2024—2025學年度高二數學10月月考試卷本試題卷共4頁，19題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘.★祝考試順利★注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內．寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設復數滿足，其中為虛數單位，則的共軛復數等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復數的除法運算和共軛復數的概念得到結果.【詳解】，所以的共軛復數為.故選：A.2.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率可確定直線的傾斜角.【詳解】由得，所以該直線的斜率為：.設直線傾斜角為，則，且，所以.故選：C3.第33屆夏季奧林匹克運動會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，金牌榜前10名的國家的金牌數依次為，則這10個數的分位數是（）A.14.5 B.15 C.16 D.17【答案】D【解析】【分析】將這10個數據從小到大排列，根據，結合百分位數的計算方法，即可求解.【詳解】將這10個數據從小到大排列得：，因為，所以這10個數分位數是.故選：D.4.已知向量，，且，那么等于（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】先根據向量垂直數量積為零求坐標，再根據坐標求模長計算即可.【詳解】因為，，且，所以，即，所以，所以，故選：C．5.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】充分必要條件的判斷：把兩個命題分別作為條件和結論，判定由條件能否推出結論即可.【詳解】當時，，，顯然，兩直線平行，滿足充分條件；當與直線平行時，，則∴或，當時顯然成立，當時，，，整理后與重合，故舍去，∴，滿足必要條件；∴“”是“直線與直線平行”的充要條件故選：C6.已知直線過點，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線l的方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】考慮截距是否為0，分兩種情況求解，求出直線斜率，即可求得答案.【詳解】由題意設直線與x軸交點為，則與y軸交點為，當時，直線過原點，斜率為，故方程為；當時，直線的斜率，故直線方程為，即，故選：D7.如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將作為基底，利用空間向量基本定理用基底表示，然后對其平方化簡后，再開方可求得結果【詳解】由題意得，，因為,所以，所以，故選：C8.已知兩點的坐標分別為，兩條直線和的交點為，則的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由直線所過定點和兩直線垂直得到點的軌跡，再設，結合輔助角公式求出即可；【詳解】由題意可得直線恒過定點，恒過定點，且兩直線的斜率之積為，所以兩直線相互垂直，所以點在以線段為直徑的圓上運動，，設，則，所以，所以當時，即時，取得最大值，此時點的坐標為.故選：D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知M為圓C：上的動點，P為直線l：上的動點，則下列結論正確的是（）A.直線l與圓C相切 B.直線l與圓C相離C.|PM|的最大值為 D.|PM|的最小值為【答案】BD【解析】【分析】根據圓心到直線l得距離，可知直線l與圓C相離；∵P、M均為動點，對|PM|先固定點P可得，再看不難發現，即．【詳解】圓C：得圓心,半徑∵圓心到直線l：得距離∴直線l與圓C相離A不正確，B正確；C不正確，D正確；故選：BD．10.下面四個結論正確的是（）A.已知向量，則在上的投影向量為B.若對空間中任意一點，有，則四點共面C.已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D.若直線的方向向量為，平面的法向量，則直線【答案】ABC【解析】【分析】利用投影向量的定義判斷A，利用空間四點共面，滿足，其中判斷B，根據向量基底的概念判斷C，利用線面關系的向量表示判斷D.【詳解】選項A：因為，所以在上的投影向量為，故選項A正確；選項B：因為，故選項B正確；選項C：是空間的一組基底，，所以兩向量之間不共線，所以也是空間的一組基底，故選項C正確；.選項D：因為直線的方向向量為，平面的法向量，，則直線或，故選項D錯誤；故選：ABC11.如圖所示，在棱長為2正方體中，分別為的中點，則（）A.B.平面C.直線與平面所成的角為D.三棱錐外接球表面積為【答案】AD【解析】【分析】由線面垂直的判定及性質即可判斷A；由線面關系即可判斷B；由線面角的定義即可判斷C；由球的表面積公式即可判斷D．【詳解】對于A，連接，則，因為，所以，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對于B，連接，由正方體得，，又，所以，因為平面，即與平面不平行，所以與平面不平行，故B錯誤；對于C，由題意知，是直線與平面所成的角，且，所以直線與平面所成的角不是，故C錯誤；對于D，由正方體得，平面，且，，所以三棱錐外接球的直徑，所以，外接球表面積為，故D正確；故選：AD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在正方體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是__________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量的夾角即可求解.【詳解】因為是正方體，建立以為原點的坐標系，如圖，設正方體的棱長為2，則有，，，，，，設異面直線與所成角為，．故答案為：．13.若，且為銳角，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】把為銳角轉化為與的夾角為銳角，然后利用數量積列不等式組求解即可.【詳解】因為為銳角，所以與的夾角為銳角，又，所以，解得且.故答案為：.14.已知，，若點Px,y在線段上，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據的形式，可轉化為線段AB上點與連線的斜率，結合圖形即可求解.【詳解】的幾何意義是點Px,y與點連線的斜率，又點Px,y在線段上，由圖知，因為，，所以，因為點P是線段AB上的動點，所以，故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知三點，記的外接圓為.（1）求的方程；（2）若直線與交于兩點，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系數法可求圓的一般方程；（2）利用垂徑定理求出弦長，從而可求面積.【小問1詳解】設的一般方程為，由題意可知，解得，所以，故的標準方程為.【小問2詳解】由（1）可知，，半徑.則圓心到直線的距離為，所以，故的面積為..16.在三角形中，內角所對邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，三角形的面積為，求三角形的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由正弦定理進行邊角互化可得，結合兩角差的余弦公式及同角三角函數的基本關系可求出，即可求出.(2)由三角形的面積公式可得，結合及余弦定理即可求出，即可得出結果.【小問1詳解】由正弦定理得，所以所以，整理得，因為，所以，因此，所以，所以.【小問2詳解】由的面積為，得，解得，又,則，.由余弦定理得，解得，，所以的周長為.17.已知的頂點，頂點在軸上，邊上的高所在的直線方程為．（1）求直線的方程；（2）若邊上的中線所在的直線方程為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程；（2）設點，求出線段的中點的坐標，將點的坐標代入直線的方程，求出的值，可得出點的坐標，再將點的坐標代入直線的方程，即可求出實數的值.【小問1詳解】解：由條件知邊上的高所在的直線的斜率為，所以直線的斜率為，又因為，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】解：因為點在軸上．所以設，則線段的中點為，點在直線上，所以，得，即，又點在直線上，所以，解得．18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為菱形，且，點為棱DP的中點.（1）在棱BC上是否存在一點，使得∥平面PAN？如果存在，確定點N的位置，如果不存在，請并說明理由；（2）若二面角的余弦值為時，求棱DP的長度，并求點A到平面BCM的距離．【答案】（1）存在，點為的中點（2）；點A到平面BCM的距離為2【解析】【分析】（1）取的中點，可得平面∥平面PAN，根據面面平行的性質可得∥，進而可得結果；（2）建系標點，設，分別求平面BCM、平面PCD的法向量，根據面面夾角求得a，進而可求點到面的距離.【小問1詳解】取的中點，連接，因為分別為的中點，則∥，且平面PAN，平面PAN，可得∥平面PAN，又因為∥平面PAN，，平面，可得平面∥平面PAN，且平面平面，平面平面，可得∥，由題意可知：∥，則為平行四邊形，可得，即點為的中點，所以棱BC上是存在一點，使得∥平面PAN，此時點為的中點.【小問2詳解】取的中點，連接，由題意可知：為等邊三角形，則，且∥，可得，又因為底面ABCD，則可以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則，可得，設平面BCM的法向量，則，令，則，可得，且平面PCD的法向量，由題意可得：，解得（舍負），可得，，所以點A到平面BCM的距離.19.在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．現有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到，則譯碼為1，若依次收到，則譯碼為1）．（1）已知．①若采用單次傳輸方案，重復發送信號0兩次，求至少收到一次0的概率；②若采用單次傳輸方案，依次發送，證明：事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數字之和為2”相互獨立．（2）若發送1，采用三次傳輸方案時譯碼為0概率大于采用單次傳輸方案時譯碼為0的概率，求的取值范圍．【答案】（1）①；②證明見解析（2）【解析】【分析】（1）①記事件為“至少收到一次0”，利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算可得；②記事件為“第三次收到的信號為1”，事件為“三次收到的數字之和為2”，證明即可；（2）記事件為“采用三次傳輸方案時譯碼為0”，事件為“采用單次傳輸