2023-2024年上期高一數學期中考試第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.不等式恒成立的一個充分不必要條件可以為（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用絕對值三角不等式解得，再由充分條件、必要條件的定義即可求解.【詳解】，解得，故不等式恒成立的一個充分不必要條件可以為．故選：D2.下列各組函數中表示同一函數的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用函數的定義判斷.【詳解】A.的定義域為，的定義域為R，故不是同一函數；B.與定義域都為R，且解析式相同，故是同一函數；C.的定義域為，的定義域為R，故不是同一函數；D.與解析式不同，故不是同一函數；故選：B3.設函數的定義域為，且是偶函數，是奇函數，則下列說法一定正確的有（）①；②；③；④A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】B【解析】【分析】由是奇函數得到的圖象關于點對稱，可判定②正確；由是偶函數，得到的圖象關于對稱，可判定③正確；在中，分別將用替換，將用替換，再將用替換，可判定①正確.【詳解】由題意，函數是奇函數，可得的圖象關于點對稱，所以，所以②正確；令，則，又由是偶函數，所以的圖象關于對稱，所以的圖象關于對稱，則有，令，則，所以③正確.在中，將用替換，則，在中，將用替換，則，所以，再將用替換，則，所以，所以①正確；對于④中，由，無法推出其一定相等.故選：B.4.已知正數x，y滿足x+y＝1，且≥m，則m的最大值為（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據題意＝=()﹣5，由基本不等式的性質求出＝(）[(x+1)+(y+1)]的最小值，即可得的最小值，據此分析可得答案.【詳解】根據題意，正數x，y滿足x+y＝1，則＝＝(y+1)+﹣4+(x+1)+﹣4＝()﹣5，又由＝()[(x+1)+(y+1)],＝[8+]≥，當且僅當x＝y＝時等號成立，所以＝()﹣5﹣5＝，即的最小值為，所以，則m的最大值為；故選：B．【點睛】本題主要考查基本不等式的性質以及應用，還考查了轉化求解問題的能力，屬于中檔題．5.下列對應：是從集合到集合的函數的是（）A.，，：B.，，：C.{|是三角形}，{|是圓}，：每一個三角形對應它的內切圓D.{|是圓}，{|是三角形}，：每一個圓對應它的外切三角形【答案】A【解析】【分析】由函數的定義，分別判斷即可.【詳解】A.集合A中的任意一個元素，在集合B中有唯一的對應，滿足條件，A正確；B.集合A中的0，在集合B中沒有對應，不滿足條件，B不正確；C.集合A,B不是數集，不滿足條件，C不正確；D.集合A,B不是數集，不滿足條件，D不正確；故選：A6.已知是定義在上的偶函數，則以下函數中圖象一定關于點成中心對稱的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分析函數的奇偶性，結合函數圖象變換可判斷ABCD選項.【詳解】構造函數，該函數的定義域為，所以，，函數為奇函數，故函數的對稱中心為原點.對于A選項，函數的圖象可在函數的圖象上向右平移個單位，故函數圖象的對稱中心為；對于B選項，函數的圖象可在函數的圖象上向左平移個單位，故函數圖象的對稱中心為；對于C選項，函數的圖象可在函數的圖象上向上平移個單位，故函數圖象的對稱中心為；對于D選項，函數的圖象可在函數的圖象上向下平移個單位，故函數圖象的對稱中心為.故選：B.7.已知函數（且），對任意，，當時總有，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，函數在定義域R上是增函數，列出不等式組，解出即可．【詳解】∵對任意，，當時總有，∴函數在定義域R上是增函數，∴，解得：．故選：A．8.已知函數在上單調遞減，那么實數的取值的范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分別討論、、和情況下，單調性及的正負，綜合分析，即可得答案.【詳解】當時，在上單調遞增，且，所以在上單調遞減，符合題意，當時，無單調性，不符合題意，當時，在上單調遞減，且，不符合題意，當時，在上單調遞減，，符合題意，還需，解得，綜上實數的取值的范圍是.故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.（多選）已知x，y為非零實數，代數式的值所組成的集合為，則下列判斷錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】分x，y都大于零，x，y中一個大于零，另一個小于零和x，y都小于零求解判斷即可【詳解】當x，y都大于零時，；當x，y中一個大于零，另一個小于零時，；當x，y都小于零時，．根據元素與集合的關系，可知，，，．故選：AB．10.下列說法正確的是（）A.很小的實數可以構成集合B.集合{x|y=x2-1}與集合是同一個集合C.由這些數組成的集合有4個元素D.集合是指第二或第四象限內的點集【答案】CD【解析】【分析】A選項：集合中元素需要具備確定性，而很小的數標準不確定；B選項：點集和數集無法相等；C選項：集合中相同的元素算做1個；D選項：可以判斷出x和y異號;【詳解】A選項：很小的實數標準不確定，故不能構成集合；B選項：其中第一個集合是數集，第二個集合是點集，故不是同一集合．C選項：因為，故這些數組成的集合有4個元素．D選項：因為xy<0，故點（x，y）是第二或第四象限內的點．綜上，CD正確．故選：CD11.下列說法正確的序號是（）A.偶函數的定義域為，則B.設，若，則實數的值為或C.奇函數在上單調遞增，且最大值為8，最小值為，則D.若集合中至多有一個元素，則【答案】AC【解析】【分析】根據偶函數定義域關于原點對稱可得，進而可判斷選項A；根據集合之間的關系可得，對集合B的取值分類討論，即可判斷選項B；根據奇函數的定義與單調性可得，計算進而可判斷選項C；對a的取值分為a=0和兩種情況討論，求出對應的范圍，即可判斷選項D.【詳解】A：因為函數為偶函數，所以它的定義域關于原點對稱，有，故A正確；B：，由得，當時，a=0；當時，；當時，；所以a的取值為0，，，故B錯誤；C：由為奇函數，，得，所以，故C正確；D：由A中至多有一個元素，得當a=0時，，符合題意；當時，，所以a的取值為或a=0，故D錯誤.故選：AC12.設函數其中表示中的最小者．下列說法正確的有（）A.函數為偶函數B.當時，有C.當時，D.當時，【答案】ABC【解析】【分析】根據題意畫出的大致圖像,然后依據圖像逐個檢驗即可．【詳解】畫的圖象如圖所示：對A選項，所以恒成立，故選項A正確；對B選項，當時,,可以看做是向右平移兩個單位，經過平移知恒成立,故選項B正確；對C選項，由圖知,當時,,可令,由和的圖象知,當時,在的上方,所以當時,,即成立,故選項正確；對D選項，根據函數圖像向右平移2個單位的圖像不完全在原來函數圖像上方知選項錯誤.故選:第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.已知，，若，則實數a的取值范圍是______________．【答案】【解析】【分析】化簡集合，解指數不等式并借助包含關系求a的范圍，再分析求解一元二次不等式，結合包含關系求a的范圍，然后綜合得解.【詳解】，由，得，則且，即，而，于是，解得；由不等式，得，且有，而，因此，解得，所以實數a的取值范圍是.14.若正實數，滿足，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】由，得，代入中化簡，再利用基本不等式可求得答案【詳解】解：由，得，因為，為正實數，所以，所以，當且僅當，即時，取等號（此時），所以的最小值為，故答案為：【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方15.已知命題；命題，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】解一元二次不等式求命題的解集，解一元一次方程求命題的解集，再由是的充分不必要條件列不等式組，求的取值范圍.【詳解】由題設，命題為，命題為，若是的充分不必要條件，必有，解得．故答案為：16.已知函數若關于的方程有且僅有4個不等實數根，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據函數解析式，作出函數圖象，將方程有4個不等實數根，轉化為函數的圖象與直線有四個不同的交點，利用數形結合的方法，即可求出結果.【詳解】因為，作出其圖象如下：因為關于的方程有且僅有4個不等實數根，所以函數的圖象與直線有四個不同的交點，由圖象可知，當時，顯然不滿足題意；當時，因為，，橫坐標為對應的空心點的坐標為由圖象可得，當直線過點時，直線與函數的圖象有五個不同的交點，此時；當直線過點時，直線與函數的圖象有三個不同的交點，此時；因此，為使直線與函數的圖象有四個不同的交點，只需.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.四、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，.（1）若求；（2）若設，已知是的充分不必要條件，則實數的取值范圍;【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡集合AB，再利用集合的補集和交集運算求解；（2）易得，根據且是的充分不必要條件，由，且等號不同時成立求解.【小問1詳解】解：當時，，則或，又，所以；【小問2詳解】當時，，設，且是的充分不必要條件，所以，且等號不同時成立，解得，所以實數的取值范圍是.18.已知正實數x，y滿足.（1）求xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求實數a取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據直接求解出的最大值，注意取等條件；（2）利用“”的代換結合基本不等式求解出的最小值，再根據求解出的取值范圍.【詳解】（1），所以，解得，當且僅當取等號，∴的最大值為.（2），當且僅當，取等號，∴，解得.即a的取值范圍是.19.設函數.（1）當時，若對于，有恒成立，求的取值范圍；（2）已知，若對于一切實數恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）據題意知，把不等式的恒成立轉化為恒成立，設，則，根據二次函數的性質，求得函數的最大致，即可求解.（2）由題意，根據二次函數的性質，求得，進而利用基本不等式，即可求解.【詳解】（1）據題意知，對于，有恒成立，即恒成立，因此，設，所以，函數在區間上是單調遞減的，，（2）由對于一切實數恒成立，可得，由存在，使得成立可得，，，當且僅當時等號成立，【點睛】本題主要考查了恒成立問題的求解，以及基本不等式求解最值問題，其中解答中掌握利用分離參數法是求解恒成立問題的重要方法，再合理利用二次函數的性質，合理利用基本不等式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.20.已知定義域為實數集的函數（1）判斷函數在上的單調性，并用定義證明.（2）若不等式成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）函數在上單調遞減，證明見解析；（2）【解析】【分析】（1），進而判斷函數為減函數，再根據函數單調性的定義證明即可；（2）由（1）得，再解不等式即可得答案.詳解】解：（1），因為函數為上的增函數，所以可判斷函數在上為單調遞減函數，證明如下：設且，則，因為且，所以，所以，即，所以函數在上為單調遞減函數.（2）由（1）知函數在上為單調遞減函數，所以等價于，即由于恒成立，所以實數的取值范圍為21.為減少人員聚集，某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式上班.分析顯示，當中有的成員自駕時，自駕群體的人均上班路上時間為：，(單位：分鐘)而公交群體中的人均上班路上時間不受的影響，恒為40分鐘，試根據上述分析結果回家下列問題：（1）當取何值時，自駕群體的人均上班路上時間等于公交群體的人均上班路上時間？（2）已知上班族的人均上班時間計算公式為：，討論的單調性，并說明實際意義.(注：人均上班路上時間，是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.)【答案】（1）或；（2）當時單調遞減，當時單調遞增，實際意義答案見解析【解析】【分析】（1）根據自駕群體的人均上班路上時間為：，分，兩種情況討論求解.（2）根據上班族的人均上班時間計算公式為：，分，，分別得到函數，然后再利用一次函數和二次函數的性質求解.【詳解】（1）依題意得：①當時，，不符，②當時，，若公交群體的人均上班時間等于自駕群體的人均上班時間，則，解得