,(1)在圖中作出CW_L4D,BNLAD,垂

足分別為M、N;(2)求證:DM=DN;(3)求NO=3,求/M+/N的值.

4.(2020?遼寧鞍山市?八年級期中)閱讀下面的題目及分析過程,并按要求進行證明.

已知:如圖,點£是8C的中點,點/在DE上,且NBAE=NCDE.求證:AB=CD.

分析:證明兩條線段相等,常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質,觀察本題中要證明

的兩條線段,它們不在同一個三角形中,且它們分別所在的兩個三角形也不全等,因此,要證必

須添加適當的輔助線,構造全等三角形或等腰三角形.

(1)現給出如下兩種添加輔助線的方法,請任意選出其中一種,對原題進行證明.

①如圖1,延長DE到點F,使EF=DE,連接BF;

②如圖2,分別過點2、C作AFLOE,CGLDE,垂足分別為點凡G.

(2)請你在圖3中添加不同于上述的輔助線,并對原題進行證明.

/圖1圖2圖3

?

5.(2021?江蘇八年級期中)通過對下面數學模型的研究學習,解決下列問題:

(模型呈現)

(1)如圖,ABAD=90°,AB=AD,過點3作5C_LNC于點C,過點。作DE1.ZC于點E.由

Nl+/2=N2+/D=90。,得NI=ND.又NACB=NAED=90°,可以推理得到A4BC經AIME.進而得到

AC=,BC=AE.我們把這個數學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型;

(模型應用)(2)如圖,ZBAD=ZCAE=9Q°,AB=AD,AC=AE,連接3C,DE,且3C,/尸于點尸,

OE與直線N尸交于點G.求證:點G是。E的中點;

D

(深入探究)(3)如圖,已知四邊形48co和DEG尸為正方形,以即的面積為z,AZ)CE的面積為邑,則

有S]S?(填“>、=、<")

(4)如圖,分別以ADCE的三條邊為邊,向外作正方形,連接/尸、GK、BH.當48=4,?!?血,

/CD£=45。時,圖中的三個陰影三角形的面積和為

E都在同一條直線上,四邊形/"?、KCMG、都是正方形,若

該圖形總面積是16,正方形KCA/G的面積是4,貝!!D//KG的面積是

6.(2021?黑龍江八年級期中)在口/BCD中,直線跖V經過點A,BEIMN^E,CFLMN于F,DG1MN

于G.請解答下列問題:

(1)如圖①,求證:BE+C尸=DG;(提示:過點C作CHLOG于H)

(2)如圖②、圖③,線段3E,CF,OG之間又有怎樣的數量關系?請寫出你的猜想,不需要證明;

(3)在(1)(2)的條件下,若CD=10,AE=6,CF=1,則。G=.

二、證中點(需證2次全等)

(1)過端點作另一邊的平行線:

目的:構造出一組全等三角形特點:中線倍長的反向應用

1.(2020?安徽八年級期末)如圖,AABC是等腰三角形,D,E分別是腰AB及AC延長線上的一點,且

BD=CE,連接DE交底BC于G.求證:GD=GE.

2.(2020?華中科技大學同濟醫學院附屬中學八年級月考)如圖1.AABC中,AB=AC,點D在AB邊

上,點E在AC的延長線上,且CE=BD,連接DE交BC于點F.

⑴求證:EF=DF;⑵如圖2,過點D作DG_LBC,垂足為G,求證:BC=2FG.

3.(2021?河南新鄉?八年級期末)如圖所示:是等邊三角形,D、£分別是48及/C延長線上的一點,

且BD=CE,連接。E交3c于點求讓:MD=ME

4.(2021?湖北?八年級期中)P為等邊A/BC的邊上一點,0為3C延長線上一點,且為=。0,連尸。

交/C邊于。.(1)證明:PD=DQ.(2)如圖2,過P作尸E_L4c于E,若48=6,求OE的長.

5.(2021?江蘇鹽城?八年級階段練習)已知在等腰A/BC中,AB=AC,在射線C4上截取線段C£,在射線

N3上截取線段8。,連接DB,所在直線交直線8C與點M.請探究:

(1)如圖(1),當點£在線段NC上,點。在48延長線上時,若BD=CE,請判斷線段MD和線段ME的數

量關系,并證明你的結論.(2)如圖(2),當點E在C4的延長線上,點。在48的延長線上時,若BD=CE,

則(1)中的結論還成立嗎?如果成立,請證明;如果不成立,說明理由;

(3)如圖(3),當點E在。的延長線上,點。在線段4s上(點。不與4,8重合),DE所在直線與直線

2C交于點",若CE=2BD,請直接寫出線段必)與線段的數量關系.

(2)兩端點向中線作垂線:

目的:構造出一組全等三角形

特點:與已知中點時向中線作垂線方法一致

1.(2021?全國初三專題練習)如圖,在AA8C中,ZACB=90°,ZABD=ZCBE=90°,BA=BD,

BC=BE,延長CS交。E于尸.求證:EF=DF.

2.(2020.河北省期中)如圖.ZC=90°,BEUB且BE=AB,BDLBC且BD=BC,C5的延長線交。£

于幾(1)求證:點尸是即的中點;(2)求證:SAABC=2SABEF.

3.(2021?吉林八年級期末)如圖①,ZBAD=90°,AB=AD,過點B作BC_LAC于點C,過點D作DE_L

CA的延長線點E,由/l+N2=/D+/2=90。,得/1=ND,又/ACB=NAED=90。,AB=AD,得AABC出

△DAE進而得到AC=DE,BC=AE,我們把這個數學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型.

請應用上述“一線三等角”模

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