第1頁共13頁《直線和平面復(fù)習(xí)》課堂教學(xué)實錄（一）教學(xué)目標(biāo)1．配合系統(tǒng)復(fù)習(xí)，進一步培養(yǎng)空間想象力；2．借助平面幾何中，三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心等知識，解決立體幾何問題．教學(xué)重點和難點1．空間想象力的培養(yǎng)；2．分析問題能力與綜合運用知識能力的培養(yǎng)．教學(xué)設(shè)計過程師：同學(xué)們已經(jīng)很好地完成了知識總結(jié)的作業(yè)，有些同學(xué)還將知識的內(nèi)在聯(lián)系用圖表展示出來．也有的同學(xué)將各種位置關(guān)系用圖形語言和符號語言進行歸納和整理．在此一并提出表揚．我們將把這些總結(jié)用展板展示，請同學(xué)們互相學(xué)習(xí)．師：本節(jié)課我們將通過一組問題來進行復(fù)習(xí)．復(fù)習(xí)的目的之一是進一步培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象力．關(guān)于空間想象力的問題，在高一年級剛開始時，單純的想象占主導(dǎo)地位，隨著一個學(xué)期的學(xué)習(xí)，關(guān)于線面的各種位置關(guān)系及性質(zhì)研究的深入，單純的想象力就轉(zhuǎn)化為：在線面各種位置關(guān)系的定義、性質(zhì)定理指導(dǎo)下的想象．請先看下面一組題目：填空題：1．空間三個平面可能將空間分成______部分．2．正方體各個面所在的平面將空間分成______部分．3．與空間四個點距離相等的平面有______個．*4．A，B，C，D是空間不共面的四點．它們到平面α的距離比（依次）為：2∶1∶1∶1，滿足條件的平面α有＿＿個．生：第1題空間三個平面可能將空間分成4或6或7或8部分．師：請你畫圖說明你的觀點．生：（作圖）師：很好，圖1、圖2、圖3、圖4依次表示三個平面將空間分成4，6，7，8部分．生：第2題答案是27．師：你給同學(xué)們解釋一下，答案為什么是27．生：（手拿一個粉筆盒）這個粉筆盒近似看成一個正方體，它的上底面與下底之間被分成9部分．同樣，上底面上邊與下底面下面也各被分成9部分．總計正方體各個面所在的平面將空間分成27部分．師：對于第3小題，需要先證明下面的命題：線段AB與平面α相交，若AB中點C在平面α上，則點A、點B到平面α的距離相等．生A：本題的答案為4，因為經(jīng)過有公共頂點的三條棱的中點作截面，根據(jù)老師剛介紹的引理，可以證明這樣的截面符合條件．（如圖5）生B：還有一種情況．剛才生A所作平面使已知四個點中有三個在平面的同一側(cè)，另外一個點在另一側(cè)．我想所作平面兩側(cè)各有2個點．如圖6．這類平面共有3個，即V，A兩點在平面同側(cè)；V，B兩點在平面同側(cè)；V，C兩點在平面同側(cè)．師：剛才兩名同學(xué)講的都很好，相互補充，符合條件的平面共有7個．同學(xué)們有不同意見嗎？……師：剛才兩名同學(xué)都認(rèn)為已知四個點不共面，事實上，當(dāng)這四個點共面時，符合題目要求的平面有無數(shù)個．只要與四點所在平面平行的平面都符合要求．生：老師，如果這四個點共線呢？師：當(dāng)四個點共線時，只要與這條直線平行的平面均符合條件，這個題目的正確答案應(yīng)該是7個或無數(shù)個．分類討論的方法不僅在代數(shù)課上使用，幾何學(xué)中也經(jīng)常使用，此題就是按照圖形的不同位置關(guān)系進行分類討論．我們繼續(xù)討論第4題．生：我認(rèn)為仿照第3小題的解答，可提出下面引理：若點A、點B師：他的猜測是正確的．這個命題的正確性請同學(xué)們課下論證．下面我們討論第4小題的解法．生A：分別延長AB，AC，AD至B1，C1，D1，使BB1=AB，CC1=AC，DD1=AD，如圖7，則平面α就是平面B1C1D1．生B：分別在AB，AC，AD上取點B′，C′，D′，使得：師：分別取BC，CD，DA的中點E，F(xiàn)，G．那么經(jīng)過EG的任何一個平面都滿足：它與B，C，D三點的距離相等，在這些平面中，經(jīng)過點B′或經(jīng)過C′D′（因為C′D′∥CD∥GE）的平面符合題目要求．（圖8）經(jīng)過EG有兩個平面符合題意．同樣，經(jīng)過EF，F(xiàn)G各有兩個平面符合題意，綜合以上分析共有8個平面符合題目要求．師：問題5．是否存在一個四面體，它的每個面都是直角三角形？請同學(xué)們思考．……生A：我找到一個幾何體，它的三個面都是直角三角形．如圖

9．∠AVB=∠BVC=∠CVA=90°．生B：我曾經(jīng)證過生A所給的圖中，△ABC是銳角三角形．師：根據(jù)兩名同學(xué)的發(fā)言，給我們以下啟示：三個面是直角三角形的幾個體已經(jīng)找到；三個直角頂點不能是同一個點！構(gòu)造∠VAB=∠VAC=90°，且∠BAC≠90°．再構(gòu)造∠ACB=90°，同學(xué)們不難證明∠VCB=90°．生：是根據(jù)三垂線定理．師：空間想象力在不同時期有不同要求．上面這個問題如果是高一第一學(xué)期開始讓同學(xué)們作，那就只有想象或動手制做模型．現(xiàn)在解決它，可以借助我們所學(xué)的線面位置關(guān)系去尋找解決問題的方法，并且在想象結(jié)束時，論證想象的合理性．師；如圖11，正方體ABCD-A1B1C1D1，P，Q，R分別在C1D1，CC1，AB上．畫出截面PQR與正方體各面的交線．由公理知：PQ面DC1．因為面AB1∥面DC1，截面與它們相交，交線必平行（根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理）．過點R在面AB1中作PQ平行線交AA1于S．PQ交DC于T，TR交BC于E，連結(jié)EQ，過S作SF∥EQ交A1D1于F，連FP，則多邊形PQERSF的邊就是截面PQR與正方體各面的交線．師：同學(xué)們請看下面一組題：6．從平面外一點向平面引垂線和斜線，若斜線與平面所成的角都相等，垂足是斜足多邊形的______心．7．直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=6，BC=8，△ABC所在平面外一點P，PA=PB=PC=13，點P到△ABC所在平面的距離為______．生：垂足是斜足多邊形的外心，因為從平面外一點向平面引斜線．它們與平面所成角相等，可以得到它們的長相等，它們在平面內(nèi)的射影長也相等．師：同學(xué)們還可以進一步思考，滿足什么條件時，垂足是斜足多邊形的內(nèi)心？垂足有沒有可能成為斜足多邊形的重心？垂心？做完一道題目之后，不要滿足于題目的本身，能夠?qū)l件、結(jié)論變換后的有關(guān)命題進行研究，可達(dá)到事半功倍，提高能力的效果．師：根據(jù)已知條件，第7小題中，點P在△ABC所在平面上的射影恰為△ABC的外心．由于△ABC是直角三角形，所以由點P引平面ABC的垂線，垂足恰為△ABC斜邊AB的中點，你們知道了解題思路嗎？生：作PD⊥面ABC于D，由PA=PB=PC，得DA=DB=DC，D是△ABC外心．又因為∠ACB=90°，由平面幾何知識，得出D為AB的中點．PA=13，AD=5，PD=12．即點P到平面ABC的距離為12．師：三角形的垂心、內(nèi)心、外心、重心的知識在立體幾何中經(jīng)常使用．有一些題目本身沒有明確給出，如第7小題，恰到好處地運用四心有關(guān)的知識，可簡化解題過程．下面一道題目也是與三角形的“心”有關(guān)的問題．8．如圖13，正△ABC邊長為a，O為外心，PO⊥面ABC，PA=PB=PC=b，D，E分別為AC，AB的中點，且PA∥面DEFG．求：四邊形DEFG的面積．由題設(shè)我們能得到哪些有用的結(jié)論？生A：因為PA∥面EFGD，由線面平行的性質(zhì)可得：EF∥PA，GD∥PA，所以EF∥DG．由D，E分別是AB，AC的中點，DE∥BC，所以BC∥面DEFG．進一步得出BC∥FG．綜上DEFG是平行四邊形．能求出平行四邊形DEFG的面積．師：到目前為止，已知條件中還有兩條沒有發(fā)揮作用．①等邊△ABC；②O為△ABC的外心，生C：當(dāng)O為等邊三角形外心時，它也是等邊△ABC的垂心．即BC⊥AO，又PO⊥面ABC，由三垂線定理知：BC⊥PA．已經(jīng)證明了EF∥PA，BC∥DE，得出EF⊥DE，EFGD為一矩形，它的面積師：有效地利用“心”的有關(guān)概念，較好地解決一些立體幾何問題．本節(jié)課重點討論了兩個方面的問題；1．關(guān)于空間想象力的進一步培養(yǎng)問題．不是空象，要注意有意識地利用各種線面位置關(guān)系．2．通過問題，適當(dāng)復(fù)習(xí)了平面幾何中的“四心”問題，進一步掌握利用“四心”的知識解決的方法．下面布置作業(yè)：（略）《直線和平面復(fù)習(xí)》課堂實錄（二）教學(xué)目標(biāo)結(jié)合第一章的內(nèi)容，滲透數(shù)學(xué)思想方法．（數(shù)形結(jié)合思想；方程的思想；轉(zhuǎn)化的思想；分類討論的思想）教學(xué)重點和難點數(shù)學(xué)思想的滲透與培養(yǎng)．教學(xué)設(shè)計過程師：今天是復(fù)習(xí)課的最后一節(jié)．今天以復(fù)習(xí)題目中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為主線，研究幾種常用數(shù)學(xué)思想在本章的體現(xiàn)．分類討論的思想是同學(xué)們比較熟悉的．使用較多的是在代數(shù)課上y=ax2+bx+c的圖象，當(dāng)a＞0時，開口向上；當(dāng)a＜0時，開口向下．幾何中，分類討論思想的應(yīng)用，主要是依據(jù)圖形中元素位置關(guān)系的不同而展開的．請看以下一組題目：例1

已知：a∥b，直線a平面α，直線b平面α，直線c平面α，c∥a．若直線a與直線b的距離為6cm，直線b與直線c的距離5cm，直線c與平面α的距離為4cm．求：直線a與直線c的距離．（教師畫圖）生A：在直線c上任取一點A，作AB⊥α于B，過B作BC⊥a于C，反向延長交b于D，因為a∥b，所以BC⊥b．分別連結(jié)AC、AD，根據(jù)三垂線定理，a⊥AC，b⊥AD．據(jù)題意知：CD=6cm，AD=5cm，AB=4cm，在Rt△ABD中，求出BD=3cm，所以BC=3cm，在Rt△ABC中，求出AC=5cm．師：哪位同學(xué)對“生A”的解答有補充？師：生A的解答基礎(chǔ)是依據(jù)我畫的圖．而原題中并沒有給圖，也沒有“如圖”這樣的說明，因此我們先要研究圖應(yīng)該怎么畫！生B：老師，我對“生A”的發(fā)言有補充．這個題目的圖形還有以下兩種可能：師：好．這道題目體現(xiàn)了分類討論的思想．它是根據(jù)直線c在平面α內(nèi)射影的不同位置來進行討論的．生C：老師，我認(rèn)為還有兩種情況：情形1：直線c在平面α內(nèi)射影與直線a重合．情形2：直線c在平面α內(nèi)射影與直線b重合．師：“生C”同學(xué)的補充很好．例1應(yīng)該分為5種情況來討論．但是其中會有一些情況無解，請同學(xué)們現(xiàn)在實踐一下．圖一的位置．其余三種位置關(guān)系均無解．師：還有一點提醒同學(xué)們注意：對于不同的位置關(guān)系，解題時都要給予論述，對于無解的情形要講清無解的原因。有些同學(xué)認(rèn)為無解就不用寫了，這種認(rèn)識是錯誤的．再看例2．例2

平面α外兩點A，B，它們到平面α的距離分別為a，b，求：點P到平面α的距離．生A：我認(rèn)為有兩種情況：一種是點A、點B在平面α同側(cè)；另一種是點A、點B在平面α異側(cè)．生B：我有不同看法，已知條件中沒有給出a，b的大小關(guān)系，“生A”解決圖5情形時，默認(rèn)為b＞a是不對的，應(yīng)該再分兩種情形：師：“生B”的補充很好，例2不僅在圖形的位置關(guān)系上分類討論，還要根據(jù)數(shù)據(jù)a，b的大小關(guān)系來分類討論．如果簡化題目，已知條件上補一個條件：b＞a，是否上述解答就全面了呢？生C：當(dāng)A，B兩點在兩側(cè)時，在圖6中，點P不一定在A1B1上方．當(dāng)b＞2a時，點P位于A1B1上方；當(dāng)b=2a時，點P在A1B1上；師：經(jīng)過“生C”的補充，題目解答就全面了．下面談一下方程的思想．在初中階段，同學(xué)們重點研究了列方程解應(yīng)用題，這就是最基本的方程的思想．通過設(shè)未知數(shù)，尋求已知量與未知量之間的關(guān)系，從而獲得問題的解決．下面請看例3．例3

如圖7，二面角α-l-β，點B∈l，ABα，BCβ．∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=60°．求：二面角α-l-β的大小．師：首先我們可以根據(jù)二面角的平面角的定義構(gòu)造二面角的平面角．具體作法是：在l上選點D，經(jīng)過點D分別在α，β平面內(nèi)作l的垂線交BA，BC于E，F(xiàn)．設(shè)AD=α，由∠ABD=45°得BD=a．∠EDF=90°．本例特點在于題目中沒有給出任何線段的長度，而是通過設(shè)未知量，進而知道已知與未知的關(guān)系．例4

二面角α-EF-β為120°，點A∈α，點B∈β，∠ACB為二面角的平面角，且AC=BC=a．在EF上取一點D．問：D點在何處時，∠ADE=∠ADB=∠BDE=θ？為了確定點D的位置，可設(shè)與D點有關(guān)的某一條線段長為x，依據(jù)題設(shè)建立等量關(guān)系．再求出x的值，同學(xué)們實踐一下．生A：在EF上取點D，設(shè)AD=x．因為

AC=BC=a，∠ACB=120°，因為

∠ADE=∠ADB=∠BDE=0，所以

∠ADC=180°-θ．△ABD中由余弦定理可得：AB2=x2+x2-2x2cosθ，生B：我認(rèn)為解答不全面，剛才“生A”的解答中，運用了圖8中各點之間位置關(guān)系．應(yīng)該給予討論，當(dāng)點D位于CF之間時，∠ADC=180°而不是等于180°-θ．師：“生B”的問題提的好，在“生A”的解答中，距點C的距離例5

如圖9，∠ASB=90°，∠CSB=75°，∠ASC=105°，由求：△ABC的周長．師：這道題目的難度在于如何建立一座溝通已知與未知的橋梁．生：觀察圖形，我發(fā)現(xiàn)圖中有三對全等三角形．△ADS≌△AFS；△FSC≌△ESC；△BES≌△BDS．設(shè)∠DSA=α，∠FSC=β，∠ESB=γ．師：上面列舉了3個題目，從不同的側(cè)面，以不同的形式反映出方程的思想在立體幾何解題中的作用．下面再談一下轉(zhuǎn)化的思想，轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵十分豐富．有條件的轉(zhuǎn)化；結(jié)論的轉(zhuǎn)化；圖形的轉(zhuǎn)化；解題策略的轉(zhuǎn)化……事實上，許多題目的解答過程都不同程度在使用轉(zhuǎn)化的思