高考立體幾何知識點總結整體知識框架：一、空間幾何體（一）空間幾何體的類型1多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。2旋轉體：把一個平面圖形繞它所在的平面內的一條定直線旋轉形成了封閉幾何體。其中，這條直線稱為旋轉體的軸。（二）幾種空間幾何體的結構特征1、棱柱的結構特征1.1棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。圖1-1棱柱1.2棱柱的分類圖1-1棱柱棱柱底面是四邊形四棱柱底面是平行四邊形平行六面體側棱垂直于底面直平行六面體底面是矩形長方體底面是正方形正四棱柱棱長都相等正方體底面是四邊形底面是平行四邊形側棱垂直于底面底面是矩形底面是正方形棱長都相等性質：Ⅰ、側面都是平行四邊形，且各側棱互相平行且相等；Ⅱ、兩底面是全等多邊形且互相平行；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3棱柱的面積和體積公式（是底周長，是高）S直棱柱表面=c·h+2S底V棱柱=S底·h2、棱錐的結構特征2.1棱錐的定義（1）棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。（2）正棱錐：如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的投影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。2.2正棱錐的結構特征Ⅰ、平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；Ⅱ、正棱錐的各側棱相等，各側面是全等的等腰三角形；ABCDPOH正棱錐側面積：ABCDPOH體積：（為底面積，為高）正四面體：對于棱長為正四面體的問題可將它補成一個邊長為的正方體問題。對棱間的距離為（正方體的邊長）正四面體的高（）正四面體的體積為（）正四面體的中心到底面與頂點的距離之比為（）正四面體的外接球半徑為，外接球半徑為，外接球半徑3、棱臺的結構特征3.1棱臺的定義：用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的部分稱為棱臺。3.2正棱臺的結構特征（1）各側棱相等，各側面都是全等的等腰梯形；（2）正棱臺的兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊形；（3）正棱臺的對角面也是等腰梯形；（4）各側棱的延長線交于一點。4、圓柱的結構特征4.1圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。4.2圓柱的性質（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圓；（2）過軸的截面(軸截面)是全等的矩形。4.3圓柱的側面展開圖：圓柱的側面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。4.4圓柱的面積和體積公式S圓柱側面=2π·r·h(r為底面半徑，h為圓柱的高)S圓柱全=2πrh+2πr2V圓柱=S底h=πr2h5、圓錐的結構特征5.1圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。5.2圓錐的結構特征（1）平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；圖1-5圓錐（2）軸截面是等腰三角形；圖1-5圓錐（3）母線的平方等于底面半徑與高的平方和：l2=r2+h25.3圓錐的側面展開圖：圓錐的側面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。6、圓臺的結構特征6.1圓臺的定義：用一個平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱為圓臺。6.2圓臺的結構特征⑴圓臺的上下底面和平行于底面的截面都是圓；⑵圓臺的截面是等腰梯形；⑶圓臺經常補成圓錐，然后利用相似三角形進行研究。6.3圓臺的面積和體積公式S圓臺側=π·(R+r)·l(r、R為上下底面半徑)S圓臺全=π·r2+π·R2+π·(R+r)·lV圓臺=1/3(πr2+πR2+πrR)h(h為圓臺的高)7球的結構特征7.1球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體。空間中，與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。7-2球的結構特征⑴球心與截面圓心的連線垂直于截面；⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差：r2=R2–d2★7-3球與其他多面體的組合體的問題球體與其他多面體組合，包括內接和外切兩種類型，解決此類問題的基本思路是：⑴根據題意，確定是內接還是外切，畫出立體圖形；⑵找出多面體與球體連接的地方，找出對球的合適的切割面，然后做出剖面圖；⑶將立體問題轉化為平面幾何中圓與多邊形的問題；⑷注意圓與正方體的兩個關系：球內接正方體，球直徑等于正方體對角線；球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長。7-4球的面積和體積公式S球面=4πR2(R為球半徑)V球=4/3πR3練習：1）將直角三角形繞它的一邊旋轉一周,形成的幾何體一定是（）A．圓錐B．圓柱C．圓臺D．上均不正確2）用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是四邊形，這個幾何體可能是（）A．圓錐B．圓柱C．球體D．以上都可能3）下左一圖是一個物體的三視圖,根據圖中尺寸（單位：cm）,計算它的體積為cm3.二、典型例題分析例1：（幾何體的側面展開圖）如上左二圖,長方體的長、寬、高分別是5cm、4cm、3cm，一只螞蟻從到點，沿著表面爬行的最短距離是多少．練習：1）如上右二圖,四面體P-ABC中,PA=PB=PC=2,APB=BPC=APC=300.一只螞蟻從A點出發沿四面體的表面繞一周,再回到A點,問螞蟻經過的最短路程是_________．練習.1）已知一個幾何體的主視圖及左視圖均是邊長為2的正三角形,俯視圖是直徑為2的圓,則此幾何體的外接球的表面積為（）A．B．C．D．（三）空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和圓柱的表面積：圓錐的表面積：圓臺的表面積：球的表面積：扇形的面積公式（其中表示弧長，表示半徑，表示弧度）空間幾何體的體積柱體的體積：錐體的體積：臺體的體積：球體的體積：（四）空間幾何體的三視圖和直觀圖正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。側視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。★畫三視圖的原則：主視圖反映了物體的上、下和左、右位置關系；俯視圖反映了物體的前、后和左、右位置關系；側視圖反映了物體的上、下和前、后位置關系。三個視圖之間的投影關系為：正俯長相等、正側高相同、俯側寬一樣注：球的三視圖都是圓；長方體的三視圖都是矩形直觀圖：斜二測畫法斜二測畫水平放置的平面圖形的基本步驟(1)建立直角坐標系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐標系；(2)畫出斜坐標系，在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對應的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平平面；(3)畫對應圖形，在已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x′軸，且長度保持不變；平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y′軸，且長度變為原來的一半；(4)擦去輔助線，圖畫好后，要擦去x軸、y軸及為畫圖添加的輔助線(虛線)．原視圖與直觀圖的關系：例1、將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側視圖為()解析：如圖所示，點D1的投影為點C1，點D的投影為點C，點A的投影為點B.答案：D練習：（1）如圖所示為某一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是（）（2）判斷：①水平放置的正方形的直觀圖可能是等腰梯形②兩條相交的線段的直觀圖可能是平行線段③兩條互相垂直的直線的直觀圖仍然垂直④平行四邊形的直觀圖仍為平行四邊形⑤長度相等的兩線段直觀圖仍然相等（3）三角形是邊長為正三角形，求其直觀圖三角形的面積（4）如圖，正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，求原圖形的周長和面積(5)如上右圖，用斜二測畫法作ABC水平放置的直觀圖形得A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1邊上的中線，由圖形可知在ABC中，下列四個結論中正確的是（）A．AB=BC=ACB．ADBCC．AC>AD>AB>BCD．AC>AD>AB=BC空間幾何體三視圖（重點）例1如圖所示，某幾何體的正視圖是平行四邊形，側視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為 ()A．6eq\r(3) B．9eq\r(3)C．12eq\r(3) D．18eq\r(3)解析：由三視圖可還原幾何體的直觀圖如圖所示．此幾何體可通過分割和補形的方法拼湊成一個長和寬均為3，高為eq\r(3)的長方體，所求體積V＝3×3×eq\r(3)＝9eq\r(3).答案：B（2）一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．48B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17)D．80(3)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．eq\f(9,2)π＋12B．eq\f(9,2)π＋18C．9π＋42D．36π＋18【答案】（1）C(2)B【解析】(1)由三視圖可知本題所給的是一個底面為等腰梯形的放倒的直四棱柱(如圖所示)，所以該直四棱柱的表面積為S＝2×eq\f(1,2)×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×eq\r(1＋16)×4＝48＋8eq\r(17).由三視圖可得這個幾何體是由上面是一個直徑為3的球，下面是一個長、寬都為3、高為2的長方體所構成的幾何體，則其體積為：V＝V1＋V2＝eq\f(4,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＋3×3×2＝eq\f(9,2)π＋18，故選B..【2012高考真題北京理7】某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（）A.28+6B.30+6C.56+12D.60+12【答案】B【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍色數字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長度，黑色數字代表通過勾股定理的計算得到的邊長。本題所求表面積應為三棱錐四個面的面積之和，利用垂直關系和三角形面積公式，可得：，，，，因此該幾何體表面積，故選B。例題：1.一空間幾何體的三視圖如下右圖所示,則該幾何體的體積為().A.B.C.D.2、上中圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的表面積是A.9πB.10πC.11πD．12π3、若一個正三棱柱的體積為，其三視圖如上左圖所示，則這個正三棱柱的側視圖的面積為_______。4.【2012高考真題廣東理6】某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（C）A．12πB.45πC.57πD.81π二、典型例題考點一：三視圖22側(左)視圖222側(左)視圖222正(主)視圖俯視圖俯視圖第1題2.若某空間幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的體積是________________.第2題第3題3．一個幾何體的三視圖如圖3所示，則這個幾何體的體積為.4．若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖4所示，則此幾何體的體積是.33正視圖俯視圖112左視圖a第4題第5題5．如圖5是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則.6．已知某個幾何體的三視圖如圖6，根據圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是.20 20 20 正視圖20 側視圖101020 俯視圖第6題第7題7.若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是8.設某幾何體的三視圖如圖8（尺寸的長度單位為m），則該幾何體的體積為_________m3。俯視圖俯視圖正(主)視圖側(左)視圖2322第7題第8題9．一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個圓，那么這個幾何體的側面積為_________________.10.一個三棱柱的底面是正三角形，側棱垂直于底面，它的三視圖及其尺寸如圖10所示（單位cm），則該三棱柱的表面積為_____________.俯視圖正視圖俯視圖正視圖圖1011.如圖11所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的全面積為_____________.圖圖11圖12圖1312.如圖12，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正三角形，俯視圖是一個圓，那么幾何體的側面積為_____________.13.已知某幾何體的俯視圖是如圖13所示的邊長為的正方形，主視圖與左視圖是邊長為的正三角形，則其表面積是_____________.14.如果一個幾何體的三視圖如圖14所示(單位長度:),則此幾何體的表面積是_____________.圖1415．一個棱錐的三視圖如圖圖9-3-7，則該棱錐的全面積（單位：）_____________.正視圖左視圖俯視圖圖1二、點、直線、平面之間的關系（一）、立體幾何網絡圖：公理4公理4線線平行線面平行面面平行線線垂直線面垂直面面垂直三垂線逆定理三垂線定理⑴⑵⑷⑶⑸⑹⑾⑿⒀⒁⑼⑽⒂⒃⑺⑻1.平面的基本性質公理1若一條直線上的兩點在一個平面內，則這條直線上所有的點都在這個平面內.公理2如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.公理3經過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面.根據上面的公理，可得以下推論.推論1經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論2經過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3經過兩條平行直線，有且只有一個平面.2.等角定理及其推論定理若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個角相等.推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的角相等.2.空間線面的位置關系共面平行—沒有公共點(1)直線與直線相交—有且只有一個公共點異面(既不平行，又不相交)直線在平面內—有無數個公共點(2)直線和平面直線不在平面內平行—沒有公共點(直線在平面外)相交—有且只有一公共點(3)平面與平面相交—有一條公共直線(無數個公共點)平行—沒有公共點唯一性定理：（1）過已知點，有且只能作一直線和已知平面垂直。（2）過已知平面外一點，有且只能作一平面和已知平面平行。（3）過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。1、線線平行的判斷方法：1.中位線、證明平行四邊形、相似邊互相平行（初中的方法）、內錯角同位角相等、平行公理等2.線面平行的性質、面面平行的性質3.線面垂直的性質：垂直于同一平面的兩直線平行。4.向量法，證明2、線線垂直的判斷：1.勾股定理2.正方形、菱形、圓等特點3.等腰、等邊三角形的中線4.線面垂直和面面垂直的轉化補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。3、線面平行的判斷：如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。符號表示：4.線面平行的性質：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。5、面面平行的判斷：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面，這兩個平面平行。注：垂直于同一條直線的兩個平面平行5、面面平行的性質：性質定理：1.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。2.兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面。★判斷或證明線面平行的方法⑴利用定義(反證法)：，則∥α(用于判斷)；⑵利用判定定理：線線平行線面平行(用于證明)；⑶利用平面的平行：面面平行線面平行(用于證明)；⑷利用垂直于同一條直線的直線和平面平行(用于判斷)。2線面斜交和線面角：∩α=A2.1直線與平面所成的角(簡稱線面角)：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內射影的夾角θ。圖2-3線面角2.2線面角的范圍：θ∈[0°，90°]注意：當直線在平面內或者直線平行于平面時，θ=0°；當直線垂直于平面時，θ=90°圖2-3線面角4、線面垂直的判斷：判定定理如果一直線和平面內的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。5.線面垂直性質：（1）若直線垂直于平面，則它垂直于平面內任意一條直線。即：（2）垂直于同一平面的兩直線平行。即：推論：6、面面垂直的判斷：一個平面經過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。判定定理：6、面面垂直的性質：如果兩個平面垂直，那么在—個平面內垂直于交線的直線必垂直于另—個平面。圖2-10面面垂直性質2圖2-10面面垂直性質2定義法：若兩面垂直，則這兩個平面的二面角的平面角為90°；★判斷或證明線面垂直的方法⑴利用定義，用反證法證明。⑵利用判定定理證明。⑶一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。⑷一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則也垂直于另一個。⑸如果兩平面垂直，在一平面內有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面。★1.5三垂線定理及其逆定理圖2-7斜線定理⑴斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的所有線段中，斜線相等則射影相等，斜線越長則射影越長，垂線段最短。圖2-7斜線定理如圖：⑵三垂線定理及其逆定理已知PO⊥α，斜線PA在平面α內的射影為OA，a是平面α內的一條直線。①三垂線定理：若a⊥OA，則a⊥PA。即垂直射影則垂直斜線。②三垂線定理逆定理：若a⊥PA，則a⊥OA。即垂直斜線則垂直射影。圖2-8三垂線定理⑶三垂線定理及其逆定理的主要應用圖2-8三垂線定理①證明異面直線垂直；②作出和證明二面角的平面角；③作點到線的垂線段。（二）、其他定理：（1）確定平面的條件：①不共線的三點；②直線和直線外一點；③相交直線或平行直線；（5）最小角定理：斜線與平面內所有直線所成的角中最小的是與它在平面內射影所成的角。（6）異面直線的判定：①反證法；②過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不過該點的直線是異面直線。（7）過已知點與一條直線垂直的直線都在過這點與這條直線垂直平面內。（8）如果—直線平行于兩個相交平面，那么這條直線平行于兩個平面的交線。考點六線面、面面關系判斷題1．已知直線l、m、平面α、β，且l⊥α，mβ，給出下列四個命題：（1）α∥β，則l⊥m （2）若l⊥m，則α∥β（3）若α⊥β，則l∥m （4）若l∥m，則α⊥β其中正確的是__________________.2.是空間兩條不同直線，是空間兩條不同平面，下面有四個命題：①②③④其中真命題的編號是________（寫出所有真命題的編號）。5.關于直線m、n與平面與，有下列四個命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若且，則；其中真命題的序號是_________________.練習1.判斷下面命題的正確的是平行于同一直線的兩平面平行.垂直于同一平面的兩直線平行.平行于同一平面的兩直線平行.垂直于同一直線的兩平面平行.平行于同一平面的兩平面平行.垂直于同一平面的兩平面平行.2空間不重合的三平面可以把空間分成部分,正方體六個面所在平面把空間分成部分.3若是異面直線,b,c是異面直線,則a,c的位置關系是（)A.相交,平行或異面B.相交或平行C.異面D.平行或異面4設b,c表示兩條直線,,表示兩個平面,下列命題中正確的是A．若b,c∥,則b∥c B．若b,b∥c,則c∥C．若c∥c⊥,則⊥ D．若c∥⊥則c5設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題正確的是（)A,若,則B,若則C,若,則D,若則6設是兩條直線,是兩個平面,則能推出的一個條件是()A.B.9已知為兩條不同的直線,為兩個不同的平面,則下列命題中正確的是（)10已知兩條直線,兩個平面,給出下面四個命題：①②③④其中正確命題的序號是（)A．①③B．②④C．①④D．②③11設有直線和平面.下列四個命題中,正確的是()A.若m∥,n∥,則m∥nB.若m,n,m∥,n∥,則∥C.若,m,則mD.若,m,m,則m∥12設是兩個不同的平面,是一條直線,以下命題正確的是（)A．若則B．若,則C．若,則D．若,則13已知直線和平面,下述推理中正確的有.14如下左圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，=1\*GB3①BM與ED平行；=2\*GB3②CN與BE是異面直線；=3\*GB3③CN與BM成角；=4\*GB3④DM與BN垂直；以上四個命題中，正確命題的序號是（）Ａ．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③Ｂ．=2\*GB3②=4\*GB3④Ｃ．=3\*GB3③=4\*GB3④Ｄ．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④練習：下左二圖是一個正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題：⑴AB與EF所在直線平行；⑵AB與CD所在直線異面；⑶MN與BF所在直線成60°；⑷MN與CD所在直線垂直；其中正確命題的序號是________.考點四平行與垂直的證明1.正方體，，E為棱的中點．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求證：平面；（Ⅲ）求三棱錐的體積．2.已知正方體，是底對角線的交點.求證：(１)C1O∥面；(2)面．3．如圖，矩形所在平面，、分別是和的中點.（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）若，求證：平面.AFEBCAFEBCDMNAD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點，N為AE的中點，AF=AB=BC=FE=AD(I)證明平面AMD平面CDE；(II)證明平面CDE；PPDABCOM5．在四棱錐P－ABCD中,側面PCD是正三角形,且與底面ABCD垂直,已知菱形ABCD中∠ADC＝60°,M是PA的中點，O是DC中點.（1）求證：OM//平面PCB；（2）求證:PA⊥CD；（3）求證:平面PAB⊥平面COM.7．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.（1）證明PA//平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD異面直線所成的角，線面角，二面角的求法★★★1．求異面直線所成的角：1.定義法：解題步驟：一找（作）：利用平移法找出異面直線所成的角；（1）可固定一條直線平移另一條與其相交；（2）可將兩條一面直線同時平移至某一特殊位置。常用中位線平移法二證：證明所找（作）的角就是異面直線所成的角（或其補角）。常需要證明線線平行；三計算：通過解三角形，求出異面直線所成的角；2．向量法求異面直線所成的角：若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|).2求直線與平面所成的角：關鍵找“兩足”：垂足與斜足1.定義法：解題步驟：一找：找（作）出斜線與其在平面內的射影的夾角（注意三垂線定理的應用）；二證：證明所找（作）的角就是直線與平面所成的角（或其補角）（常需證明線面垂直）；三計算：常通過解直角三角形，求出線面角。2.向量法：求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設線面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n，a〉|＝eq\f(|n·a|,|n||a|).3求二面角的平面角解題步驟：一找：根據二面角的平面角的定義，找（作）出二面角的平面角；二證：證明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定義法，三垂線法，垂面法）；三計算：通過解三角形，求出二面角的平面角。2.向量法求二面角：求出二面角α－l－β的兩個半平面α與β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ為銳角，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)；若二面角α－l－β所成的角θ為鈍角，則cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).五、距離的求法：（1）點點、點線、點面距離：點與點之間的距離就是兩點之間線段的長、點與線、面間的距離是點到線、面垂足間線段的長。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計算。注意：求點到面的距離的方法：①直接法：直接確定點到平面的垂線段長（垂線段一般在二面角所在的平面上）；②轉移法：轉化為另一點到該平面的距離（利用線面平行的性質）；③體積法：利用三棱錐體積公式。（2）線線距離：關于異面直線的距離，常用方法有：①定義法，關鍵是確定出的公垂線段；②轉化為線面距離，即轉化為與過而平行于的平面之間的距離，關鍵是找出或構造出這個平面；③轉化為面面距離；（3）線面、面面距離：線面間距離面面間距離與線線間、點線間距離常常相互轉化；例題：如圖所示,已知正四棱錐S—ABCD側棱長為,底面邊長為,E是SA的中點,則異面直線BE與SC所成角的大小為（）A．90°B．60°C．45°D．30°2正方體中,異面直線和所成的角的度數是_________________.如圖7，在正方體中，分別是，中點，求異面直線與所成角的角______________.考點二體積、距離、角等問題1．正棱錐的高和底面邊長都縮小原來的，則它的體積是原來的______________.2．已知圓錐的母線長為8，底面周長為6π，則它的體積是.3.如圖8所示，已知正四棱錐S—ABCD側棱長為，底面邊長為，E是SA的中點，則異面直線BE與SC所成角的大小為_____________.第3題4.如圖9-1-4，在空間四邊形中，,分別是AB、CD的中點，則與所成角的大小為_____________.5．如上右三圖在正三棱柱中，，則直線與平面所成角的正弦值為_______________.6如圖9-3-6，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，對角線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為_______________.A1CA1CBAB1C1D1DO圖9-3-6圖9-3-1圖77．如圖9-3-1，已知為等腰直角三角形,為空間一點，且，，，的中點為，則與平面所成的角為8．如圖7，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為__________________.9.一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個平面的距離是4cm，則該球的體積是______________.10．長方體的8個頂點在同一個球面上，且AB=2，AD=，，則頂點A、B間的球面距離是_________________.11.已知點在同一個球面上，若，則兩點間的球面距離是.12.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M為DD1的中點，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點，則直線OP與直線AM所成的角是_________________.13．△ABC的頂點B在平面a內，A、C在a的同一側，AB、BC與a所成的角分別是30°和45°，若AB=3，BC=，AC=5，則AC與a所成的角為_________.14．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B－AC－D，則四面體ABCD的外接球的體積為_____________.15．已知正方體的八個頂點都在球面上，且球的體積為，則正方體的棱長為_________.16.一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為_________.考點五異面直線所成的角，線面角，二面角證明1.如圖,四棱錐P—ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.求證：（1）平面PAC⊥平面PBD；（2）求PC與平面PBD所成的角；2.如圖所示，已知正四棱錐S—ABCD側棱長為，底面邊長為，E是SA的中點，則異面直線BE與SC所成角的大小為_____________.5.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，平面ABCD，且PA＝AB，點E是PD的中點.（1）求證：；（2）求證：平面AEC；（3）若，求三棱錐E－ACD的體積；（4）求二面角E－AC－D的大小.立體幾何中的向量方法（理科）例題：如圖，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高為3，底面是邊長為4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中點.EO1OD1C1BEO1OD1C1B1DCBAA1（2）求點E到平面O1BC的距離.解(1）∵OO1⊥平面AC，∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，建立如圖所示的空間直角坐標系（如圖）∵底面ABCD是邊長為4，∠DAB=60°的菱形，∴OA=2，OB=2，則A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），O1（0，0，3）設平面O1BC的法向量為=（x，y，z），則⊥，⊥，∴，則z=2，則x=－，y=3，∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）∴cos<，>=，設O1－BC－D的平面角為α，∴cosα=∴α=60°.故二面角O1－BC－D為60°.（2）設點E到平面O1BC的距離為d，∵E是O1A的中點，∴=（－，0，），則d=，∴點E到面O1BC的距離等于.ACDOBEyzx例題：如圖，在四面體ABCD中，OACDOBEyzx（1）求證：平面BCD；（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；（3）求點E到平面ACD的距離．⑴證明連結OC，．在中，由已知可得而， 即∴平面．(2)解以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則，∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為．⑶解設平面ACD的法向量為則，∴，令得是平面ACD的一個法向量．又∴點E到平面ACD的距離 ．EABCFE1A1B1