第4講函數的極值、最值

［考情分析］利用導數研究函數的極值、最值是重點考查內容，多以選擇題、填空題壓軸考

查，或以解答題的形式出現，難度中等偏上，屬綜合性問題.

考點一利用導數研究函數的極值

【核心提煉】

判斷函數的極值點，主要有兩點

(1)導函數(X)的變號零點，即為函數/U)的極值點.

(2)利用函數式x)的單調性可得函數的極值點.

例1(2023?全國乙卷)已知函數八x)=g+a)ln(l+x).

(1)當a=—1時，求曲線y=/(x)在點(1,式1))處的切線方程；

(2)是否存在0,6,使得曲線＞=/?)關于直線尤=b對稱，若存在，求。，6的值，若不存在,

說明理由；

(3)若五功在(0,+8)上存在極值，求。的取值范圍.

解(1)當a=-l時，犬x)=g—l)n(x+l),

則/(x)=—5n(x+l)+g—1)由，

據此可得八1)=0,f(l)=-ln2,

所以函數在(1,犬1))處的切線方程為y—0=—ln2(x—1),

即(In2)x+y—In2=0.

⑵由函數的解析式可得/6)=。+4)皿&+1),

令w(x)=(x+＜2)ln^+1^,

1v-j—1

函數〃⑴的定義域滿足;+1=?。?,

即函數的定義域為(一8,—l)U(0,+°°),

定義域關于直線尸一;對稱，由題意可得/?=—

由對稱性可知

3

取機=］可得〃(1)=〃(一2),

即(〃+l)ln2=(〃-2)ln^=(2—tz)ln2,

則a+l=2—〃，解得〃=；,

經檢驗，〃=；,b=-3滿足題意，

故存在〃=3，b=-3滿足題意.

(3)由題意知，(%)

=卞ln(x+l)

令h(x)=ln(x+1)—x+]

則M0)=0,

X(4x+2〃-1)

h，a尸—a+i)2

當〃三3時，今a)<o在(o,+8)上恒成立，

故/z(x)在(0,+8)上單調遞減，

所以力(%)<%(0)=。即/。)>0,

所以兀￥)在(0,+8)上不存在極值；

當aWO時，/。)>0在(0,+8)上恒成立,

故力(%)在(0,+8)上單調遞增,

所以力。)>%(0)=0,即/(冗)<0,

所以五元)在(0,+8)上不存在極值；

當時，力'(X)在(。，十一2)上大于0,

故〃(x)在(0,5一2)上單調遞增，

且2Mo)=0,

又r(x)=—yln(x+l)

tzx+lln(x+l)

x(x~\-1)f

ln(x+l)

>x(x+l)x2

ax~1n(x+l)

=?，

令g(x)=—ln(x+1),

則當X—+8時，g(%)f+8,

故必存在孫￡(0,+8),使得g(xo)>O,

所以/(%。)>0，

由零點存在定理知符合題意.

綜上，a的取值范圍為(0,g.

易錯提醒(1)不能忽略函數的定義域.

(2斤(xo)=O是可導函數兀0在x=xo處取得極值的必要不充分條件，即(x)的變號零點才

是兀c)的極值點，所以判斷兀0的極值點時，除了找，(x)=0的實數根xo外，還需判斷其龍)

在xo左側和右側的單調性.

(3)函數的極小值不一定比極大值小.

跟蹤演練1(多選X2023?臨沂模擬)已知函數加)=2^—渥+2存在兩個極值點尤i,x2(xi<x2),

則以下結論正確的為()

A.0<a<e

B.0<xi<l<X2

C.若X2=2X”則〃=21n2

D.Inx\+%2>0

答案BD

解析由題可得，(x)=2e*—2ax,令f'(x)—0,

即ex—ax=0,顯然xWO,

若方程有兩個不相等的實數根Xl,X2(X1<X2),

則方程。=￡有兩個不相等的實數根不，X2(X1<X2),

即g(x)=￡的圖象與直線y=a有兩個交點，且橫坐標分別為Xi,X2(X1<%2),

ep-l)

又g'(尤)=x2

所以由g'(x)<0可得xG(—8,O)U(O,1),由g'(無)>0可得尤G(l,+8),

所以g(x)在(一8,0),(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

且當x<0時，g(x)<0；當無>0時，ga)>O.g(尤)圖象如圖所示.

對于A,要使函數加)=2e%一加+2存在兩個極值點％i,X2(xi<X2),則〃>g(l)=e,A錯誤;

對于B,當公e時，易知0<即<1<%2,B正確；

對于C,若％2=2為，

%x22%

ln22

得Xi=ln2,故"=]en2=]n2'C錯誤;

X1e^2

對于D,因為—e=---,

%X2

所以xie巧又0<xi〈l,

所以e*>l,x2>l,所以ee國>1,

故所以lnxi+x2>0,D正確.

考點二利用導數研究函數的最值

r核心提煉、

1.求函數“X)在山，切上的最大值和最小值的步驟

(1)求函數在(a,b)內的極值.

(2)求函數在區間端點處的函數值五a),fib).

(3)將函數的各極值與八。)，八匕)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

2.若函數含有參數或區間含有參數，則需對參數分類討論，判斷函數的單調性，從而得到函

數的最值.

b

例2(1)(2022?全國甲卷)當x=l時，函數yU)=alnx+嚏取得最大值一2,則/''(2)等于()

A.l1B.—2C，2D.1

答案B

解析因為函數/(x)的定義域為(0,+°°),

尸尸一2,

所以依題意可知V(1)=0,

h&/、ab

而fW=--^2,

b=-2,a=-2

所以即

a—b—G,b=~2

所以/(x)=—1+［，

因此函數?r)在(0,1)上單調遞增，在(1,十8)上單調遞減，

當x=l時取最大值，滿足題意.

所以/(2)=—1+；=一/

⑵(2023?撫州模擬)已知函數於)=e*—2無，g(x)=-x,且兀ri)=g(X2),則XL尬的最小值為

()

A.1B.eC.l-ln2D.2-ln2

答案A

解析由/Ui)=g(X2),得e』一2的=一尤2,

化簡整理得XI—X2=e』一X1,

因為g(x)的值域，f(x),g(x)的定義域均為R,

所以為的取值范圍也是R,

令/i(尤)=ex—x(xeR),h'(尤)=eY—1,

令e*—1=0,解得尤=0.

當xe(—8,0)時，h'(x)<0,即/z(x)在(一8,0)上單調遞減；

當xe(0,+8)時，h'(x)>o,即/i(x)在(0,+8)上單調遞增，

所以/?(X)min=/2(0)=1,故(/一X2)min=L

易錯提醒(1)求函數最值時，不可想當然地認為極值就是最值，要通過比較大小才能下結論.

(2)求函數無窮區間(或開區間)上的最值，不僅要研究其極值，還需研究單調性，結合單調性

和極值情況，畫出函數圖象，借助圖象得到函數的最值.

跟蹤演練2(1)(2023?葫蘆島模擬)函數7U)=cos尤+(x+l)sinx+l在區間［0,2兀］上的最大值為

()

A.—B.2

C.-咨D.^+2

答案D

解析f(x)=(x+l)cosx,當0,0時，

f(x)>0,段)單調遞增;

當天若，，(x)<。，於)單調遞減；

當2兀時，f(x)>0,式x)單調遞增，

/e)=升2,除i)=2,

???yU)max=/&=W+2.

(2)(2023?寶雞模擬)函數“xOnV+g—Dx—Bln尤在(1,2)上有最小值，則實數a的取值范圍為

答案(V2)

一3

解析f(%)—2x+(tz—1)——

2f+(a-l)x-3

=x'

設g(x)=2A^+(a—1)x—3,因為J=(tz—1)2+24>0,因此g(x)=O有兩個不相等的實數根,

又g(0)=—3<0,因此g(x)=O的兩根一正一負，

由題意正根在(1,2)內，

所“g(l)=2+(a-1)-3<?！?/p>

〔g(2)=8+2(a—1)—3>0,

3

解得一

考點三極值、最值的簡單應用

例3(2023?杭州模擬)已知函數危)=〃x2—2x+lnx有兩個不同的極值點卬如若不等式加i)

恒成立，則實數/的最小值為.

答案一3

解析由j[x)=ax1—2x+lnx(x>0),

,12加—2x+l

付/(x)=2ax—2+-=-(x>0),

若函數人次)=加一2x+lnx有兩個不同的極值點修，X2,

則方程2加-2x+l=0有兩個不相等的正實根，

〃4=4-8。>0,

為+刀2=(>0,

所以〈

“1"2=五>0,

解得0<a<1,

所以#xi）+黃%2）=渥一2xi+lnxi+aji—2x2+InX2

=a[（xi+愈）2—2x1x2]一2（xi+%2）+InX1X2

=-~a-]-In2〃，

令/i（a）=—~—1—In

ii,1—a

貝11h（〃）=7~>0,

所以/?（°）=一5一l—ln2a在（0,上單調遞增，

所以/z（a）</7@=-3,

所以」》一3.

故實數/的最小值為一3.

易錯提醒方程、不等式恒成立，有解問題都可用分離參數法.分離參數時，等式或不等式

兩邊符號變化以及除數不能等于0,易忽視.

跟蹤演練3（多選）（2023?福州模擬）已知函數危尸哥,以下結論正確的是（）

A.y（x）是偶函數

B.尤=0是兀0的極值點

C.八尤）的最小值為一*;?

D.八尤）的最大值為1

答案ABD

解析人-X）=（學）逐=器=於）,.\Ax）為偶函數，A正確；

.T“尸’—few一，

：.f'（0）=0,又7U）為偶函數，故x=0為人尤）的極值點，B正確；

：的尸篙=一“,且/⑺=1*。，

.?.尤=71不是式尤）的極值點，故近兀）不是式X）的最小值，C錯誤；

又一IWcosxWl,f+121,則當cosx=l,爐+1=1,即％=0時，?x）最大值為1,D正確.

專題強化練

一、單項選擇題

1.下列函數中，不存在極值的是（）

A.y=%+:B.y=xex

C.y=xlnxD.y=_3x3-3X2-x

答案D

解析顯然A,B,C中的函數存在極值.

對于D,函數y=—

則y'——9A2—6x—1=—（3x+1）2^0,

所以函數y=一3必一3f—x在R上是減函數，沒有極值點.

2.（2023?西寧模擬）函數八無）=/￡在[2,+8）上的最小值為（）

巳3e?

A.-7-B.e2C.~rD.2e

o4

答案A

解析依題意，（X）=（.f3）2（x2—2x—3）=（x213）2（x—3）（x+l），故函數在區間（2,3）上單調遞

減，在區間（3,+8）上單調遞增，故函數在x=3處取得極小值也是最小值，且最小值為犬3）

e3e3

=32-3=-6-

3.（2023?哈爾濱模擬）若函數在無=2處取得極值1,則.一6等于（）

A.-4B.-3C.-2D.2

答案D

解析由題意，xdR,

在/iXluani+SV+b中，f'（尤）=3加+6無，

在x=2處取得極值1,

.p（2）=8a+3X4+6=l,

"\f（2）=3X4a+6X2=0,

\a=-1,

解得，、經檢驗滿足題意，

[b=~3,

?\a-b=-1—（—3）—2.

4.（2023?全國乙卷）函數人無）=/+"+2存在3個零點，則。的取值范圍是（）

A.（―°°,—2）B.（―°°,—3）

C.（-4,-1）D.（-3,0）

解析fix）=x^+ax+29

則,a）=3%2+〃，

若於）存在3個零點,

則兀0要存在極大值和極小值，則QVO，

令/（x）=3x1+a=0,

解得x=一或

且當8,一^+8）時，/（X）

>0,

當xj—E，退時，/（次。，

故式X）的極大值為了（—、后可，

極小值為了卜

若ZU）存在3個零點，

3\^-CAJ^+2>0'

即《,—.—解得"一3.

〔力亍+勺亍+2<°，

Y

5.（2023?武漢模擬）已知函數於）=e，一1一b,VxGR,都有八x）的最小值為0,則02b的最小

值為（）

A」Rl

A-e2Be2

22

C'D苦

答案A

解析f（x）=eA-^,

若。<0,則/（尤）>0,

此時/U）為R上的增函數,

."（X）無最小值,故a>0,

令/(x)=0,得x=ln!=—Ino,

???當x￡(—8,—ln〃)時，f'(x)<0,

當工￡(—ln〃，+8)時，/(x)>0,

在(一8,—Ino)上單調遞減，在(Tno,+8)上單調遞增,

?\/(X)min=y(_ln。)=/瓜。+乎一6

1Ana

b=0,

.IJna

..b7=~+-----

aa

a2b=a-\-alna,

令g(a)=a+aina(a>0),

gr(a)=l+l+ln〃=2+ln

當〃￡(0,晨2)時，g'(〃)<0,

當〃￡仁一2,+8)時，g'(〃)>(),

.,.g(Q)在(0,e—2)上單調遞減，在化一2,+8)上單調遞增,

**?g(〃)min=g(e-2)=e-2+e-2-(—2)

-21

—e2=_0

6.(2023?聊城模擬)已知函數段)=制一"3>0且啟1)有一個極大值點xi和一個極小值點

%2，且X1<X2，則〃的取值范圍為()

B.61

C.(1,e)D.(e,+°°)

答案B

解析由題意知，當工￡(—8,為)時，f'(x)>o,

又/(x)=ex—(f\na,當〃>1時,若x<0,ex<0,—t/ln^<0,所以/(x)<0,

矛盾，故0VQV1,

由/(x)=ex—"lnQ=。有兩個不同實數根可知丁=6，y=〃qn〃有兩個不同交點,

設過原點與y="ln〃相切的直線為/,切點為(xo,Ina),

因為y，=11?〃.辦，

-9Ina-Q

所以k=\^a-r—---------------

5—o

解得沏=6,

1

即女=11?〃.aXna=eln2?,如圖,

所以y=ex與y=ax\na有兩個不同交點則需e>eln2tz,解得

又0<4<1,所以此時滿足極大值點為沏，極小值點為X2,且羽<也

二、多項選擇題

卜c

7.(2023?新高考全國H)若函數?r)=Qln%+1+?3W0)既有極大值也有極小值，貝女)

A.bc>0B.ab>0

C.b2+Sac>0D.ac<0

答案BCD

hc

解析函數/(x)=Hnx+(+8的定義域為(0,+°°),

_ab_2caf—bx—2c

則/（'）一xx2x3-x3

因為函數危)既有極大值也有極小值，

則函數/(x)在(0,+8)上有兩個變號零點，而qWO,

因此方程a2—bx—2c=4有兩個不相等的正實數根xi,必,

<J=/72+8?c>0,

,b八

-r.日Xl十萬2c>。，

Ta

2c八

X\X2=——>0,

2

即有b+Sac>0tab>0,ac<09

顯然/bcvo,gpbc<0,故A錯誤，B,C,D正確.

8.已知函數?r)=ln(e3x+l)+Qx(〃￡R),下列說法正確的是()

3

A.若y="x)是偶函數，則〃=一］

B.若y=?x)是偶函數，則〃=—3

C.若〃=—2,函數存在最小值

D.若函數存在極值，則實數〃的取值范圍是(一3,0)

答案ACD

解析對于A,B,函數的定義域為R,

且八一龍)=黃幻，

則ln(e-3x+1)+6/(—x)=ln(e3^+1)+ax,

me3x+l

則1匕3%+1=—2〃x,

則Ine3*=—2ax,則3x=—lax恒成立，

3

故〃=-],所以A正確，B錯誤；

對于C,當a=~2時，

fix)=ln(e3x+1)—2x,

3e3x3

可得/(光)=03%+]-2=1一.31+],

令/(x)=0,即1—￡壬=0,解得x=竽，

所以當xC(—8,竽)時，，(x)<0,式X)單調遞減,

當xd得2,+8)時，/(x)>0,/(x)單調遞增，

所以於)min=/■?宇)，所以C正確；

3

對于D,f(X)=(3+G)-^Y，

因為y(x)存在極值，所以,(x)有零點，

3

令/(x)=0,即(3+a)—苫干=0,

則a工>0,即a(cz+3)<0,

解得一3<a<0,所以D正確.

三、填空題

9.(2023?北京朝陽區模擬)已知函數兀0=(/—3)—則人尤)的極小值點為

答案x=l

解析危)的定義域為R,

f'(x)=2xex+(x2—3)e-x

=(x2+2x-3)e%=(x+3)(x-l)e\

所以在(一8,—3)上,(尤)>0,危)單調遞增，

在(―3,1)上/'(x)<0,段)單調遞減,

在(1,+8)上/(x)>0,五x)單調遞增，

所以/(X)的極小值點是x=1.

10.(2023?涼山模擬)已知函數人x)的導函數為g(x)=(x—l)(f—3x+a),若1不是函數兀c)的

極值點，則實數。的值為.

答案2

解析由題意可知/'(x)=g(x)=(尤一1)(/-3尤+“)，若1不是函數的極值點，

令/7(尤)=/-3x+a,力(1)=0,即1—3+a=00a=2,

當a=2時，f(x)=(無一1)(X2-3X+2)=(X—1)2(X-2),

故當x>2時，/(x)>0；當x<2時，/(x)W0,因此x=2是/(x)的極值點，1不是極值點，故

a=2滿足題意.

11.(2023?瀘州模擬)已知函數/(x)=xlnx+機砂有兩個極值點，則m的取值范圍是.

答案(T°)

解析由題意，令/(x)=l+lnx+機e%=0,

1—I-Inx

即一m=—有兩個不相等的正實根，

1+Inx

所以y=一機與g(x)=一彳一在(0,+8)上有兩個交點，

1—Inx

則/(x)=-—，

記/z(x)=：—lnx—1,則/?(x)在(0,+8)上單調遞減，且/?(1)=0,

當xG(0,l］時/?(無)20,g'(x)20,

所以g(x)在(0,1］上單調遞增；

當xd(l,+8)時以無)<0,g'(x)<0,

所以g(x)在(1,+8)上單調遞減，

所以g(X)max=g(D=P，

當0時，g(x)——8;當％f+8時，

11］—|—1nx

綜上，當0〈一根<［,即一［〈根<0時，y=一m與g(x)=―/—在(0,+8)上有兩個交點，即

人元)有兩個極值點.

12.(2023?江門模擬)已知/(x)=|lnx|,為，超是方程_/W=a(aGR)的兩根，且無i<%2，則號的

11-^2

最大值是.

1

答案

e

解析由題意為，％2是方程|lnx|=a的兩根，且Xi-,

則〃>0,Inxi=-a,\nx2=a,即為=e~",%2=e",

所以急=f=孤>0)，

人X,1—X

令g(無)=￡(尤>0)，g

當0<x<l時，g'(x)>0,g(x)單調遞增；

當尤>1時,g'(x)<0,g(x)單調遞減，

則當x=l時，g(x)取最大值(

所以人的最大值七

四、解答題

13.(2023?西安模擬)已知函數犬x)=^+lnx,其中。為常數，e為自然對數的底數.

(1)當a=-1時，求兀r)的單調區間；

(2)若兀0在區間(0,e］上的最大值為2,求a的值.

解(1)函數式x)的定義域為(0,+8),

當a——l時，j{x}—\nx—x,

令/(尤)>0得，0<x<l；令/(x)<0得，x>l,

???函數大劃的單調遞增區間為(0,1),

單調遞減