《計算線段、角的常見應用》素養練

應用1線段、角的和差關系在計算中的應用

1.如圖，已知線段的長為延長線段至點C,使=瓦

2

(1)求線段AC的長(用含。的式子表示)；

(2)取線段AC的中點。，若QB=2,求a的值.

ADBC

2.(1)已知/BOC=120°,ZAOB=70°，求ZAOC的度數；

⑵已知ZAOB=80。,過點。作射線OC(不同于。4,,滿足NAOC=《ZBOC,

求NAOC的度數(題目中的角是小于平角的角).

應用2線段、角的倍分關系在計算中的應用

3.已知為線段A3上的點(AM<AN)，若AM:MN=5:2,NB-AM=12,

AB=24,求創/的長.

4.如圖，已知ZAOC=60°,/BOD=9Q°,ZAOB是ZDOC的3倍，求ZAOB的度數.

D

O'A

應用3線段的中點在計算中的應用

題型1線段中點的意義在計算中的應用

5.如圖，點C在線段A5上，點分別是的中點.

⑴若AC=8cm,CB=6cm，求線段MN的長.

(2)若AC+CB=acm,其他條件不變，你能猜想MN的長度嗎?并說明理由.

11111

AMCNB

題型2線段中點的意義在說明中的應用

6.畫線段MV=2cm,在線段政V上取一點。，使=延長線段mV到點A,

使⑷V=工MN;延長線段NM到點8,使BN=3BM.

2

(1)求線段技0的長；

(2)求線段AN的長；

(3)試說明點。是哪些線段的中點.

題型3線段中點的意義在動態問題中的應用

7.直線A3上有一點P,點分別為線段的中點.

⑴如圖，若點P在線段上,A6=14,AP=8,求線段肱V的長度；

⑵若點P在直線AB上運動，試說明線段"N的長度與點P在直線AB上的位置

無關.

AMNB

題型4方程思想在解線段中點問題中的應用

8.如圖，點C,D,E將線段A3分成1:2:3:4的四部分，M,P,Q,N分別是

AC,CD,DE,EB的中點，且跖V=15cm，求PQ的長.

_MPQN

A'C'D'E'B

題型5分類思想在解線段中點問題中的應用

9.已知A,B,C三點在同一條直線上，若線段AB=20cm，線段BC=8cm，點M,N分

別是線段的中點.

(1)求線段"N的長；

(2)根據⑴中計算過程和結果，設AB^a,BC^b,^a>b，其他條件都不變,你能猜

出MN的長度嗎?(直接寫出結果)

應用4角平分線在計算中的應用

題型1角平分線的意義在計算中的應用

10.如圖，已知OE是ZAOC的平分線,ZAOE=59°35；ZAOB=ZCOD=16。1722〃.

⑴求NBOC的度數；(2)比較NAOC與N5OD的大小.

A

題型2分類思想在解角平分線問題中的應用

11.已知射線OC是ZAOB的平分線，射線O￡＞是ZAOC的三等分線，且

ZAOB=72。,求ZCOD的度數.

題型3整體思想在解角平分線問題中的應用

12.如圖,ZAOB=90o,QV是ZAOC的平分線是ZBOC的平分線，求ZA/ON

的大小.

參考答案

1.答案：見解析

解析：（1）因為==

2

所以5C=^a,

2

因為AC=AB+3C,

-13

月f以AC=—a=—Q.

22

13

（2）因為AD=DC=/AC,AC=5〃，

所以。C=—a.

4

因為。B=2,3C=工a,OB=—5C,

2

所以2=,

42

所以a=8.

2.答案：見解析

解析：（1）分兩種情況：

如圖①,ZAOC=ZBOC-AAOB=120°-70°=50°;

如圖②,ZAOC=360O-ZBOC-ZAOB=360°-120°-70°=170°.

綜上,ZAOC的度數為50°或170。.

（2）分兩種情況：

如圖③，設N3OC=x。，

貝IUAOC=1|X］。，

所以x+gx=80,

解得％=50,所以NAOC=30。；

如圖④，設NBOC=y。，

則NAOC=1|y］。，

所以丁+卜+80=360,解得丁=175.

所以NAOC=105°.

綜上,ZAOC的度數為30°或105°.

B

③

3.答案：見解析

解析：設4W=5x,則兒〃V=2x,因為A?-40=12,所以7\?=12+5%.因為45=

24,所以AM+MN+NB=24,即5x+2x+12+5x=24.解得x=l,所以

BM=AW+BN=2x+12+5x=19.

4.答案：見解析

解析：設NDOC=x.因為NAOC=60。,所以NAOD=60。—%.因為NBOD=90。,

所以NAOB=90°+60°—x=150°—x.

因為NAO5=3NDOC,

所以150°-x=3x，解得x=37.5°.

所以ZAOB=3x37.5°=112.5°.

5.答案：見解析

解析：(1)因為點分別是AC,BC的中點，

所以CM=；AC=；x8=4(cm),

CN='c=gx6=3(cm),

所以肋V=OVf+OV=4+3=7(cm).

(2)MN=gacm.理由如下：

同⑴=-AC,CN=-BC,

22

所以政VnCM+CNJAC+LBcJiAC+BCQLcm.

2222

點撥:(1)根據“點M,N分別是AC,5C的中點”，先求出CM,CN的長度，再利用

MN=CM+CN即可求出"N的長度;(2)與⑴同理，先用AC,BC表示出

CM,CN,MN的長度就等于AC與3c長度和的一半.

6.答案：見解析

解析：如圖：

11111

BMQNA

⑴因為=3砌/，所以=gMN.

因為上W=2cm,

所以3M=Q><2=l(cm).

(2)因為AN=gMN,MN=2cm,

所以AN=1cm.

(3)因為肱V=2cm,MQ=NQ,

所以MQ=NQ=lcm.

所以BQ=+MQ=1+1=2(cm).

42=3+加=2011.所以8。=24.

所以。是"N的中點，也是A5的中點.

7.答案：見解析

解析：(1)MN=PM+PN=^AP+1PB=1(PA+PB)=1AB=7.

(2)可分三種情況討論:①當點P在線段A5上時,MN=g(PA+P3)=②當

點P在線段AB的延長線上時，如圖①，則MN=PM-PN=-AP--BP=

22

；(AP-3P)=gA3.③當點P在線段的延長線上時，如圖②，MN=PN-PM

^-BP-i-AP=-(BP-AP)=-AB.

2222

綜上，腦V=^A3.

2

所以線段"N的長度與點P在直線AB上的位置無關.

AMBNP

,①?

PMANB

②

8.答案：見解析

解析：設AC為xcm，則CD為2xcm,DE為3xcm,EB為4xcm,

由題意得—x+2x+3x+2x=15，所以x=2，所以CD=4cm,DE=6cm.所以

2

P2=1CD+1DE=5cm.BPP。的長為5cm.

9.答案：見解析

解析：⑴分兩種情況:①當點C在線段AB上時，如圖①.

因為點舷為A3的中點，所以MB=gAB=g><20=10(cm),因為點N為BC的中點,

所以師=；5。=3乂8=49111),所以必=處—BN=10-4=6(cm).

AMCNB

①

i?iii

AMBNC

②

②當點C在線段AB的延長線上時，如圖②.

因為點/為AB的中點，所以MB=gAB=；x20=10(cm).

因為點N為6c的中點，

所以BN=gg=gx8=4(cm),

所以腦V=Affi+BN=10+4=14(cm).

綜上，線段Af/V的長為6cm或14cm.

(2)MN=g(a+b)或MN=g(a—b).

10.答案：見解析

解析：⑴因為OE是NAOC的平分線,40石=59。35，，

所以ZAOC=2ZAOE=119°10'.

因為40笈=16。1722〃，

所以NBOC=NAOC—NAOB=102°52'38〃.

(2)因為ZBOC=102。52,38〃，

NCOD=16。1722〃，

所以ZBOD=ZBOC