能量、能量守恒定律第4章11）動能和功，著重掌握變力作功。2）保守力作功和勢能。3）一維勢能曲線4）能量守恒定律。2√第4章能量、能量守恒定律4-1動能和功恒力作功及功的定義1.功力的時間積累是沖量，力的空間積累稱為功。

物體在恒力作用下作直線運動，并位移了，則定義力對物體作的功為：

功是標量，當0

/2時，W>0，F作正功；當

/2<

時，W<0，F作負功；當

=

/2，W=0，即F與位移垂直時，不作功。3

變力作用于質點，質點沿曲線從a點移到b點，用微元法，將ab分成n小段，每一小段上力近似恒力，

W=Fi?

ri，從a到b，力F作的總功為W≈∑Fi?

ri，當n→∞時

元功

dW=F?dr=F∣dr∣cos

=Fcos

ds=F

ds總功

功率：單位時間內物體作的功稱為功率，是反映作功快慢的物理量。單位：瓦特，W，1W=1J/sabF

rarbroF

dr變力作功4在直角坐標系中功的表達式，在自然坐標系中功的表達式，．．．5由功的定義式，做一個定積分。解:例1

一個在x-y平面內運動的質點，在力的作用下移動一段位移，求此過程中力所做的功。(習題二

,9)解:

由功的定義式求解例2一物體受到的力的作用，x以米為單位，F

以N

為單位。問物體從x=1.0m移到x=2.0m時，力F做了多少功？(習題二,10)6解I:例3質量m=1kg的質點在外力作用下，其運動方程為：，則在最初2s內外力對質點所作的功為多少？(習題二,12，lue)由功的定義式求解解2:2s內質點位移：質點受力：外力作功：7運用動能定理求解速度：速度大小：功：

變力作功舉例解∴例1作用于質點的力為質點自O點徑OAB和ODB至B點時，分別求力所作的功。1)

沿OAB至B作的功8∴2）沿ODB至B作的功可見：功不僅依賴于受力點的始、末位置，且依賴于受力點的路徑。功是過程量。9例2彈簧對物體的作用力為，k為物體在xy平面運動時的勁度系數，求當物體從起點(x1,y1)移到終點(x2,y2)時彈力作功的表達式。解:由功的定義，有10解I例3一條長l、質量M的勻質鐵鏈，卷放在光滑桌面上，現抓往鐵鏈一端，垂直而又緩慢上提，求抓起整條鐵鏈所需做的功。提起整條鐵鏈所做的功：桌面

設鐵鏈密度為。上提至時，所需力為鐵鏈重力，即，再令鐵鏈位移，則外力作的元功為解II：由能量守恒，做功等于勢能增加，直接得出：

變力作功解題步驟（1）選取坐標；（2）設質點在某一位置，并分析質點受力，將力投影到坐標軸上，給出沿坐標軸力的分量；然后再令質點位移(位移元)，寫出元功表達式；（3）用積分計算總功(確定積分上、下限)。

小結12

2.動能、質點動能定理

drabFmorar+drF

r

設質點質量為m，受合力F作用，沿曲線由a移到b，所作元功

dW=F·dr=F

ds

由故

以v0和v表示質點在a點和b點時的速率，對上式積分：

得

W=Ek

–Ek0=

Ek或13表示外力對質點所作的功等于質點動能的增量。定義：動能質點動能定理143.質點組動能定理

由N個質點組成的質點組，考察第i個質點：

---質點組內其它質點對質點i的作用力

---質點組外其它質對質點i的作用力

對第i個質點運用質點動能定理，有：積分后為15對每一個質點運用動能定理，再全部相加，有：．．．．∴去掉腳標得：或質點組動能定理--外力和質點組內力所作的功等于質點組的動能增量。16

質點組動能定理的說明質點組的動能變化不僅取決于系統外的外力作功，而且也與系統內的內力作功有關。③內力作的功取決于系統內質點間的相對位移。如果用、表示外力、內力所作的功，動能定理又可寫成：17解II:由功的定義式，由質點動能定理，例1

一質量m=10kg的物體在合力F=3+4x(SI)的作用下，沿x軸運動。設物體開始時靜止在坐標原點，求該物體經過x=3m處時的速度？(練習二、11)18按運動學中的第2類問題，積分求解解I:按動能定理求解x=3m時，v=2.3m/s解I：由質點動能定理求解質點速度：例2質量為0.1kg的質點，由靜止開始沿曲線運動，運動方程為：，則在t=0到t=2s時間內，作用在該質點上的合外力所做的功為____。由質點動能定理，解II：根據做功的定義式

求解19質點速度：或根據做功的定義式

求解20解:(1)

由質點動能定理求功功：(2)

沖量值例3

一沿x方向的力，作用在一質量為3kg的質點上，質點的運動方程為x=3t-4t2+t3(SI)，則力在最初4秒內作的功為______，力在最初4秒內的沖量值為______

。或由功的定義求解(略)：21一維運動可以用標量，從功的定義求例4

質量為2kg的質點在力（SI）的作用下，從靜止出發，沿x軸正向作直線運動。求前三秒內該力所作的功。（lue）解：(將被積函數中的化成)∴或解：從動能定理求22

由質點動能定理求功

先求出質點的速度表式，然后再求動能增量。速度表達式：動能增量：；∴由動能定理，得23例5質量為15g的子彈，以v0=

200m/s的速率射入一固定木塊。若木塊的阻力與子彈射入的深度成正比，即

F=-kx，式中，x為子彈進入木塊的深度，k=5.0×10-5

N/m。求子彈射入木塊的最大深度d。解：由質點動能定理求解

以子彈為研究對象，子彈所受到外力即為木塊阻力，由動能定理，阻力的功=子彈動能增量。功：動能增量：∴241）動能和功，著重掌握變力作功。2）保守力作功和勢能。3）一維勢能曲線4）能量守恒定律。25√第4章能量、能量守恒定律4-2

保守力作功和勢能根據力作功的特性不同，力分為保守力和非保守力。1.保守力及保守力作的功dhdr

maboGhh+dhh

設質量m的質點在重力G的作用下，從a點移動到b點，在位移元dr中重力作功為

當m從a點沿任意路徑移動到b點過程中，重力做功為

重力作功26

結果表明，重力做功只決定于質點始、終態的相對位置。若使m沿任意閉合回路移動一周回到a點，則重力做功為零：說明，重力做功與路徑無關。27

彈性力作功m

k

設質量m的質點在彈性力F作用下移動到x位置，再令m位移dx，則彈性力作的元功dW為故，質點m從坐標，彈性力作的功為:

表明，彈性力作功只與質點始、末位置有關。若使m始、末位置重合，則彈性力作功為零。28

做功與路徑無關，只決定于始、末相對位置的力。萬有引力、彈性力和靜電力等都是保守力。力的閉合路徑積分為零：

做功與路徑有關的力。例如爆炸力、牽引力、渦旋力、生物力等。力的閉合路徑積分不為零：保守力：非保守力：29

若質點系中各質點之間的作用力都是保守力，因保守力做功只和位置有關，所以系統內各質點所處的不同位置就決定了系統所具有的不同能量狀態；

或者說，可用一個表示能量的狀態函數來描述系統，這個狀態函數稱為系統的勢能。

定義系統相對位置變化的過程中，保守力做功等于系統勢能增量的負值。增量用

Ep表示：2.

勢能與保守力的關系勢能30在微元過程中勢能的增量：

保守力作正功時，W>0，系統以勢能減少為代價，當作負功時，勢能增加；即外力克服保守力作功，增加系統的勢能。

要確定勢能的值，必須選定一個參考位置作為勢能的零點。設b點作為勢能零點S，Epb=Eps=0，則位置a的勢能Epa為:31

應用公式時注意：（1）勢能是屬于相互作用的整個質點系統的。它實質上是一種相互作用能，單一物體不存在所謂的勢能。32（3）系統內力必須是保守力。勢能是與保守力作功有關的概念。對于非保守力作功，無勢能之概念。

（2）勢能零點的選擇是任意的。零點不同，系統勢能值不同，但兩個位置的勢能差是確定的，與勢能零點的選擇無關。由保守力和勢能關系

不定積分

C為積分常量，決定于勢能零點的選擇，若選取無限遠為勢能零點(r→

，Ep=0)，則C=0，得某場點的勢能引力

有限遠處的引力勢能為負值，零是最大勢能值。

是徑向方向上的單位矢量3.

力學中的幾種勢能引力勢能33

是引力勢能的特例，質量為M的地球與質量為m的質點組成質點系，在地面，r=R，重力勢能為在離地面h高處，r=R+h，與地面的重力勢能差為:

當h不太高時，h<<R，R+h

R，忽略地球自轉時

，得若令地球表面為重力勢能零點，則Ep=mgh重力勢能34選取彈簧的絕對伸長x=0時為勢能零點，則C=0，得這樣定義勢能零點時，彈性勢能總是大于零。

oxxF

如圖小球位于x處時，所受彈性力，有不定積分

彈性勢能35在直角坐標系中，勢能的微小負增量為一維的情況下，有4.勢能梯度(從勢能求保守力)已知保守力F路徑積分勢能微分保守力

已知勢能Ep36得：保守內力等于勢能函數梯度的負值。

例1、一質點的勢能函數可近似地表述為VP(x)=-ax2+bx

，式中a與b均為正常數，則該質點所受的保守力F=___________。(復習題一、二.16)由保守力與勢能的關系，有解37例2、兩質點的相互作用勢能函數式中a和b是正常量，r是兩質點的間距，則兩質點處于力平衡(F=0)時，r間距=_______。(06-07期末試題)解由保守力與勢能的關系，有平衡時，亦即得：38重力勢能引力勢能彈性勢能地面為零點(h=0)無窮遠為零點(r→∞)平衡位置為零點(x=0)

小結重力引力彈性力保守力勢能保守力與勢能關系391）動能和功，著重掌握變力作功。2）保守力作功和勢能。3）一維勢能曲線4）能量守恒定律。40√第4章能量、能量守恒定律由勢能曲線可以知道：1、在一維情況下有：

因此，保守力大小等于勢能曲線的斜率，方向指向勢能減少的方向。4-4一維勢能曲線41

2、可判斷質點的運動范圍。在封閉保守系統中，作總能量為E的水平線，與勢能曲線相交的點表示E=Ep，這些位置物體的Ek=0。42

3、勢能曲線上每一個局部的最低點(“谷”)都是穩定平衡點，勢能曲線上每個局部最高點（“峰”）都是不穩定平衡點，一旦質點偏離了不穩定平衡點，質點就會遠離而去。因此，勢能曲線還能形象地表示出系統的穩定性。43重力勢能彈性勢能引力勢能44例1

一粒子沿x軸運動，它的勢能Ep

(x)為x的函數，函數圖象如圖所示。若該粒子所具的總能量E=0，則該粒子的運動范圍

。當粒子處在x2位置時，其動能為

。x1xx2Ep

U0o45例2

一雙原子分子的勢能函數為

式中

0和x0為常量，x為原子間距離。求：（1）原子間相互作用力為零時的距離；（2）當分子總能量為E時，分子動能的最大值。解(1)由得x0xEp

0o46說明x0為極小值點，求得（2）上式所得x=x0為可能的極值點，其二階導數動能最大值為471）動能和功，著重掌握變力作功。2）保守力作功和勢能。3）一維勢能曲線4）能量守恒定律。48√第4章能量、能量守恒定律

4-3能量守恒定律1.功能原理由質點組(系統)的動能定理，

式中，是系統以外物體對系統作的功，是系統內各質點間相互作用力所作的功。49考慮到：則，質點組動能定理又可表述為：式中，稱為機械能系統的機械能增量等于系統的外力和系統內的非保守力作功之和。功能原理502.機械能守恒和轉換定律功能原理機械能守恒定律：

在封閉、保守系統中總機械能保持恒定51例1有一人造地球衛星，質量為m，在地球表面上空2倍于地球半徑R的高度沿圓軌道運行，用m、R、引力常數G和地球的質量M表示：(1)衛星的動能為

；(2)衛星的引力勢能為

。相對于無窮遠處的引力勢能為:52解:（練習三、6）例2質量為m1和m2的兩個粒子，最初處于靜止狀態，且彼此相距無限遠，在以后任一瞬間，由于萬有引力的作用，彼此接近，求它們接近的相對速度大小(用其間的距離d來表示)*。解：

用動量守恒、機械能守恒定律求解機械能守恒②動量守恒①以兩個粒子為系統，因系統只受保守力(萬有引力)，所以兩粒子的動量守恒、機械能守恒。設m1

、m2速度分別為v1

、v253*若m1或m2中的一個是固定不動的，則對于這兩個粒子所組成的系統，其動量和機械能是否守恒？（都不守恒）由①、②兩式，得兩個粒子的相對速度（不考慮相對論效應）：54解例3測子彈速度的方法如圖所示。已知子彈量m=0.02kg，木塊質量M=9.98kg，彈簧勁度系數k=100N/m，子彈射入木塊后，彈簧被壓縮了0.10m，求子彈的速度。設木塊與平面間摩擦因數μ=0.2。練習三(2).7

由動量守恒定律