專題04三角形全等的常見(jiàn)輔助線

1）全等中常見(jiàn)輔助線總結(jié)

方法1截長(zhǎng)補(bǔ)短法（往往需證2次全等）

截長(zhǎng)補(bǔ)短法使用范圍：線段和差的證明

（1）截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。

例：如圖，求證

方法：①在4D上取一點(diǎn)尸，使得證

②在ND上取一點(diǎn)F，DF=DC,AF=BE

（2）補(bǔ)短：將短線段延長(zhǎng)，證與長(zhǎng)線段相等

例：如圖，求證3E+DC=4D

方法：①延長(zhǎng)DC至點(diǎn)M處，使CM=BE,證。助=/。；

②延長(zhǎng)。。至點(diǎn)M處，使DMD,證

（3）旋轉(zhuǎn)：將包含一條短邊的圖形旋轉(zhuǎn)，使兩短邊構(gòu)成一條邊，證與長(zhǎng)邊相等。

注：旋轉(zhuǎn)需要特定條件（兩個(gè)圖形的短邊共線）

例：如圖，已知4B=/C,ZABM=ZCAN=90°,求證3M+CN—W

方法：旋轉(zhuǎn)A4BM至AACF處,誣NE=MN

1.（2021?湖北八年級(jí)期末）如圖，ZUBC中，/B=2NA,N/C3的平分線CD交N5于點(diǎn)。，已知NC=16,

BC=9,則BD的長(zhǎng)為（)

c

A.6B.7C.8D.9

2.（2022?四川南充?八年級(jí)期末）（1）閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1,在四邊形48C。中，對(duì)角線5。平分/48C,

ZA+ZC=180°.求證：DA=DC.

思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題.

方法1：在2C上截取8M=A4,連接DM,得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；

方法2：延長(zhǎng)8/到點(diǎn)N,使得BN=BC,連接。N,得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題.

結(jié)合圖1,在方法1和方法2中住造7種，添加輔助線并完成證明.

（2）問(wèn)題解決：如圖2,在（1）的條件下，連接/C,當(dāng)/為。=60。時(shí)，探究線段BC,8。之間

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）問(wèn)題拓展：如圖3,在四邊形/BCD中，乙4+/C=180。，DA=DC,過(guò)點(diǎn)。作。垂足為點(diǎn)

E,請(qǐng)直接寫出線段/8、CE、8c之間的數(shù)量關(guān)系.

3.(2021?湖北)如圖，4ABC為等邊三角形，直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,在/上位于C點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)D滿足/BDC=

60°.(1)如圖1,在/上位于C點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)E,使/AEC=60°,求證：△AECgACDB；

(2)如圖2,點(diǎn)F、G在直線/上，連AF,在/上方作/AFH=120°,且AF=HF,ZHGF=120。，求證:

HG+BD=CF；(3)在(2)的條件下，當(dāng)A、B位于直線/兩側(cè)，其余條件不變時(shí)(如圖3),線段HG、

CF、BD的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____________________.

4.(2021?四川東辰國(guó)際學(xué)校八年級(jí)期末)已知在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,ZBAD+ZBCD

=180°,AB=BC

Cl)如圖1,連接BD,若NBAD=90。，AD=7,求DC的長(zhǎng)度.

(2)如圖2,點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ=AP+CQ,求證：ZPBQ=ZABP+ZQBC

(3)若點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足PQ=AP+CQ,請(qǐng)寫出/

PBQ與/ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程.

5.（2021?廣西玉林市?八年級(jí)期末）在中，N48C=60。，點(diǎn)。、￡分別在NC、5C上，連接3。、

￡）￡和NE；并且有45=8￡,ZAED=ZC.（1）求NCDE的度數(shù)；（2）求證：AD+DE=BD.

6.（2021?陜西西安?七年級(jí)期末）問(wèn)題情境：已知，在等邊A/BC中，N3/C與N/CB的角平分線交于點(diǎn)O,

點(diǎn)M、N分別在直線/C,43上，且NM9N=60。，猜想CM、MN、NN三者之間的數(shù)量關(guān)系.

方法感悟：小芳的思考過(guò)程是在CM上取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問(wèn)題；

小麗的思考過(guò)程是在N2取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問(wèn)題；

問(wèn)題解決：（1）如圖1,M、N分別在邊/C,46上時(shí)，探索CM、MN、/N三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（2）如圖2,“在邊NC上，點(diǎn)N在8/的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形，標(biāo)出相應(yīng)字母，探索QM、

MN、/N三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

7.(2021?四川八年級(jí)期末)如圖1,在等邊三角形N3C中，4。_18。于。,。石，43于6/。與以相交于點(diǎn)

O.(1)求證：OA=2DO；(2)如圖2,若點(diǎn)G是線段4D上一點(diǎn)，CG平分NBCE/BGF=6U,GF交CE

所在直線于點(diǎn)F.求證：GB=GF.(3)如圖3,若點(diǎn)G是線段OA上一點(diǎn)(不與點(diǎn)。重合)，連接3G,在

BG下方作N8G尸=60。,邊G廠交CE所在直線于尸.猜想：OG,OF、。/三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

方法2.與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線

倍長(zhǎng)中線

已知中點(diǎn)

向中線做垂線

’過(guò)端點(diǎn)作另一邊的平行線

證中點(diǎn)＜

兩端點(diǎn)向中線作垂線

1).已知中點(diǎn)

(1)中線倍長(zhǎng)法：將中點(diǎn)處的線段延長(zhǎng)一倍。

目的：①構(gòu)造出一組全等三角形；②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個(gè)三角形中去。

1.(2021?四川七年級(jí)期末)在A4BC中，48=/C,點(diǎn)。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，連接

作所，NE,若點(diǎn)尸在3。的垂直平分線上，NBAC=a,則.(用a含的式子表示)

D

E

BC

2.(2021?河北邢臺(tái)?八年級(jí)期中)某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你來(lái)加入.

【探究與發(fā)現(xiàn)】如圖1,延長(zhǎng)ZUBC的邊3c到。，使DC=8C,過(guò)。作。E〃/8交/C延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求

證：4ABe^^EDC.

【理解與應(yīng)用】如圖2,已知在AABC中，點(diǎn)E在邊3c上且/C4E=/B,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若4D平分

ZBAE.(1)求證：4C=BD；(2)若BD=3,4D=5,AE=x,求x的取值范圍.

3.(2021?廣東東莞?八年級(jí)期中)如圖1,在ZUBC中，若/8=10,BC=8,求NC邊上的中線的取值

范圍.

(1)小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)AD至E,使DE=BD,連接C￡,可證得△CEDZ/UBO.

①請(qǐng)證明△CEO之△/2￡＞；②中線3。的取值范圍是.

(2)問(wèn)題拓展：如圖2,在A/BC中，點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，分別以/￡3c為直角邊向△A8C外作等腰直

角三角形和等腰直角三角形8CN,其中，AB=BM,BC=BN,ZABM=ZNBC=Z90°,連接MN.請(qǐng)

寫出2。與兒W的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖2

4.（2021?山東八年級(jí)期末）（1）方法呈現(xiàn)：

如圖①：在“8C中，若4B=6,NC=4,點(diǎn)。為3c邊的中點(diǎn)，求3c邊上的中線的取值范圍.

解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)/。到點(diǎn)E使=再連接BE,可證A4CD/△E3。，從而把48、

AC,2/。集中在△/BE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線/D的取值范圍是,這

種解決問(wèn)題的方法我們稱為倍長(zhǎng)中線法；

（2）探究應(yīng)用：如圖②，在ANBC中，點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)、D,DE交AB于點(diǎn)、E,DF交AC

于點(diǎn)凡連接￡尸，判斷8E+C尸與跖的大小關(guān)系并證明；

（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形4BCD中，ABHCD,/尸與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸、點(diǎn)￡是BC的中點(diǎn)，

若/￡是NR4廠的角平分線.試探究線段N8,AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

5.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知，在Rt448C中，/A4c=90。，點(diǎn)。為邊N3的中點(diǎn)，AELCD分

別交CO,BC于點(diǎn)、F,E.(1)如圖1,①若N8=/C,請(qǐng)直接寫出NE4C-N3CD=

②連接。E,若AE=2DE,求證：ZDEB=ZAEC；

（2）如圖2,連接E8,若FB=AC,試探究線段CF和。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

6.（2021?江蘇八年級(jí)期末）如圖，在A4BC中，4D是高，E、尸分別是48、NC的中點(diǎn)，48=8,AC=6.（1）

求四邊形/EL甲的周長(zhǎng)；（2）若NA4C=90。，求四邊形/￡￡＞尸的面積.

（2）向中線作垂線：過(guò)線段兩端點(diǎn)向中點(diǎn)處的線段作垂線。

目的：構(gòu)造出一組全等三角形

輔助線技巧：銳角三角形的垂線在中線線段上；鈍角三角形的垂線在中線線段的延長(zhǎng)線上。

1.（2021?全國(guó)初三專題練習(xí)）如圖，。是C5延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且E是4B上一點(diǎn),DE=AC,

求證：ABAC=ABED.

2.（2021?全國(guó)初三專題練習(xí)）如圖，已知AD為AABC的中線，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F,

且AE=FE.求證：BF=AC.

3.（2020.廣東省七年級(jí)期中）如圖，△/BC中，D為2C的中點(diǎn)，（1）在圖中作出CW_L4D,BNLAD,垂

足分別為M、N；（2）求證：DM=DN；（3）求NO=3,求/M+/N的值.

4.（2020?遼寧鞍山市?八年級(jí)期中）閱讀下面的題目及分析過(guò)程，并按要求進(jìn)行證明.

已知：如圖，點(diǎn)￡是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)/在DE上，且NBAE=NCDE.求證：AB=CD.

分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明

的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證必

須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形.

（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明.

①如圖1,延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,使EF=DE,連接BF；

②如圖2,分別過(guò)點(diǎn)2、C作AFLOE,CGLDE,垂足分別為點(diǎn)凡G.

（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明.

/圖1圖2圖3

?

5.（2021?江蘇八年級(jí)期中）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：

（模型呈現(xiàn)）

（1）如圖，ABAD=90°,AB=AD,過(guò)點(diǎn)3作5C_LNC于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作DE1.ZC于點(diǎn)E.由

Nl+/2=N2+/D=90。，得NI=ND.又NACB=NAED=90°,可以推理得到A4BC經(jīng)AIME.進(jìn)而得到

AC=,BC=AE.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；

（模型應(yīng)用）（2）如圖，ZBAD=ZCAE=9Q°,AB=AD,AC=AE,連接3C,DE,且3C，/尸于點(diǎn)尸，

OE與直線N尸交于點(diǎn)G.求證：點(diǎn)G是。E的中點(diǎn)；

D

（深入探究）（3）如圖，已知四邊形48co和DEG尸為正方形，以即的面積為z，AZ）CE的面積為邑，則

有S]S?（填“＞、=、＜"）

（4）如圖，分別以ADCE的三條邊為邊，向外作正方形，連接/尸、GK、BH.當(dāng)48=4,。￡=血,

/CD￡=45。時(shí)，圖中的三個(gè)陰影三角形的面積和為

E都在同一條直線上，四邊形/"?、KCMG、都是正方形，若

該圖形總面積是16,正方形KCA/G的面積是4,貝!!D//KG的面積是

6.（2021?黑龍江八年級(jí)期中）在口/BCD中，直線跖V經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,BEIMN^E,CFLMN于F,DG1MN

于G.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）如圖①，求證：BE+C尸=DG；（提示：過(guò)點(diǎn)C作CHLOG于H）

（2）如圖②、圖③，線段3E,CF,OG之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需要證明;

（3）在（1）（2）的條件下，若CD=10,AE=6,CF=1,則。G=.

二、證中點(diǎn)（需證2次全等）

（1）過(guò)端點(diǎn)作另一邊的平行線：

目的：構(gòu)造出一組全等三角形特點(diǎn)：中線倍長(zhǎng)的反向應(yīng)用

1.（2020?安徽八年級(jí)期末）如圖，AABC是等腰三角形，D,E分別是腰AB及AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且

BD=CE,連接DE交底BC于G.求證：GD=GE.

2.（2020?華中科技大學(xué)同濟(jì)醫(yī)學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)月考）如圖1.AABC中，AB=AC,點(diǎn)D在AB邊

上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且CE=BD,連接DE交BC于點(diǎn)F.

⑴求證：EF=DF；⑵如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DG_LBC,垂足為G,求證：BC=2FG.

3.（2021?河南新鄉(xiāng)?八年級(jí)期末）如圖所示：是等邊三角形，D、￡分別是48及/C延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),

且BD=CE,連接。E交3c于點(diǎn)求讓：MD=ME

4.（2021?湖北?八年級(jí)期中）P為等邊A/BC的邊上一點(diǎn)，0為3C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且為=。0,連尸。

交/C邊于。.（1）證明：PD=DQ.（2）如圖2,過(guò)P作尸E_L4c于E,若48=6,求OE的長(zhǎng).

5.(2021?江蘇鹽城?八年級(jí)階段練習(xí))已知在等腰A/BC中，AB=AC,在射線C4上截取線段C￡,在射線

N3上截取線段8。，連接DB,所在直線交直線8C與點(diǎn)M.請(qǐng)?zhí)骄浚?/p>

(1)如圖(1),當(dāng)點(diǎn)￡在線段NC上，點(diǎn)。在48延長(zhǎng)線上時(shí)，若BD=CE,請(qǐng)判斷線段MD和線段ME的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)E在C4的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。在48的延長(zhǎng)線上時(shí)，若BD=CE,

則(1)中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說(shuō)明理由；

(3)如圖(3),當(dāng)點(diǎn)E在。的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。在線段4s上(點(diǎn)。不與4,8重合)，DE所在直線與直線

2C交于點(diǎn)"，若CE=2BD,請(qǐng)直接寫出線段必)與線段的數(shù)量關(guān)系.

(2)兩端點(diǎn)向中線作垂線：

目的：構(gòu)造出一組全等三角形

特點(diǎn)：與已知中點(diǎn)時(shí)向中線作垂線方法一致

1.(2021?全國(guó)初三專題練習(xí))如圖，在AA8C中，ZACB=90°,ZABD=ZCBE=90°,BA=BD,

BC=BE,延長(zhǎng)CS交。E于尸.求證：EF=DF.

2.（2020.河北省期中）如圖.ZC=90°,BEUB且BE=AB,BDLBC且BD=BC,C5的延長(zhǎng)線交。￡

于幾（1）求證：點(diǎn)尸是即的中點(diǎn)；（2）求證：SAABC=2SABEF.

3.（2021?吉林八年級(jí)期末）如圖①，ZBAD=90°,AB=AD,過(guò)點(diǎn)B作BC_LAC于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)D作DE_L

CA的延長(zhǎng)線點(diǎn)E,由/l+N2=/D+/2=90。，得/1=ND,又/ACB=NAED=90。，AB=AD,得AABC出

△DAE進(jìn)而得到AC=DE,BC=AE,我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型.

請(qǐng)應(yīng)用上述“一線三等角”模