MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h函數的周期性和對稱性總結講義【考試要求】1、了解函數的周期性及其幾何意義；2、會根據函數的性質進行簡單的應用；3、能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論；4、會利用對稱公式解決問題。【知識精講】一、函數的周期性1、周期函數設函數的定義域為，若存在一個非零常數，使得，都有，且，則稱函數為周期函數，非零常數叫做這個函數的周期；核心公式：2、最小正周期若周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，則這個最小的正數就叫做的最小正周期；3、周期重要結論與關系推導出的周期結論：關系式周期二、函數的對稱性1、奇函數、偶函數的對稱性（1）奇函數關于對稱，偶函數關于對稱；（2）若是偶函數，則函數圖象的對稱軸為；若是奇函數，則函數圖象的對稱中心為；推廣：若是偶函數，則函數圖象的對稱軸為；若是奇函數，則函數圖象的對稱中心為；2、單個函數對稱性：“同號對稱軸，異號對稱中心”（1）（2）3、兩個函數的對稱性：“取相等”關系式周期與與與與與與與與三、與對稱性有關的周期結論1、單個函數的對稱性與周期的關系定義在上的函數：滿足條件結論（1）有兩個對稱軸為周期函數，最小正周期為：（2）有兩個對稱中心為周期函數，最小正周期為：（3）一個對稱中心和一個對稱軸為周期函數，最小正周期為：2、兩個函數的周期關系若和分別是周期為的周期函數，則為周期函數；不是所有函數都有最小正周期，比如常函數；3、對稱性和周期性的一般關系式總結：（1）看：同號周期，異號對稱（2）看：同號對稱軸，異號對稱中心關系式結論對稱軸：對稱中心：周期：【題型總結】題型1函數的周期性題型2函數的對稱性題型3對稱性和周期的關系【典型例題】題型1函數的周期性【例1】已知函數的定義域為R，且，則（

）A．B．C．0D．1【答案】A【解析】方法1賦值法，令可得，，，令可得，，即，函數為偶函數，令得，，即有，則，，故，即，的一個周期為．，，，，，一個周期內的．由于22除以6余4，．答案為A．方法2構造函數法（1）根據抽象函數表達式聯想到常見函數的性質，構造出具體的符合條件的函數：由，聯想到余弦函數和差化積公式，可設，由方法1中知，解得，取，，則，符合條件，（2）直接使用具體函數的性質解題：的周期，，且，，22除以6余4，．答案為A．【變式1】已知是定義域為的奇函數,滿足.若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】（1）先根據奇函數性質以及對稱性確定函數周期：是定義域為的奇函數，且，,（2）據周期以及對應函數值求結果：，，，，，答案為C.題型2函數的對稱性1、單個函數的對稱性【例2】已知函數，則（）A．的最小值為2B．的圖象關于y軸對稱C．的圖象關于直線對稱D．的圖象關于直線對稱【答案】D【解析】可以為負，A錯；關于原點對稱；故B錯；關于直線對稱，故C錯，D對，答案為D.【變式2】已知函數，則（）A．在單調遞增B．在單調遞減C．的圖像關于直線對稱D．的圖像關于點對稱【答案】C【解析】，的圖象關于直線對稱，故C正確，D錯；又（）由復合函數的單調性可知在上單調遞增，在上單調遞減，A，B錯誤，答案為C．2、兩個函數的對稱性【例3】已知函數滿足，若函數與圖像的交點為則（）A．0B．C．D．【答案】B【解析】方法1直接法.得關于對稱，也關于對稱，∴對于每一組對稱點∴，答案為B．方法2特殊值法.由得不妨設因為，與函數的交點為∴當時，，答案為B．方法3構造法.設，則，故為奇函數.設，則，故為奇函數.∴對于每一組對稱點.將，代入，即得∴，答案為B．方法4由題意得,函數和的圖象都關于對稱,兩函數的交點也關于對稱,對于每一組對稱點和，都有..答案為B.【變式3】設函數的圖像與的圖像關于直線對稱，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設是函數的圖像上任意一點，它關于直線對稱為（），由已知（）在函數的圖像上，，解得，即，，解得，答案為C．題型3對稱性和周期的關系【例4】（2022·全國新Ⅰ卷）（多選）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（

）A．B．C．D．【答案】BC【解析】方法1：對稱性和周期性的關系對，為偶函數，即①，，關于對稱，則，故C正確；對，為偶函數，，，關于對稱，由①求導，和，得，，關于對稱，其定義域為R，，結合關于對稱，周期，，，故B正確，D錯；若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，無法確定的函數值，故A錯.答案為BC.方法2特殊值，構造函數法.由方法1知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.答案為BC.【變式4】設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（

）A．B．