2023耳中考核老總復習一裕耕依惻（）

第一章克極易式

專題03臺K（餅株）

復習目標

熱身練習

分式基礎櫥里

考點一分式的有關概念

考點二分式的基本性質及應用

考點三零指數幕和負整數指數幕

深度講練

考點四分式的四則運算

考點五分式的化簡求值

1.了解分式和最簡分式的概念，掌握分式有意義的條件及分式的值為零的條件.

2.利用分式的基本性質進行通分和約分.

3.會進行分式的加減乘除運算并解決分式的化簡求值問題

1.（2022?衢州）計算結果等于2的是（）

A.|-2|B--|2|C.2rD.(-2)0

【分析】根據絕對值、負整數指數幕、零指數累解決此題.

【解答】解：A.根據絕對值的定義，|-2|=2,那么/符合題意.

B.根據絕對值的定義，」2|=-2,那么3不符合題意.

C.根據負整數指數累，2-1=去那么C不符合題意.

D.根據零指數哥，（-2）°=1,那么。不符合題意.

故選：A.

1

2.（2021?寧波）要使分式一有意義，％的取值應滿足（）

A.XW0B.-2C.Q-2D.x>-2

【分析】直接利用分式有意義則分母不等于零，即可得出答案.

【解答】解：要使分式工有意義，則x+2W0,

%+2

解得：x#-2.

故選：B,

12

3.（2021?金華）一+-=（）

Cld

323

A.3B.—C.-7D.—

2aa4a

【分析】根據同分母的分式的加減法法則計算即可.

121+23

【解答】解：一+—=---=一，

aaaa

故選：D.

Ill

4.（2022?杭州）照相機成像應用了一個重要原理，用公式;=-+-（vW/）表示，其中/表示照相機鏡頭

fuv

的焦距，〃表示物體到鏡頭的距離，y表示膠片（像）到鏡頭的距離.已知/,v,則〃=（）

.fvf-v「加nv-f

A.--B.——c?西D-~

f—vfv

111

【分析】利用分式的基本性質，把等式1=-+-（vW/）恒等變形，用含八v的代數式表示〃.

fuV

111

【解答】解：：=一+-（vW/）,

fUV

111

一二一十一,

fUV

1._11

ufV

1v-f

ufv'

fv

u=

v—f'

故選：c.

a+1

5.（2022?湖州）當a=l時，分式——的值是2.

a

【分析】把。=1代入分式計算即可求出值.

【解答】解：當。=1時,

原式=理=2.

故答案為：2.

6.（2022?溫州）計算：』+金=2.

xyxy

【分析】根據同分母分式的運算法則運算即可.

【解答】解：原式"2+七yr2,

xy

=2%y

-xy'

=2.

故答案為：2.

%+11

7.（2020?湖州）化簡：>------=——.

才+2%+1%+1—

【分析】直接將分母分解因式，進而化簡得出答案.

%+1

—（x+1）2

1

—x+1,

故答案為：

%+1

8.（2021?湖州）計算:2義2一】=1.

【分析】直接利用負整數指數累的性質計算得出答案.

【解答】解：2X2-i=2x±=l.

故答案為：1.

9.（2021?麗水）數學活動課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數式求值問題:

bct

已知實數a,6同時滿足Q2+2a=b+2,b1+2b=a+2,求代數式一+：的值.

ab

a=b,結果壬］（

不一定相等f

小王.

小云

結合他們的對話，請解答下列問題：

（1）當a=b時，a的值是-2或1.

（2）當aWb時，代數式2+，的值是7

ab

【分析】（1）將a=6代入方程，然后解一元二次方程求解;

(2)聯立方程組，運用加減消元法并結合完全平方公式，求得/+y和仍的值，然后將原式通分化簡,

代入求解.

【解答】解：(1)當時，a2+2a=a+2,

cP'+a-2—0,(a+2)(a-1)=0,

解得：a=-2或1,

故答案為：-2或1；

旺一十百用面+2a=b+2①

(2)聯乂萬程組…cN，

儼+2b=a+2@

將@)+包)，得：a^+b^+2a+2b=b+a+4>

整理，得：a2+b2+a+b=4(3),

將①-②，得：a2-P+2a-2b=b-a,

整理，得:a2-b2+3a-36=0,

(a+b)(a-b)+3(a-b)=0,

(a-b)(a+b+3)=0,

又,：a手b,

.*?a+b+3=0,Bpa+b=-3(4)?

22

將④代入③，得》+"-3=4,BPa+b=7f

又,:(a+b)2=a2+2ab+b2=9

??ab=1,

bab2+a2

??q+^=F=7'

故答案為：7.

工29

10.(2021?衢州)先化簡，再求值：-~+~—，其中x=L

%—33—x

【分析】根據分式的加法法則把原式化簡，把x的值代入計算，得到答案.

【解答】解：原式=三—2

_%2—9

一X—3

_(x+3)(x—3)

-x—3

=x+3,

當x=l時，原式=1+3=4.

11.（2022?衢州）（1）因式分解：a2-1.

CL—11

(2)化間：n+Zp

【分析】（1）應用因式分解-運用公式法，平方差公式進行計算即可得出答案;

（2）運算異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經過通分,

異分母分式的加減就轉化為同分母分式的加減，進行計算即可得出答案.

【解答】解(1)a2-1=(a-1)(a+1)；

a-11112

(2)-n-+---=---+---=----.

a'—1a+1a+1a+1a+1

111

111111+

---一

12.(2022?舟山)觀察下面的等式：-=-+-=-+45

乙。U。TT_L乙20

（1）按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含〃的等式表示，〃為正整數）.

（2）請運用分式的有關知識，推理說明這個結論是正確的.

【分析】（1）觀察已知等式，可得規律，用含〃的等式表達即可;

（2）先通分，計算同分母分式相加，再約分，即可得到（1）中的等式.

111

【解答】解：（1）觀察規律可得：-二下+丁不；

nn+1n（n+l）

11

(2)---+-------

n+1n(n+l)

n

-E+擊

n+1

n(n+l)

_1

-n

111

=---+-------.

nn+1n（n+l）

13.（2022秋?拱墅區校級期中）（1）已知胃=7,求2（a地_7°的值.

a—ba—b3（a+b）

（2）求當a=W,b=-1時代數式-2a2b-a+3ba+a2的值.

【分析】（1）根據題意求出=3代入計算即可；

a+b7

（2）把a、b的值代入代數式，根據實數的混合運算法則計算，得到答案.

a+b

【解答】解：⑴V—=7,

.a—b1

'a+b7'

11120

則原式=2X7-xy=14—=13^"；

(2)當a=K，b=-1時，

-2a2b-a+iba+a2

=-2X(V3)2X(-1)-V3+3X(-1)xV3+(V3)2

=2X3X1-V3-3V3+3

=6-V3-3V3+3

=9-4V3.

1.分式的基本概念：

(1)形如4(/,8是整式，且魚中含有字母，旦W0)的式子叫做分式.

B

(2)當3W0時，分式《有意義；當2=0時，分式義無意義；當4=0且2W0時，分式4的值為零.

BBB

(3)最簡分式需滿足的條件：分子、分母沒有公因式.

2.分式的基本性質：

分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式,分式的值不變，用式子可表示為4="絲，4=

BB乂MB

土A—4M(其中M是不等于零的整式).

B+M

3.分式的約分、通分：

把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.

把幾個異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，叫做分式的通分.

4.分式的運算法則：

(1)符號法則：分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何西個，分式的值不變.

由37十一在aa~a—aaa—a

用式子表不為：-=----==-，--=--=.

b-b~bbb-bb

(2)分式的加減法：

同分母相加減：-±-=—;

CCC

異分母相加減：。土

acac

(3)分式的乘除法：

4—.a^c=qd

bdbdbdbe

(4)分式的乘方：

為正整數）?

5.分式的混合運算：

在分式的混合運算中，應先算乘方,再將除法化為乘法,進行約分化簡，最后進行加減運算.若有括號,

先算括號里面的.靈活運用運算律，運算結果必須是最簡分式或整式.

【變式訓練】

考點一臺式的彳美概念

7712—4

例1.（2021春?奉化區校級期末）當冽為何值時，分式r----7的值為°?

m—m—6

【分析】根據分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零列式計算.

【解答】解：由題意得，m2-4=0,m2-m-6T^0,

解得，m=2,

則當加=2時，此分式的值為零.

【變式訓練】

■X—2

1.（2022春?嘉興期末）要使分式7人丁屋有意義,x的取值應滿足（）

（%—2）（%—3）

A.%W2B.%W3C.xW2或xW3D.xW2且

【分析】根據分式有意義的條件即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：（％-2）（x-3）W0,

J?xW2且xW3.

故選：D.

x—1

2.（2022春?溫州期末）若分式~~7的值為0，則%的值是（）

2%+1

11

A.-4B.0C.-D.1

22

【分析】根據分式的值為零的條件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案.

【解答】解：???1-1=0且2%+lWO,

??x=1.

故選：D.

3.（2。22春?拱墅區期末）若分式上值為正數,則x的值可能為（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】根據題意列出不等式即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：x-2>0,

故選：D.

%一b

4.（2022春?樂清市期末）當x=3時，分式一宗沒有意義，則b的值為（）

x+2b

33

A.-3B.-4C.-D.3

22

【分析】當x+2b=0時，分式沒意義，把x=3代入x+26=0,求得b的值.

Y—b

【解答】解：???當x=3時，分式一了沒有意義，

x+2b

.".x=3時，x+2b=0,

b=—

故選：B.

5.（2022春?西湖區校級期末）某人從/地到8地的速度為vi,從8地返回/地的速度為V2,若viWv2,

則此人從A地到B地往返一次的平均速度是（）

也+"2V1+V2

.B.

2%也2

C.以上都不對

【分析】根據平均速度=總路程+總時間來解答.

【解答】解：本題沒有43兩地的單程，可設為1,那么總路程為2,

總時間為—+—,平均速度=2+（—+—）=之罄.

V1V2V1V2vl^v2

故選：C.

考點二臺式的基點植質&青用

例2.不改變分式的值，把下列分式的分子與分母的最高次項的系數都化為正數.

-2x-l

(1)-

3—x

(2)—2—

—X2+2

【分析】根據分子、分母、分式中有兩個改變符號，分式的值不變進行變形即可.

【解答】解：（1）原式=一空生

x—1

（2）原式=急.

【變式訓練】

1.（2022春?海曙區校級期中）若把的值同時擴大為原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（）

x+2x—2C,9xy

A.——B.——D.

y+2y-2x-yx+y

【分析】根據分式的基本性質即可求出答案.

【解答】解“再3%+2^屈，故/不符合題意.

3%—2X—2

B、，故2不符合題意.

3y—2y—2

*=也，故。符合題意.

3x—3yx—y

丹故。不符合題意.

D、

3%+3y%+y

故選：C.

2.（2022春?普陀區期末）如果把分式戶二中的x,y都擴大3倍，那么分式的值（）

3x—y

A.縮小3倍B.不變C.擴大3倍D.擴大9倍

【分析】根據分式的基本性質，進行計算即可解答.

【解答】解：由題意得:

3x-3y3xy

3-3x—3y3x—yf

如果把分式4中的X，y都擴大3倍，那么分式的值擴大3倍,

3x—y

故選：C.

05%—1

3.（2022春?上虞區期末）不改變分式的值，把它的分子和分母中各項的系數都化為整數，結果為

0.3%4-2

)

0.5x—15%-10

A.----------B.----------

3x4-20.3%+2

5%-15%-10

C.--------D.----------

3x+23x+20

【分析】利用分式的基本性質：分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變.把

原分式的分子分母同乘10,再進一步計算即可.

■K0-0.5x—1(0.5x—1)x105x—10

解口解：0.3x+2=(0.3x+2)X10=3x+20'

故選：D.

4⑵22春.濱湖區校級期中)己知5x=(v=7z則U2x+v—忑z=—39一

【分析】首先設恒等式等于某一常數，然后得到X、八Z與這一常數的關系式，將各關系式代入求值.

xVzLx-\-y—z4k+3k-4k3k3

【解答】解：設747=左，貝Ux=2k,y=3k,z=4k,則^---

2343x—2y+z6k—6k+4k4k4

故答案為;.

4

考點三家泰照察和負疊核器破零

例3.(2020春?安吉縣期末)計算：(-2)3+(ir-3)°.

【分析】先計算乘方和零指數累，再計算加減可得.

【解答】解：原式=-8+1=-7.

【變式訓練】

1.(2021?下城區一模)下列計算結果是負數的是()

A.2-3B.3~2C.(-2)3D.(-3)2

【分析】直接利用負整數指數幕的性質以及有理數的乘方運算法則分別計算得出答案.

【解答】解：/、2-3=1,故此選項不合題意；

B、3一2=/，故此選項不合題意；

C、(-2)3=-8,故此選項符合題意；

D、(-3)2=9,故此選項不合題意；

故選：C.

2.(2021?溫州模擬)計算|-2|+2-1的結果是()

111

A.-1-B.0C.1-D.2-

【分析】直接利用負整數指數幕的性質化簡得出答案.

11

【解答】解：|-2|+2-1=2+9=27

故選：D.

3.(2022春?東陽市期末)計算：2022°-(1)[=-1.

【分析】根據零指數幕的意義以及負整數指數哥的意義即可求出答案.

【解答】解：原式=1-2

-1,

故答案為：-1.

4.（2022?麗水）計算：V9-（-2022）0+21

【分析】分別根據算術平方根的定義，任何非零數的零次幕等于1以及負整數指數幕的意義計算即可.

【解答】解：原式=3-1+々

=2、十+2-

5

=2,

5.（2021春?惠來縣期末）計算：（—3）2+（*）-1+（兀—3）°.

【分析】直接利用負整數指數幕的性質以及零指數基的性質分別化簡得出答案.

【解答】解：原式=9+2+1

=12.

考點四臺式的四則運算

例4.（2022?臨安區一模）以下是方方化簡（Q—1+擊）+彳譽的解答過程.

解：原式=d-l+l).毋

2X

二0

_a2+a

—a+2

方方的解答過程是否有錯誤？如果有，請寫出正確的解答過程.

【分析】根據分式運算法則作出判斷，并寫出正確解答.

【解答】解：方方的解答過程有錯誤，正確解答過程如下:

rgix_ct2—1+1a（a+2）

原式=a+1+a+1

2

—_a__?---a--+--1---

a+1a（a+2）

a

=a+2,

【變式訓練】

1.（2022春?錢塘區期末）下列分式中，最簡分式是（）

a+14a2aa+b

A.f----B.-----yC.-----D

az—l6bcz2—a-

【分析】利用最簡分式定義進行分析即可.

【解答】解：A.該分式的分子、分母中含有公因式（a+1）,不是最簡分式，故此選項不符合題意;

該分式的分子、分母中含有公因數2,不是最簡分式，故此選項不符合題意；

C、該分式是最簡分式，故此選項符合題意;

D、該分式的分子、分母中含有公因式（a+b）,不是最簡分式,故此選項不符合題意;

故選：C.

2.（2020春?江北區期末）計算^---（加2一4）的結果是（）

2—m

A.m2-4B.4-m2C.m2-4m-4D.-m2-4m-4

【分析】根據分式的乘法法則、完全平方公式計算即可.

2+?71

【解答】解：--Cm2-4）

2—m

_（+2）（-2）

2—mm

=-（m+2）2

--rrr-4m-4,

故選：D.

3.（2022春?竦州市期末）下列運算正確的是（）

112112

A.一十-=—B.-------------=f-----

2aa3aa—1a+11

3b2ab12b2b3

4a?9廬—63ab2

【分析】各式計算得到結果，即可作出判斷.

【解答】解：/、原式=克+/=4，不符合題意；

B、原式=瑞普先=言,符合題意；

C、原式=/，不符合題意；

D、原式=與籌’不符合題意?

故選：B.

4.（2022春?竦州市期末）如圖，若x為正整數，則表示；，°一一；的值的點落在（）

X2-6X+9X+1

①②③④

/.、、一，，、、一?、一，、.

0.150.451.051.652.25

A.①B.②C.③D.④

111

【分析】先將分式化簡、變形為一1，由X為正整數知一41,據此可得「從而得出答案.

1+-X1+-

XX

?5(%-3)21

【解答】解：--,n~—

xz—6%+9%+1

_(x-3)21

=(x-3)2-x+1

=1-冷

X

%+1

1

1+j'

為正整數,

1

.,.一<L

x

11

142

X

0—3)21

??X</J\-O-不的值的點落在②.

%2—6%+9

故選：B.

5.(2020?樂清市一模)(1)計算：it0-V9+-2

“eX2—162%—8

⑵化簡：K+k

【分析】(1)運用零指數基、負整數指數基法則計算即可;

(2)先分解因式，然后約分.

【解答】解：(1)原式=1-3+9

=7；

(2)原式=。+絲-4)4%

2(%-4)

=2x；

4%2

6.(2022春?定海區期末)化簡：^―--

4%—2

4%2

言言同學的解答如下：2.一~7=4%-2(%+2)=2%+4.

片一4x—2

言言同學的解答正確嗎？如果不正確，請寫出正確的解答過程.

【分析】利用分式的基本性質通分后化簡即可.

【解答】解：不正確，

4x2(%+2)

通分得:

(%—2)(%+2)(%—2)(%+2)

_4x—2(x+2)

一(%—2)(x+2)

2(%—2)

(%—2)(%+2)

2

x+2,

考點五臺式的也簡或值

例5.(2021?永嘉縣校級開學)計算:

先化簡，再求值：(1-工+黃)十高3P其中x的值是一元二次方程f+x-6=0的解.

【分析】先根據分式的加減法則算括號里面的，再根據分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，求出

X2+X=6,最后代入求出答案即可.

【解答】解：(一久+錦)+京3

(1—x)(H-x)+2x—1x—2

=^+1+.+1)2

=1-M+2十-l_(x+l)2

―^+1x-2

_-X2+2X,(^+1)2

-x+1x-2

=-x(x—2).0+1)2

-x+1-°x-2

=-X(x+1)

-x2-X,

Vx2+x-6=0,

??，+工=6,

???原式=--%=-(x2+x)=-6.

【變式訓練】

—2%4-121

1.(2022秋?西湖區校級期中)先化簡再求值：-------(2-%一3),其中x=(2-2V3)°+(-)-1.

%+2%十/2

【分析】根據分式的混合運算法則把原式化簡，根據零指數幕和負整數指數幕的運算法則求出X,代入

計算即可.

。一1)2.4一/3

【解答】解:原式=

x+2,%+2x+2

22

_(x—l)e1—X

—x+2-x+2

=0-1)2、%+2

e

%+2(x+i)(i-x)

_1-x

=FP1,

當x=(2-2V3)°+(}i=l+2=3時，原式

31in

2.(2022?定海區校級開學)先化簡，再求值：(丁；一一)?學，其中x=2.

【分析】根據分式的加減運算以及乘法運算法則進行化簡，然后將X的值代入原式即可求出答案.

【解答】解：原式=語界1?出

(%十J)X

—X%+3

(x+3)(x—3)x

1

=-FZ3,

當x=2時，

原式=一白

=1.

3.(2022春?余姚市校級期