第二屆東冰?中國I廊舐學師范專業

理科大學生教學技能創新實踐大賽

參賽教案

課題:走進數學建模世界

教材：修①3。2函數模型及其應用

授課對象：高一學生

參賽選手：華南師范大學黃澤君

選手專業：數學與應用數學（師范）

數學的魅力在于,

第二屆東芝杯?中國師范大學師范專業理科大學生教學技能創新實踐大賽

她能以穩定的模式駕馭流動的世界!

《走進數耨模世界》

【教材】人教版數學必修①3。2函數模型及其應用【課時卻Q第4課時

【教學對象】高■浮生【授i瞰師】華南師范大學數學科學學院黃澤君

【教材分析】數學建模是高中數學新課程的新增內容，但《標準》中沒有對數學

建模的課時和內容作具體安排，只是建議懶學建模穿插在相關模塊的教學中.

而32函數模型及其應用“一節只是通過六個例子介紹一次函數、二^函數、

頻函數、對數函數與幕函數在解決實際問題中的作用，為以后的數例年踐

打基礎，還未能使學生真I■解數學建模的真實全過程.本節課通過一個較為真實

的數學建模案例，以彌木康材的這一不足。

【學情分析】高一學生在進入本節課的學習之前，需要腌前面已學過的二次函

數與三角函數的相關性質。

【教學目標】

今知識與技能

(1)初步理解數學模型、數學建模兩個概念；

(2)掌握框圖2--數學建模的過程。

今過程與方法

(1)經歷解決實際問題的全過程，初步掌握函數模型的思想與方法；

(2)提高學生通過建立函數模型解決實際問題的能力。

今情感態度價值觀

華南師范大學數學科學學院黃澤君第1頁

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(1)體驗將實際問題轉化為數學問題的數學化過程；

(2)感受數學的實用價值，增強應用意識；

(3)體味數學以不變應萬變的魅力。

【教學重點】框圖2—數學建模的過程.

［教學難點、關鍵］方案二中答案的探索;關鍵是運用合情推理.

【教學方法】引導探索、討論交施

【教狩段】PPT、幾何1杭

【教學過程設計】

-教學艇削

設計意圖：與大學數學建模相比，過去的中學

實際問題化為------

教學建模缺少理想化(模型假設)i文一事要的

設計意圖：展示將理想化問題轉化為數學問題

演化問題化為_____

..............—J

求解數學模型設計意圖：展示"解模"過程.

華南師范大學數學科學學院黃澤君第2頁

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設計意圖：

數學建模過程

設計意圖：

1.讓學生經歷數學建模中的優化過程；

設計意圖：

什么是1.使學生獲得科學的數學建模理論：數學建模

與數學模型的概念、數學建模的具體過程;

■

設計意圖：

牛刀小試1.根據桑代克的練習律與斯金納的強化原理設

華南師范大學數學科學學院黃澤君第3頁

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現有寬為a的長方形板材，請將它設計制

(―)成向來的開口的長條形水槽，使水槽能通過

的流水量最大。

實際教師學生與大學

引導聽講數學建

化為學生思量模相比，

臃閱讀過去的

化問iQA理解中學數

題1.初步整化問題學建模

估計在單位時間內，該水槽能通過的流水量取決缺少理

時間于水流速度和它的橫截面積。我們將問題理并將想化這

2想化/限定水流速度是一定的.那末，要在單其理一重要

分鐘位時間內獲得最大的流水量，就應該將水槽想化的環節。

設計成橫截面積最大。于是，問題化歸為：本環節

現有寬為a的長方形板材，請將它設計制成意在恢

一開口的長條形水槽，使水槽的橫截面積最復數學

尢"建模的

2,注■步理?化真實面

如果將水槽的橫截面設計成矩形，那末這目。

一實際問題可以轉化為理想化問題：

如下圖所示，要建造一個橫截面為矩形

華南師范大學數學科學學院黃澤君第4頁

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ABCD的水槽，并且AB,BC,CD的長度

之和等于a.問應當怎樣設計水槽的深度和寬

度，使水槽的橫截面積最大?

/

A.

B'/1

(-)1.尋覓變量以及變量之間的關系

在此問題中，水槽的深度是一個變量，寬展示將

將理度是另一個變量，橫截面積也是一個變量。教師學生理想化

設AB=x,BC=y。矩形ABCD的面積為S。引導聽講問題轉

問題那末，這三個變量之間的關系是S=xy。講解思量化為數

變量S由兩個變量x和y確定如果我們學問題

為數

能使面積S表達式只由一慳量確定，那末的數學

學問我們研究的問題就可以簡化，這就需要尋覓化過程.

華南師范大學數學科學學院黃澤君第5頁

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題兩個變量X和y之間的關系.顯然，

估計2x+y=a.

時間2,建譴學模型

3S=x(a-2x)

分鐘.將實際問題轉化為一個純數學問題：

當X取何值時，函數S=x(a-2x)(0<xT)

2

有最大值？

因為S=x(a-2x)-2(x-a)2〈歲,

848

所以，當x=工時，s有最大值0.125a2。

4

(三)教師學生展

止忸寸,v=a-2x=：.

2

引導聽講示

瞬分析思量解

講解求解模

堀模型過

當水槽的橫截面設計成矩形時,只要將深度、

程

寬度分別設計為工和生時，可得到最大的橫

42

截面積，從而口J獲得最大的流水量。

結果

可將上述數學建模的過程概括為下面的

華南師范大學數學科學學院黃澤君第6頁

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估計框圖1:

時間

2

分鐘

結合這

（四）教師學生一實際

引導聽講問題的

數學講解思量解決過

程，概括

過程出數學

建模的

估計基本過

時間程，以實

2分現由具

鐘?體到抽

華南師范大學數學科學學院黃澤君第7頁

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象的升

華。

（五）我們前面的設計是將橫截面設計成矩形，

將深度、寬度分別設計為a.和工時，可得到教師學生1.讓學

42

融最大的橫截面積，將學動手生經歷

解的如果將水槽的橫截面分別按照下圖中的生分探索數學建

屐五種方案進行設,結果又如何呢？成五各自模中的

估計個小的優化i寸

方案一方案二

時間組，程；

7?h__A并巡方案2.培養

分鐘a

T腌學生的

三角能然腰描形

分探究意

方案三方案四領識。

2決問

5

445$題.

四個底角都為五個底角都為

67.5。的等腰三角形72。的等腰三角形

由

一

缺IT

少

導

數

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華南師范大學數學科學學院黃澤君第9頁

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下面，我們將全班分成5個小組，分別

探索五個方案的設計。最后派代表報告本小

組的探索結果。

:S=1X（a—x）sin9共！X（a—x）

教師學生通過觀

22

=—_J（x—'la）?共絲=0.125a2.總結代表察、試

8228

點評講解算估算

浮=900,且x=_Ja時，S=0.125a2.

2max

各自與數學

a士

轆75^^:s=1（2a+2._.sin9）cos9

2333方案實驗，培

解的

=^（1+sin9）cos9

9的答養學生

腐

（演示數學實驗）案的合情

西

9=30o時,S必0.144a2推理能

估計mas

并指

方案三（四個底角為67.5。的等腰三角形）：力和數

時間出運

火犬必用導

S=44tan67.500.151a2.學發現

248數工

7

具可

方案四（五個底角為72。的等腰三角形）：能力.

分鐘以證

S=5人［&舄tan72o必0.154a2.明我

們的

答案

方案五：

是正

確的

a\己2

?.?幾r=a,：r石.：S—幾12二^必0.159a2.

幾22幾

通過比較以上五種方案和橫截面設計為

矩形時的情況可以得出，方案五是這個實際

問題的最優解，即：

華南師范大學數學科學學院黃澤君第10頁

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將水槽的橫截面設計為半徑為土的半圓

形時，從而RJ狀得最大的流水量。

華南師范大學數學科學學院黃澤君第11頁

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以上我們進行了六種設計方案的探索后，才

找到了該問題的最優解。這就表明，數學建

模需要對所得到的結果進行檢驗評價，以確教師學生1.使學

認結果是否合理，是否是較好的結果.如果結講解聽講生獲得

（六）果不滿意，就需要重新回到"理想化問題”概括思量科學的

這一環節。于是，我們就可以概括出一個較數學建

什么為完善的數學建模過程的框圖。模理論：

是框圖2:數學建

數學模與數

實際問題

學模型

重新理想化

理想化問題

估計f尋覓變量關系數學建

時間模的具

f建立數學模型

6體過程；

分鐘2.體會

數學以

求解數學模型

不變應

結果不理想

萬變的

結果是不合理

魅力；

是

問題獲得解決

3.彌補

《標準》

華南師范大學數學科學學院黃澤君第12頁

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中數學

的建模

理論的

華南師范大學數學科學學院黃澤君第13頁

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根據這個框圖，我們就可以來回答什么是數

猙模？

數學建模(MathematicalModelling):

就是運用數學化的手段從實際問題中提煉、

抽象出一個數學模型，求出模型的解，檢驗模

型的合理性，從而使這一實際問題得以解決

的過程.

數學模型就是用數學語言符號來描述

客觀事物的特征及芟內在聯系的數學結構

表達式.例如，各種函數、方程、不等式、

不等式組等等都是比較常見的數學模型。

世界上最簡單的數學模型是表示數的

字母a。數學模型"a”有兩方面的含義：

1。作為結果，她表示的是一個確定的

數值，可以參預運算；

2。作為過程，她表示的是一個變量:可

大可小；可正可負；可以是有理數也可以使

也瞰

由于數學模型具有高度的抽象性、概括

性和結構的確定性，所以數學模型能以不變應

萬變。不管是中文還是英文，一個字所能表

達的意義十分有限，但我們的數學模型"a"

華南師范大學數學科學學院黃澤君第14頁

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卻可以表示無窮無盡的對象——流動的世

界。

又比如說勾股定理，這一模型可以用來

處理數以億計的實際問題。從小到斜邊長為

一微米的直角三角形到大至斜邊長為十萬八

千里的直角三角形，只要是直角三角形，它們

居然都滿足同樣的結構模型：

斜邊的平方等于兩條直角邊的平方之和。

我不知道,這個世界上還有什么學科象數學這

樣如此簡潔，如此概括，如此統一。

我只知道：

"數學的魅力在于，

她能以穩定的模式駕馭流動的世界！"

華南師范大學數學科學學院黃澤君第15頁

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如下圖，某房地產公司擁有一塊“缺角矩

1O根據

形“荒地ABCDE,邊長和方向如圖所示，欲在練習律

（七）這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公教師學生和強化

寓，請劃出這塊地基，并求地基的最大面積。動手凰里，強

牛刀\北說明解決化剛剛

100m

小試A問題.問題獲得的

估計西最后數學建

80m

時間60m演示模理論；

\______________

14C70mD數學2.培養

分鐘數學實驗實驗.學生的

問題解

能力。

1.小結1。小結

這節課，我們通過解決一個實際問題，帶意在強

(A)大家走進了數學建模世界。教師學生化數學

數學建模就是……；講解內化建模理

。冷數學模型就是……;點化數學論，成

與數學建模的具體過程……建模知識組

陶我們還感受到了理論塊；

思量"數學的魅力在于，2.設計

她能以穩定的模式駕馭流動的世界！"四個課

華南師范大學數學科學學院黃澤君第16頁

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估計2.課后思■:后思考

時間(1)將各方案中的圖形沿虛線向上翻折，并觀察思曲目

2考：周長為2a的凸多邊形，什么時候面積最大？教師學生的是培

分鐘(2)家庭物理小實驗呈現思量養學生

先將一條長度固定的柔軟絲線的兩頭連接起問題準備的數學

來，再將此封閉的曲線輕輕放在一個蒙有肥皂膜的解決探究能

問題1：

正方形(邊長約5cm)鐵絲框上的肥皂膜上(注意，問題力、動手

是讓學

生探索

別弄破肥皂膜！),最后用小釘將曲線內的肥皂膜刺實踐能

發現周問題2:

長一定讓學生

破。你觀察到什么現象，說明了什么問題？力和數

的凸多通過動

邊形中手實踐

(3)請你匡助吉東皇后解決問題學創新

，正多發現周

邊形的長一定

吉東是泰雅皇帝的女兒，歷經周折，逃到非洲，意識。

面積最的圖形

大.中，圓

且成為迦太基的創始人和第一位奇妙的皇后。剛到

的面積

最大.問題3：

非洲時，吉東要在靠海岸線的地方購買"一張獸皮"

是等周間

題在解決

的土地：她把獸皮剪成細條，結成長繩，剩下的問

實際問題

中的應

題是:怎么圍，才會得到最多的土地呢？