PAGE3.3.2簡潔的線性規劃問題第1課時簡潔的線性規劃問題學習目標1.了解線性規劃的意義,能依據線性約束條件畫出可行域,能建立目標函數.(數學抽象、直觀想象、數學建模)2.理解并初步運用線性規劃的圖解法解決簡潔的線性規劃問題.(直觀想象、邏輯推理、數學運算)3.理解目標函數的最大、小值與其對應直線的截距的關系.(直觀想象、邏輯推理、數學運算)必備學問·自主學習導思1.什么是線性規劃?線性規劃的基本概念有哪些?2.如何求目標函數的最值?1.線性規劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x,y組成的不等式組線性約束條件由x,y的一次不等式組成的不等式組目標函數欲求最大值或最小值所涉及的變量x,y的函數解析式線性目標函數關于x,y的一次解析式可行解滿意線性約束條件的解(x,y)可行域全部可行解組成的集合最優解使目標函數取得最大值或最小值的可行解線性規劃問題在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題(1)線性目標函數的最優解肯定存在嗎?提示:不肯定.當可行域是開放區域,可行域的邊界取不到時可能沒有最優解.(2)可行域右上方的頂點肯定是最優解嗎?提示:不肯定.要依據目標函數對應的直線特點,即在y軸上的截距的意義確定.(3)在線性約束條件下,最優解唯一嗎?提示:不肯定,可能只有一個,可能有多個,也可能有多數個.2.線性目標函數的最值線性目標函數z=ax+by(b≠0)對應的斜截式直線方程是y=-QUOTEx+QUOTE,它表示斜率為-QUOTE,在y軸上的截距是QUOTE的一條直線,當z改變時,方程表示一組相互平行的直線.當b>0,截距最大時,z取得最大值,截距最小時,z取得最小值;當b<0,截距最大時,z取得最小值,截距最小時,z取得最大值.(1)若將目標函數z=x+y看成直線方程時,z具有怎樣的幾何意義?提示:把目標函數整理可得y=-x+z,z為直線在y軸上的截距.(2)z值的大小與直線2x-y-z=0的縱截距有何關系?提示:z隨直線的縱截距的增大而變小.1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)若線性規劃問題存在最優解,它只能在可行域的某個頂點達到.()(2)線性目標函數的最優解是唯一的.()(3)若目標函數為z=x-y,則z的幾何意義是直線z=x-y的截距.()提示:(1)×.存在最優解,但不肯定只在頂點達到.(2)×.最優解指的是使目標函數取得最大值或最小值的可行解.最優解不肯定唯一,有時唯一,有時有多個.(3)×.z的幾何意義是直線z=x-y的截距的相反數.2.設x,y滿意約束條件QUOTE則z=2x+y的最小值是()A.-15 B.-9 C.1 D.9【解析】選A.畫出約束條件QUOTE所表示的可行域如圖所示,將z=2x+y化為y=-2x+z,得到斜率為-2,在y軸上的截距為z的一族平行直線.由圖可知,當直線經過可行域上的點C時,截距z最小,由QUOTE解得QUOTE所以C(-6,-3),所以zmin=2×(-6)-3=-15.3.(教材二次開發:習題改編)若QUOTE則z=x-y的最大值為.

【解析】依據題意作出不等式組所表示的可行域如圖陰影部分所示.令z=0,作直線l:y-x=0.當直線l向下平移時,所對應的z=x-y的函數值隨之增大,當直線l經過可行域的頂點M時,z=x-y取得最大值.頂點M是直線x+y=1與直線y=0的交點,解方程組QUOTE得頂點M的坐標為(1,0),代入z=x-y,得zmax=1.答案:1關鍵實力·合作學習類型一線性目標函數的最值問題(直觀想象、邏輯推理、數學運算)1.(2024·浙江高考)若實數x,y滿意約束條件QUOTE則z=3x+2y的最大值是()A.-1 B.1 C.10 D.122.若x,y滿意約束條件QUOTE則z=4x+2y的最小值為()A.-17 B.-13 C.QUOTE D.203.(2024·全國Ⅲ卷)若x,y滿意約束條件QUOTE則z=3x+2y的最大值為.

【解析】1.選C.由線性約束條件可得可行域為圖中陰影部分所示:由QUOTE解得QUOTE所以A(2,2),所以zmax=3×2+2×2=10.2.選B.該可行域是一個以AQUOTE,B(4,2),CQUOTE為頂點的三角形區域(包括邊界).當動直線y=-2x+QUOTE過點CQUOTE時,z取得最小值,此時z=4×QUOTE+2×QUOTE=-13.3.不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界),因為z=3x+2y,所以y=-QUOTE+QUOTE,易知截距QUOTE越大,則z越大,平移直線y=-QUOTE,當y=-QUOTE+QUOTE經過A點時截距最大,此時z最大,由QUOTE,得QUOTE,A(1,2),所以zmax=3×1+2×2=7.答案:7解線性規劃問題的一般步驟(1)畫:在直角坐標平面上畫出可行域和直線ax+by=0(目標函數為z=ax+by);(2)移:平行移動直線ax+by=0,確定使z=ax+by取得最大值或最小值的點;(3)求:求出取得最大值或最小值的點的坐標(解方程組)及最大值和最小值;(4)答:給出正確答案.【補償訓練】1.若實數x,y滿意約束條件QUOTE則z=x+y的最大值是()A.0 B.1 C.6 D.7【解析】選C.作出實數x,y滿意的約束條件QUOTE對應的平面區域如圖:(陰影部分).由z=x+y得y=-x+z,平移直線y=-x+z,由圖象可知當直線y=-x+z經過點A時,直線y=-x+z的截距最大,此時z最大.由QUOTE解得AQUOTE.代入目標函數z=x+y得z=QUOTE+QUOTE=6.即目標函數z=x+y的最大值為6.2.已知(x0,y0)為線性區域QUOTE內的一點,若2x0-y0-c<0恒成立,則c的取值范圍是()A.(2,+∞) B.[2,+∞)C.(1,+∞) D.[1,+∞)【解析】選A.由已知得到可行域D如圖,由圖可知,對隨意(x0,y0)∈D,不等式2x0-y0-c<0恒成立,即c>2x-y恒成立,即c>(2x-y)max,當直線z=2x-y經過圖中B(1,0)時,z最大為2,所以c>2.3.(2024·北京高考)若x,y滿意x+1≤y≤2x,則2y-x的最小值是.

【解析】x+1≤y≤2x等價于不等式組QUOTE畫出可行域如圖,令z=2y-x,化為斜截式得y=QUOTEx+QUOTEz,直線斜率為QUOTE,在y軸上的截距為QUOTEz,直線越往下,QUOTEz越小,z越小,由QUOTE得最優解為(1,2),所以z=2y-x的最小值為3.答案:3類型二線性規劃中的參數問題(數學抽象、邏輯推理、數學運算)【典例】1.x,y滿意約束條件QUOTE,若z=kx+y取得最大值的最優解有多數個,則實數k的值為()A.-1 B.0 C.1 D.-1或02.若x,y滿意QUOTE且2x+y的最小值為1,則實數m的值為()A.-5 B.-1 C.1 D.5【思路導引】1.利用目標函數與可行域邊界平行求解.2.作出可行域,用m表示最優解,利用最小值求m的值.【解析】1.選A.不等式組對應的平面區域如圖:由z=kx+y得y=-kx+z,當k=0時,直線y=-kx+z=z,此時取得最大值的最優解只有一個,不滿意條件;當-k>0時,直線y=-kx+z截距取得最大值時,z取得最大值,直線與x=y重合時,最大值有多數個,則-k=1,解得k=-1;當-k<0時,目標函數的最優解只有一個,不滿意題意.2.選B.畫出滿意條件的平面區域,如圖所示:由QUOTE,解得A(2m+3,m),設z=2x+y,則y=-2x+z,明顯直線過A(2m+3,m)時,z最小,所以4m+6+m=1,解得:m=-1.數形結合求解參數問題首先要嫻熟線性規劃問題的求解步驟和確定最優解的方法,其次要明確線性目標函數的最值一般在可行域的頂點或邊界處取得,對邊界直線的斜率與目標函數對應的直線的斜率要比照分析.1.已知x,y滿意約束條件QUOTE若目標函數z=mx+y的最大值為-2,則實數m的值為()A.3 B.-3 C.3或-3 D.0或3【解析】選B.不等式組表示的平面區域如圖中的陰影部分所示.由題意得m+1=-2,得m=-3.2.設x,y滿意約束條件QUOTE且z=x+ay的最小值為7,則a=()A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3【解析】選B.當a=-5時,作出不等式組表示的可行域,如圖甲(陰影部分).由QUOTE得交點A(-3,-2),則目標函數z=x-5y過A點時取得最大值.zmax=-3-5×(-2)=7,不滿意題意,解除A,C選項.當a=3時,作出不等式組表示的可行域,如圖乙(陰影部分).由QUOTE得交點B(1,2),則目標函數z=x+3y過B點時取得最小值.zmin=1+3×2=7,滿意題意.當a=5時,同理可求當過C(2,3)時,z最小為17,不符合題意故解除D.3.如圖所示的平面區域,若使目標函數z=ax+y(a>0)取得最大值的最優解有無窮多個,則a的值為.

【解析】因為z可看作是z=ax+y在y軸上的截距,由可行域可知,當z=ax+y與AC重合時,使z取得最大值的點有無窮多個,又kAC=QUOTE=-QUOTE,所以-a=-QUOTE,a=QUOTE.答案:QUOTE【拓展延長】1.含參數的線性目標函數問題的求解策略(1)約束條件中含有參數:此時可行域是可變的,應分狀況作出可行域,結合條件求出不同狀況下的參數值.(2)目標函數中含有參數:此時目標函數對應的直線是可變的,假如斜率肯定,則對直線作平移變換;假如斜率可變,則要利用斜率與傾斜角間的大小關系分狀況確定最優解的位置,從而求出參數的值.2.直線的斜率k與傾斜角α的關系(1)0<k1<k2時,0<α1<α2<QUOTE;(2)k1<k2<0時,QUOTE<α1<α2.即當斜率同為正或同為負時,均滿意斜率越大,傾斜角越大,可以通過斜率來比較目標函數與邊界傾斜程度的大小,從而確定最優解的位置.【拓展訓練】(1)設x,y滿意不等式組QUOTE若z=ax+y的最大值為2a+4,最小值為a+1,則實數a的取值范圍為()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由約束條件QUOTE作出可行域如圖所示,則A(1,1),B(2,4),由z=ax+y得y=-ax+z,直線y=-ax+z是斜率為-a,y軸上的截距為z的直線,因為z=ax+y的最大值為2a+4,最小值為a+1,所以直線z=ax+y過點B時,取得最大值為2a+4,經過點A時取得最小值為a+1,若a=0,則y=z,此時滿意條件;若a>0,則目標函數斜率k=-a<0,要使目標函數在A處取得最小值,在B處取得最大值,則目標函數的斜率滿意-a≥kAC=-2,即0<a≤2;若a<0,則目標函數斜率k=-a>0,要使目標函數在A處取得最小值,在B處取得最大值,則目標函數的斜率滿意-a≤kBC=QUOTE,即-QUOTE≤a<0,綜上-QUOTE≤a≤2.(2)已知約束條件QUOTE且目標函數z=a2x+(a-2-a2)y取得最小值的最優解唯一,為(2,2),則a的取值范圍是.

【解析】線性約束條件所表示的區域如圖中陰影部分所示.由于目標函數y的系數a-2-a2=-QUOTE-QUOTE<0,x的系數a2≥0,故平行直線系z=a2x+(a-2-a2)y的斜率QUOTE>0.由于是最小值問題且最優解唯一,為圖中的點A(2,2),從而只需QUOTE<QUOTE,解得QUOTE<a<QUOTE.答案:QUOTE【補償訓練】(1)若x,y滿意約束條件QUOTE且z=ax+y的最大值為2a+6,則a的取值范圍是()A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)【解析】選A.作出不等式組對應的平面區域如圖,(陰影部分).由z=ax+y,得y=-ax+z,平移直線y=-ax+z,要使z=ax+y的最大值為2a+6,即直線y=-ax+z經過點A(2,6)時,截距最大,則目標函數的斜率-a滿意-a≤1,解得a≥-1.(2)設z=kx+y,其中實數x,y滿意QUOTE若z的最大值為12,則實數k=.

【解析】作出可行域如圖陰影部分所示:由圖可知當0≤-k<QUOTE時,直線y=-kx+z經過點M(4,4)時,z最大,所以4k+4=12,解得k=2(舍去);當-k≥QUOTE時,直線y=-kx+z經過點(0,2)時,z最大,此時z的最大值為2,不合題意;當-k<0時,直線y=-kx+z經過點M(4,4)時,z最大,所以4k+4=12,解得k=2,符合題意.綜上可知,k=2.答案:2類型三非線性目標函數的最優解問題(邏輯推理、數學運算、數學建模)角度1轉化為距離問題【典例】設x,y滿意約束條件QUOTE,則z=(x+1)2+y2的最大值為()A.41 B.5 C.25 D.1【思路導引】z=(x+1)2+y2=QUOTE,轉化為求(x,y),(-1,0)兩點之間的距離的平方.【解析】選A.依據x,y滿意約束條件QUOTE,畫出可行域:z=(x+1)2+y2=QUOTE表示D(-1,0)到可行域內某點的距離的平方,由QUOTE解得A(3,5),當點D與點A(3,5)連線時,AD距離最大,則z=(x+1)2+y2的最大值是A(3,5)到D(-1,0)的距離的平方為41.本例的條件不變,試求z=(x+1)2+y2的最小值.【解析】由本例中的可行域可知,z=(x+1)2+y2的最小值為點(-1,0)到直線x+y=0距離的平方,故所求的最小值為QUOTE=QUOTE.角度2轉化為斜率問題

【典例】已知實數x,y滿意不等式組QUOTE則z=QUOTE的最大值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【思路導引】作出不等式組對應的平面區域,把所求問題轉化為(x,y),(-3,0)兩點之間的斜率即可得到結論.【解析】選C.如圖,陰影部分為可行域,目標函數z=QUOTE表示可行域中點(x,y)與(-3,0)連線的斜率,由圖可知點P(1,3)與(-3,0)連線的斜率最大,故z的最大值為QUOTE.已知實數x,y滿意QUOTE,則QUOTE的最大值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選D.作出實數x,y滿意QUOTE對應的平面區域如圖:QUOTE的幾何意義是區域內的點到定點D(-3,0)的斜率,由圖象知DA的斜率最大,由QUOTE得A(-2,1),則DA的斜率k=QUOTE=1,則QUOTE的最大值為1.角度3轉化為點到直線的距離問題【典例】已知QUOTE求z=|x+2y-4|的最大值.【解析】作出不等式組表示的平面區域,如圖中陰影部分所示.方法一:z=|x+2y-4|=QUOTE×QUOTE,其幾何意義為陰影區域內的點到直線x+2y-4=0的距離的QUOTE倍.由QUOTE得點C的坐標為(7,9),明顯點C到直線x+2y-4=0的距離最大,此時zmax=21.方法二:由圖可知,陰影區域(可行域)內的點都在直線x+2y-4=0的上方,明顯此時有x+2y-4>0,于是目標函數等價于z=x+2y-4,明顯當直線經過點C時,z取得最大值,由QUOTE得點C的坐標為(7,9),此時zmax=21.非線性目標函數的最值的求解策略(1)z=(x-a)2+(y-b)2型的目標函數可轉化為點(x,y)與點(a,b)距離的平方;特殊地,z=x2+y2型的目標函數表示可行域內的點到原點的距離的平方.(2)z=QUOTE型的目標函數可轉化為點(x,y)與點(a,b)連線的斜率.(3)z=|Ax+By+C|可轉化為點(x,y)到直線Ax+By+C=0的距離的QUOTE倍.易錯警示:目標函數z=x2+y2的幾何意義易錯誤理解為可行域內的點到原點的距離.1.已知實數x,y滿意約束條件QUOTE,則目標函數z=QUOTE的最小值為()A.-QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解題指南】變形:QUOTE=QUOTE,轉化為兩點連線的斜率求最小值.【解析】選B.作出不等式組對應的平面區域如圖:目標函數z=QUOTE的幾何意義為可行域內的動點M(x,y)和定點D(-1,2)連線的斜率,當M位于AQUOTE時,DA的斜率最小,此時zmin=QUOTE=-QUOTE.2.實數x,y滿意不等式組QUOTE則W=QUOTE的取值范圍是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.畫出題中不等式組所表示的可行域如圖所示,目標函數W=QUOTE表示陰影部分的點與定點A(-1,1)的連線的斜率,由圖可知點(-1,1)與點(1,0)連線的斜率為最小值,最大值趨近于1,但恒久達不到1,故-QUOTE≤W<1.3.已知實數x,y滿意約束條件QUOTE則z=|3x-4y-12|的最小值等于.

【解析】實數x,y滿意約束條件QUOTE其可行域為如圖所示的陰影部分.由z=|3x-4y-12|的幾何意義是可行域內的點到直線3x-4y-12=0的距離的5倍,由可行域可知,B到直線3x-4y-12=0的距離最小,且B(2,0),則z=|3x-4y-12|的最小值為:|3×2-4×0-12|=6.答案:6課堂檢測·素養達標1.(教材二次:開發練習改編)若x,y滿意QUOTE則z=x+3y的最小值為()A.-6 B.-1 C.3 D.4【解析】選B.作出不等式組表示的平面區域:得到如圖的陰影部分,其中A(2,-1),設z=F(x,y)=x+3y,將直線l:z=x+3y進行平移,視察直線在y軸上的截距的改變,可得當l經過點A時,目標函數z達到最小值.所以z最小值=F(2,-1)=-1.2.已知實數x,y滿意QUOTE則z=x+2y的最大值為()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選C.作出不等