5.4.1正弦函數，余弦函數的圖象教學設計教學目標教學目標：1.借助正弦函數的定義和單位圓，經歷繪制正弦函數圖象的過程，掌握描點法，掌握繪制正弦函數圖象的“五點法”；2.在分析正弦函數、余弦函數相互關系的基礎上，經歷繪制余弦函數圖象的過程，理解其中運用的圖象變換的思想．教學重點：正弦函數、余弦函數的圖象以及“五點法”．教學難點：掌握準確繪制函數圖象一個點的方法，并由此繪制出正弦函數的圖象．教學過程時間教學環節主要師生活動3分鐘（一）規劃研究方案，形成研究思路問題1：三角函數是我們學習的一類新的基本初等函數，按照函數研究的方法，學習了三角函數的定義之后，接下來我們應該研究什么問題？師生活動：明確學習三角函數定義后，應該繼續研究三角函數的圖象和性質．追問1：之前研究指數函數、對數函數的圖象和性質的思路是怎樣的？預設：研究思路是：函數的定義、函數的圖象、函數的性質．追問2：繪制一個新函數圖象的基本方法是什么？預設：繪制一個新函數圖象的基本方式是描點法．追問3：根據三角函數的定義，需要繪制正弦函數在整個定義域上的函數圖象嗎？選擇哪一個區間即可？預設：根據三角函數的定義，單位圓上任意一點在圓周上旋轉一周又回到原來的位置，這一特性已經用公式一表示：，，其中．根據公式一，可以簡化對正弦函數、余弦函數圖象與性質的研究過程．方便起見，我們可以先畫函數，的圖象，再畫出正弦函數，的圖象．設計意圖：規劃研究方案，構建本單元及本節課的研究路徑，以便從整體上掌握整個單元的學習過程，形成整體觀念．10分鐘（二）正弦函數的圖象問題2：描點法是畫函數圖象的基本方法，對于正弦函數，大家想取哪些點、怎樣描點畫圖呢？學生活動：學生可能會說，對于自變量在上隨意取一些值，然后利用計算器算出函數值，再在平面直角坐標系上描點連線．教師提示：這樣作圖應該能夠得到正弦函數圖象的大致形狀，但是三角函數中會出現無理數，這樣作圖明顯不夠精確，而且也沒有利用到三角函數的定義，缺少了三角函數定義和圖象之間的內在聯系，所以需要尋求更精確、并且利用到三角函數定義的方法．問題3：繪制函數的圖象，首先需要準確繪制其上一點．對于正弦函數，在上任取一個值，如何借助單位圓確定正弦函數值，并準確畫出點？預設：請大家看圖，在平面直角坐標系中畫出以原點為圓心的單位圓，且單位圓與軸正半軸的交點為．在單位圓上，將點繞著點旋轉弧度至點．根據弧度制的定義,既是的大小，也是弧的長度；根據正弦函數的定義，點的縱坐標．由此，以為橫坐標，為縱坐標畫點，即得到函數圖象上的點．在沒有信息技術的情況下，可以用“手工繞線法”完成，同學們可以課下思考．設計意圖：教師引導學生剖析一個點的畫法，深化對正弦函數定義的理解；通過分析點的坐標的幾何意義，準確描點．問題4：我們已經學會繪制正弦函數圖象上的某一個點，你能類比指數函數、對數函數圖象的畫法，畫出，的圖象嗎？師生活動：師生共同討論方案，教師指導并完善方案．方案1：在區間內任取一些橫坐標的值，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接．教師點評：隨意取值，橫坐標可能會出現比較多的無理數，不容易在軸上準確定位；而且根據弧度制的定義，的值是弧的長度，不容易平移，所以在單位圓上定位弧度的角的終邊時，存在一定困難．方案2：取1、2、3等值，再按照上述方式繪制圖像．教師點評：1、2、3等弧度數在軸上可以準確定位，但是在單位圓上定位這些弧度的角的終邊時，仍然存在上述的問題．方案3：取比較熟悉的特殊角，如、、等．教師點評：內的這些特殊角是大家比較熟悉的，在軸上比較容易定位，但是在單位圓上怎樣確定點的位置呢？究竟取哪些、怎樣取特殊角，才能即簡便又準確呢？方案4：在區間內取等分點，最為簡便準確．預設：如圖，把軸上這一段分成12等份，即每個象限3等分，從而使的值分別為，，，，…，，它們所對應的角的終邊與單位圓的交點同樣將圓周12等分，再按照上述方法依次畫點，就能準確定位出每個在單位圓上所對應的終邊位置，從而可以準確地畫出自變量取這些值時對應的函數圖象上的點．師生活動：學生用上述方法繪制圖象．教師用幾何畫板演示上述圖象的生成過程，初步得到，的圖象，再借助信息技術取任意多的點，并連續成線．設計意圖：確定畫出一個周期內正弦函數圖象的方法并實施；利用信息技術得到更多圖象上的點，達到點動成線的直觀效果，使學生進一步理解任意一點與整體圖形之間的關系，理解圖象形成的內在道理．問題5：根據函數，的圖象，你能想象正弦函數，的圖象嗎？依據是什么？請畫出該函數的圖象．預設：根據公式一，其中，可知函數，，且的圖象與，的圖象形狀完全一致．因此將函數，的圖象不斷向左、向右平移（每次移動個單位長度），就可以得到正弦函數，的圖象．如圖所示．教師指出：正弦函數的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續光滑曲線．設計意圖：繪制函數，的圖象，讓學生體會從有限到無限的推廣過程，并培養學生說理的習慣．問題6：對函數的研究，能夠快速又比較準確的做出其簡圖，往往起重要的作用．你能畫出函數，圖象的簡圖嗎？在確定圖象形狀時，應抓住哪些關鍵點？師生活動：教師引導學生觀察圖象，共同確定關鍵點．預設：在函數，圖象上，以下五個點：，，，，在確定函數圖象時起關鍵作用，它們是函數圖象的最大值點、最小值點以及零點．描出這五個點，函數，的圖象形狀就基本確定了．因此，在精度要求不高時，常先找出這五個關鍵點，再用光滑曲線連接起來，得到正弦函數的簡圖，這種方法非常實用，方便有效，稱為“五點法”．設計意圖：觀察函數圖象，概括其特征，獲得“五點法”畫圖的簡便方法．5分鐘（三）余弦函數的圖象問題7：我們已經能夠做出正弦函數的圖象，你能做出余弦函數的圖象嗎？師生活動：此時學生可能會躍躍欲試，想用類似的方法畫余弦函數的圖象．對此教師應予以肯定，并進一步追問．追問1：如果仍然采用之前的方法，如圖，此時單位圓上點的橫坐標為，那么將它作為點的縱坐標，還容易平移嗎？顯然不太方便．追問2：由三角函數的定義可知，正弦函數、余弦函數是一對密切相關的函數．誘導公式已經表明，余弦函數和正弦函數可以互化．所以你能否通過已經得到的正弦函數的圖象，通過變換得到余弦函數的圖象？師生活動：學生比較容易想到，教師要引導學生分析，此時的圖象變換比較困難，要選擇比較簡潔的公式．預設：通過比較進行選擇．從數的角度和操作性上，可以選擇誘導公式，得：，．而函數，的圖象可以通過正弦函數，的圖象向左平移個單位長度而得到．所以將正弦函數的圖象向左平移個單位長度，就能得到余弦函數的圖象．教師指出：余弦函數，的圖象叫余弦曲線，它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪形”曲線．追問3：你能利用點的坐標，解釋這種平移變換嗎？預設：設函數圖象上任意一點為，即．則在函數上，當，即時，函數值也為，所以函數圖象上有對應點，是將點向左平移了個單位得到的，所以只要將圖象上的點向左平移個單位，即可得到的圖象．設計意圖：利用誘導公式，通過圖象變換，由正弦函數的圖象得到余弦函數的圖象；增強對兩個函數圖象之間聯系性的認識，并且通過坐標變換加深對圖象變換的理解．問題8：類似于“五點法”作正弦函數的圖象，如何做出余弦函數的簡圖？追問：根據余弦曲線的特點，你認為選取哪個區間研究比較合理？師生活動：師生共同討論，余弦曲線可以從正弦曲線平移得到，也是周而復始的，所以也需要選取長度為的區間；可以發現余弦曲線的圖象關于軸對稱，所以選取區間比較合理．預設：選取，，，，這五個點為關鍵點．設計意圖：觀察余弦函數圖象，掌握其特征，獲得“五點法”．5分鐘（四）例題例1：畫出下列函數的簡圖：（1），；（2），．追問：你能利用函數，的圖象，通過圖象變換得到，的圖象嗎？同樣，利用函數，的圖象，通過怎樣的變換就能得到，的圖象？設計意圖：鞏固學生對正弦函數、余弦函