MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h函數(shù)的周期性和對稱性總結(jié)講義【考試要求】1、了解函數(shù)的周期性及其幾何意義；2、會根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行簡單的應用；3、能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論；4、會利用對稱公式解決問題。【知識精講】一、函數(shù)的周期性1、周期函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在一個非零常數(shù)，使得，都有，且，則稱函數(shù)為周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期；核心公式：2、最小正周期若周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，則這個最小的正數(shù)就叫做的最小正周期；3、周期重要結(jié)論與關(guān)系推導出的周期結(jié)論：關(guān)系式周期二、函數(shù)的對稱性1、奇函數(shù)、偶函數(shù)的對稱性（1）奇函數(shù)關(guān)于對稱，偶函數(shù)關(guān)于對稱；（2）若是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱軸為；若是奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱中心為；推廣：若是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱軸為；若是奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱中心為；2、單個函數(shù)對稱性：“同號對稱軸，異號對稱中心”（1）（2）3、兩個函數(shù)的對稱性：“取相等”關(guān)系式周期與與與與與與與與三、與對稱性有關(guān)的周期結(jié)論1、單個函數(shù)的對稱性與周期的關(guān)系定義在上的函數(shù)：滿足條件結(jié)論（1）有兩個對稱軸為周期函數(shù)，最小正周期為：（2）有兩個對稱中心為周期函數(shù)，最小正周期為：（3）一個對稱中心和一個對稱軸為周期函數(shù)，最小正周期為：2、兩個函數(shù)的周期關(guān)系若和分別是周期為的周期函數(shù)，則為周期函數(shù)；不是所有函數(shù)都有最小正周期，比如常函數(shù)；3、對稱性和周期性的一般關(guān)系式總結(jié)：（1）看：同號周期，異號對稱（2）看：同號對稱軸，異號對稱中心關(guān)系式結(jié)論對稱軸：對稱中心：周期：【題型總結(jié)】題型1函數(shù)的周期性題型2函數(shù)的對稱性題型3對稱性和周期的關(guān)系【典型例題】題型1函數(shù)的周期性【例1】已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A．B．C．0D．1【答案】A【解析】方法1賦值法，令可得，，，令可得，，即，函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，則，，故，即，的一個周期為．，，，，，一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，．答案為A．方法2構(gòu)造函數(shù)法（1）根據(jù)抽象函數(shù)表達式聯(lián)想到常見函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造出具體的符合條件的函數(shù)：由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，由方法1中知，解得，取，，則，符合條件，（2）直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題：的周期，，且，，22除以6余4，．答案為A．【變式1】已知是定義域為的奇函數(shù),滿足.若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】（1）先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期：是定義域為的奇函數(shù)，且，,（2）據(jù)周期以及對應函數(shù)值求結(jié)果：，，，，，答案為C.題型2函數(shù)的對稱性1、單個函數(shù)的對稱性【例2】已知函數(shù)，則（）A．的最小值為2B．的圖象關(guān)于y軸對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱D．的圖象關(guān)于直線對稱【答案】D【解析】可以為負，A錯；關(guān)于原點對稱；故B錯；關(guān)于直線對稱，故C錯，D對，答案為D.【變式2】已知函數(shù)，則（）A．在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞減C．的圖像關(guān)于直線對稱D．的圖像關(guān)于點對稱【答案】C【解析】，的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確，D錯；又（）由復合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A，B錯誤，答案為C．2、兩個函數(shù)的對稱性【例3】已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為則（）A．0B．C．D．【答案】B【解析】方法1直接法.得關(guān)于對稱，也關(guān)于對稱，∴對于每一組對稱點∴，答案為B．方法2特殊值法.由得不妨設(shè)因為，與函數(shù)的交點為∴當時，，答案為B．方法3構(gòu)造法.設(shè)，則，故為奇函數(shù).設(shè)，則，故為奇函數(shù).∴對于每一組對稱點.將，代入，即得∴，答案為B．方法4由題意得,函數(shù)和的圖象都關(guān)于對稱,兩函數(shù)的交點也關(guān)于對稱,對于每一組對稱點和，都有..答案為B.【變式3】設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)是函數(shù)的圖像上任意一點，它關(guān)于直線對稱為（），由已知（）在函數(shù)的圖像上，，解得，即，，解得，答案為C．題型3對稱性和周期的關(guān)系【例4】（2022·全國新Ⅰ卷）（多選）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A．B．C．D．【答案】BC【解析】方法1：對稱性和周期性的關(guān)系對，為偶函數(shù)，即①，，關(guān)于對稱，則，故C正確；對，為偶函數(shù)，，，關(guān)于對稱，由①求導，和，得，，關(guān)于對稱，其定義域為R，，結(jié)合關(guān)于對稱，周期，，，故B正確，D錯；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，無法確定的函數(shù)值，故A錯.答案為BC.方法2特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法1知周期為2，關(guān)于對稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯誤，選BC.答案為BC.【變式4】設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（

）A．B．