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文檔簡介
專題04三角形全等的常見輔助線
1)全等中常見輔助線總結
方法1截長補短法(往往需證2次全等)
截長補短法使用范圍:線段和差的證明
(1)截長:在較長線段上截取一段等于某一短線段,再證剩下的那一段等于另一短線段。
例:如圖,求證
方法:①在4D上取一點尸,使得證
②在ND上取一點F,DF=DC,AF=BE
(2)補短:將短線段延長,證與長線段相等
例:如圖,求證3E+DC=4D
方法:①延長DC至點M處,使CM=BE,證。助=/。;
②延長。。至點M處,使DMD,證
(3)旋轉:將包含一條短邊的圖形旋轉,使兩短邊構成一條邊,證與長邊相等。
注:旋轉需要特定條件(兩個圖形的短邊共線)
例:如圖,已知4B=/C,ZABM=ZCAN=90°,求證3M+CN—W
方法:旋轉A4BM至AACF處,誣NE=MN
1.(2021?湖北八年級期末)如圖,ZUBC中,/B=2NA,N/C3的平分線CD交N5于點。,已知NC=16,
BC=9,則BD的長為()
c
A.6B.7C.8D.9
2.(2022?四川南充?八年級期末)(1)閱讀理解:問題:如圖1,在四邊形48C。中,對角線5。平分/48C,
ZA+ZC=180°.求證:DA=DC.
思考:“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題.
方法1:在2C上截取8M=A4,連接DM,得到全等三角形,進而解決問題;
方法2:延長8/到點N,使得BN=BC,連接。N,得到全等三角形,進而解決問題.
結合圖1,在方法1和方法2中住造7種,添加輔助線并完成證明.
(2)問題解決:如圖2,在(1)的條件下,連接/C,當/為。=60。時,探究線段BC,8。之間
的數量關系,并說明理由;
(3)問題拓展:如圖3,在四邊形/BCD中,乙4+/C=180。,DA=DC,過點。作。垂足為點
E,請直接寫出線段/8、CE、8c之間的數量關系.
3.(2021?湖北)如圖,4ABC為等邊三角形,直線/經過點C,在/上位于C點右側的點D滿足/BDC=
60°.(1)如圖1,在/上位于C點左側取一點E,使/AEC=60°,求證:△AECgACDB;
(2)如圖2,點F、G在直線/上,連AF,在/上方作/AFH=120°,且AF=HF,ZHGF=120。,求證:
HG+BD=CF;(3)在(2)的條件下,當A、B位于直線/兩側,其余條件不變時(如圖3),線段HG、
CF、BD的數量關系為______________________.
4.(2021?四川東辰國際學校八年級期末)已知在四邊形ABCD中,ZABC+ZADC=180°,ZBAD+ZBCD
=180°,AB=BC
Cl)如圖1,連接BD,若NBAD=90。,AD=7,求DC的長度.
(2)如圖2,點P、Q分別在線段AD、DC上,滿足PQ=AP+CQ,求證:ZPBQ=ZABP+ZQBC
(3)若點Q在DC的延長線上,點P在DA的延長線上,如圖3所示,仍然滿足PQ=AP+CQ,請寫出/
PBQ與/ADC的數量關系,并給出證明過程.
5.(2021?廣西玉林市?八年級期末)在中,N48C=60。,點。、£分別在NC、5C上,連接3。、
£)£和NE;并且有45=8£,ZAED=ZC.(1)求NCDE的度數;(2)求證:AD+DE=BD.
6.(2021?陜西西安?七年級期末)問題情境:已知,在等邊A/BC中,N3/C與N/CB的角平分線交于點O,
點M、N分別在直線/C,43上,且NM9N=60。,猜想CM、MN、NN三者之間的數量關系.
方法感悟:小芳的思考過程是在CM上取一點,構造全等三角形,從而解決問題;
小麗的思考過程是在N2取一點,構造全等三角形,從而解決問題;
問題解決:(1)如圖1,M、N分別在邊/C,46上時,探索CM、MN、/N三者之間的數量關系,并證明;
(2)如圖2,“在邊NC上,點N在8/的延長線上時,請你在圖2中補全圖形,標出相應字母,探索QM、
MN、/N三者之間的數量關系,并證明.
7.(2021?四川八年級期末)如圖1,在等邊三角形N3C中,4。_18。于。,。石,43于6/。與以相交于點
O.(1)求證:OA=2DO;(2)如圖2,若點G是線段4D上一點,CG平分NBCE/BGF=6U,GF交CE
所在直線于點F.求證:GB=GF.(3)如圖3,若點G是線段OA上一點(不與點。重合),連接3G,在
BG下方作N8G尸=60。,邊G廠交CE所在直線于尸.猜想:OG,OF、。/三條線段之間的數量關系,并證明.
方法2.與中點有關的輔助線
倍長中線
已知中點
向中線做垂線
’過端點作另一邊的平行線
證中點<
兩端點向中線作垂線
1).已知中點
(1)中線倍長法:將中點處的線段延長一倍。
目的:①構造出一組全等三角形;②構造出一組平行線。將分散的條件集中到一個三角形中去。
1.(2021?四川七年級期末)在A4BC中,48=/C,點。是AABC內一點,點E是CO的中點,連接
作所,NE,若點尸在3。的垂直平分線上,NBAC=a,則.(用a含的式子表示)
D
E
BC
2.(2021?河北邢臺?八年級期中)某數學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動,請你來加入.
【探究與發現】如圖1,延長ZUBC的邊3c到。,使DC=8C,過。作。E〃/8交/C延長線于點E,求
證:4ABe^^EDC.
【理解與應用】如圖2,已知在AABC中,點E在邊3c上且/C4E=/B,點E是CD的中點,若4D平分
ZBAE.(1)求證:4C=BD;(2)若BD=3,4D=5,AE=x,求x的取值范圍.
3.(2021?廣東東莞?八年級期中)如圖1,在ZUBC中,若/8=10,BC=8,求NC邊上的中線的取值
范圍.
(1)小聰同學是這樣思考的:延長AD至E,使DE=BD,連接C£,可證得△CEDZ/UBO.
①請證明△CEO之△/2£>;②中線3。的取值范圍是.
(2)問題拓展:如圖2,在A/BC中,點。是/C的中點,分別以/£3c為直角邊向△A8C外作等腰直
角三角形和等腰直角三角形8CN,其中,AB=BM,BC=BN,ZABM=ZNBC=Z90°,連接MN.請
寫出2。與兒W的數量關系,并說明理由.
圖2
4.(2021?山東八年級期末)(1)方法呈現:
如圖①:在“8C中,若4B=6,NC=4,點。為3c邊的中點,求3c邊上的中線的取值范圍.
解決此問題可以用如下方法:延長/。到點E使=再連接BE,可證A4CD/△E3。,從而把48、
AC,2/。集中在△/BE中,利用三角形三邊的關系即可判斷中線/D的取值范圍是,這
種解決問題的方法我們稱為倍長中線法;
(2)探究應用:如圖②,在ANBC中,點。是8C的中點,DELDF于點、D,DE交AB于點、E,DF交AC
于點凡連接£尸,判斷8E+C尸與跖的大小關系并證明;
(3)問題拓展:如圖③,在四邊形4BCD中,ABHCD,/尸與DC的延長線交于點尸、點£是BC的中點,
若/£是NR4廠的角平分線.試探究線段N8,AF,CF之間的數量關系,并加以證明.
5.(2021?上海九年級專題練習)已知,在Rt448C中,/A4c=90。,點。為邊N3的中點,AELCD分
別交CO,BC于點、F,E.(1)如圖1,①若N8=/C,請直接寫出NE4C-N3CD=
②連接。E,若AE=2DE,求證:ZDEB=ZAEC;
(2)如圖2,連接E8,若FB=AC,試探究線段CF和。尸之間的數量關系,并說明理由.
6.(2021?江蘇八年級期末)如圖,在A4BC中,4D是高,E、尸分別是48、NC的中點,48=8,AC=6.(1)
求四邊形/EL甲的周長;(2)若NA4C=90。,求四邊形/££>尸的面積.
(2)向中線作垂線:過線段兩端點向中點處的線段作垂線。
目的:構造出一組全等三角形
輔助線技巧:銳角三角形的垂線在中線線段上;鈍角三角形的垂線在中線線段的延長線上。
1.(2021?全國初三專題練習)如圖,。是C5延長線上一點,且E是4B上一點,DE=AC,
求證:ABAC=ABED.
2.(2021?全國初三專題練習)如圖,已知AD為AABC的中線,點E為AC上一點,連接BE交AD于點F,
且AE=FE.求證:BF=AC.
3.(2020.廣東省七年級期中)如圖,△/BC中,D為2C的中點,(1)在圖中作出CW_L4D,BNLAD,垂
足分別為M、N;(2)求證:DM=DN;(3)求NO=3,求/M+/N的值.
4.(2020?遼寧鞍山市?八年級期中)閱讀下面的題目及分析過程,并按要求進行證明.
已知:如圖,點£是8C的中點,點/在DE上,且NBAE=NCDE.求證:AB=CD.
分析:證明兩條線段相等,常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質,觀察本題中要證明
的兩條線段,它們不在同一個三角形中,且它們分別所在的兩個三角形也不全等,因此,要證必
須添加適當的輔助線,構造全等三角形或等腰三角形.
(1)現給出如下兩種添加輔助線的方法,請任意選出其中一種,對原題進行證明.
①如圖1,延長DE到點F,使EF=DE,連接BF;
②如圖2,分別過點2、C作AFLOE,CGLDE,垂足分別為點凡G.
(2)請你在圖3中添加不同于上述的輔助線,并對原題進行證明.
/圖1圖2圖3
?
5.(2021?江蘇八年級期中)通過對下面數學模型的研究學習,解決下列問題:
(模型呈現)
(1)如圖,ABAD=90°,AB=AD,過點3作5C_LNC于點C,過點。作DE1.ZC于點E.由
Nl+/2=N2+/D=90。,得NI=ND.又NACB=NAED=90°,可以推理得到A4BC經AIME.進而得到
AC=,BC=AE.我們把這個數學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型;
(模型應用)(2)如圖,ZBAD=ZCAE=9Q°,AB=AD,AC=AE,連接3C,DE,且3C,/尸于點尸,
OE與直線N尸交于點G.求證:點G是。E的中點;
D
(深入探究)(3)如圖,已知四邊形48co和DEG尸為正方形,以即的面積為z,AZ)CE的面積為邑,則
有S]S?(填“>、=、<")
(4)如圖,分別以ADCE的三條邊為邊,向外作正方形,連接/尸、GK、BH.當48=4,?!?血,
/CD£=45。時,圖中的三個陰影三角形的面積和為
E都在同一條直線上,四邊形/"?、KCMG、都是正方形,若
該圖形總面積是16,正方形KCA/G的面積是4,貝!!D//KG的面積是
6.(2021?黑龍江八年級期中)在口/BCD中,直線跖V經過點A,BEIMN^E,CFLMN于F,DG1MN
于G.請解答下列問題:
(1)如圖①,求證:BE+C尸=DG;(提示:過點C作CHLOG于H)
(2)如圖②、圖③,線段3E,CF,OG之間又有怎樣的數量關系?請寫出你的猜想,不需要證明;
(3)在(1)(2)的條件下,若CD=10,AE=6,CF=1,則。G=.
二、證中點(需證2次全等)
(1)過端點作另一邊的平行線:
目的:構造出一組全等三角形特點:中線倍長的反向應用
1.(2020?安徽八年級期末)如圖,AABC是等腰三角形,D,E分別是腰AB及AC延長線上的一點,且
BD=CE,連接DE交底BC于G.求證:GD=GE.
2.(2020?華中科技大學同濟醫學院附屬中學八年級月考)如圖1.AABC中,AB=AC,點D在AB邊
上,點E在AC的延長線上,且CE=BD,連接DE交BC于點F.
⑴求證:EF=DF;⑵如圖2,過點D作DG_LBC,垂足為G,求證:BC=2FG.
3.(2021?河南新鄉?八年級期末)如圖所示:是等邊三角形,D、£分別是48及/C延長線上的一點,
且BD=CE,連接。E交3c于點求讓:MD=ME
4.(2021?湖北?八年級期中)P為等邊A/BC的邊上一點,0為3C延長線上一點,且為=。0,連尸。
交/C邊于。.(1)證明:PD=DQ.(2)如圖2,過P作尸E_L4c于E,若48=6,求OE的長.
5.(2021?江蘇鹽城?八年級階段練習)已知在等腰A/BC中,AB=AC,在射線C4上截取線段C£,在射線
N3上截取線段8。,連接DB,所在直線交直線8C與點M.請探究:
(1)如圖(1),當點£在線段NC上,點。在48延長線上時,若BD=CE,請判斷線段MD和線段ME的數
量關系,并證明你的結論.(2)如圖(2),當點E在C4的延長線上,點。在48的延長線上時,若BD=CE,
則(1)中的結論還成立嗎?如果成立,請證明;如果不成立,說明理由;
(3)如圖(3),當點E在。的延長線上,點。在線段4s上(點。不與4,8重合),DE所在直線與直線
2C交于點",若CE=2BD,請直接寫出線段必)與線段的數量關系.
(2)兩端點向中線作垂線:
目的:構造出一組全等三角形
特點:與已知中點時向中線作垂線方法一致
1.(2021?全國初三專題練習)如圖,在AA8C中,ZACB=90°,ZABD=ZCBE=90°,BA=BD,
BC=BE,延長CS交。E于尸.求證:EF=DF.
2.(2020.河北省期中)如圖.ZC=90°,BEUB且BE=AB,BDLBC且BD=BC,C5的延長線交。£
于幾(1)求證:點尸是即的中點;(2)求證:SAABC=2SABEF.
3.(2021?吉林八年級期末)如圖①,ZBAD=90°,AB=AD,過點B作BC_LAC于點C,過點D作DE_L
CA的延長線點E,由/l+N2=/D+/2=90。,得/1=ND,又/ACB=NAED=90。,AB=AD,得AABC出
△DAE進而得到AC=DE,BC=AE,我們把這個數學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型.
請應用上述“一線三等角”模
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