2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查高一數(shù)學(xué)一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.1.已知向量，若，則（）A2 B. C.2 D.2.為了解學(xué)生每日參加體育鍛煉的情況，學(xué)校用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從高一?高二?高三年級(jí)所有學(xué)生中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)查，已知該學(xué)校高一?高二?高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級(jí)的學(xué)生有36人，則抽取的樣本容量為（）A.90 B.100 C.120 D.1603.棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.4.若，則（）A. B.2 C. D.5.已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，且，則C.若，，則D.若，則6.已知向量，且，任意點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則（）A. B.6 C. D.37.已知三棱錐平面，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.8.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面分別刻有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字，投擲這枚骰子兩次，設(shè)事件“第一次朝上面的數(shù)字是奇數(shù)”，則下列事件中與相互獨(dú)立的是（）A.第一次朝上面的數(shù)字是偶數(shù) B.第一次朝上面的數(shù)字是1C.兩次朝上面數(shù)字之和是8 D.兩次朝上面的數(shù)字之和是7二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.9.已知某地一周每天的最高溫度（單位：）分別為：，則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論中正確的是（）A.眾數(shù)是27 B.極差是4C.中位數(shù)是28 D.平均數(shù)是2810.已知的半徑為為其內(nèi)接三角形，則下列結(jié)論中正確的是（）A若，則B.若，則周長(zhǎng)最大值為C.若，則D.若，則面積的最大值為11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.平面平面C.D.二面角的正切值為三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.12.假設(shè)，且與相互獨(dú)立，則__________.13.已知圓臺(tái)的上底半徑為2，下底半徑為4，則經(jīng)過(guò)母線中點(diǎn)且與底面平行的平面將圓臺(tái)分成上下兩部分的體積之比為_(kāi)_________.14.已知圓的半徑為1，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，為圓內(nèi)接正2024邊形，則__________，__________.四?解答題：本大題共5小題，第15題13分，16?17題15分，18?19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.必須把解答過(guò)程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無(wú)效.15.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求角；（2）若，求的面積.16.某快捷超市計(jì)劃通過(guò)停車收費(fèi)推動(dòng)快速購(gòu)物進(jìn)而提升顧客流量，在制定停車收費(fèi)方案時(shí)，需要考慮顧客停車時(shí)間的長(zhǎng)短.現(xiàn)隨機(jī)采集了100個(gè)停車時(shí)間的數(shù)據(jù)（單位：），按分成5組，其頻率分布直方圖如下.（1）如果該超市計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)的快速購(gòu)物顧客不收取其停車費(fèi)，那么應(yīng)該允許免費(fèi)停車多長(zhǎng)時(shí)間？（2）記，其中為樣本平均數(shù)，為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.如果該超市計(jì)劃對(duì)停車時(shí)長(zhǎng)超過(guò)客戶征收更高的停車費(fèi)，求（精確到個(gè)位）.（注：假設(shè)頻率分布直方圖中每組數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，參考數(shù)據(jù)：）17.某商場(chǎng)舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：每次抽獎(jiǎng)時(shí)，從裝有2個(gè)白球和3個(gè)紅球（球除顏色外，完全相同）的抽獎(jiǎng)箱中，不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的2個(gè)球顏色相同則為中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)；商場(chǎng)根據(jù)購(gòu)物金額給予顧客一次或多次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)之間相互獨(dú)立.（1）若某顧客有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求其中獎(jiǎng)的概率；（2）若某顧客有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求其至少有一次中獎(jiǎng)的概率.18.如圖1，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)分別在線段上，且，沿將翻折到的位置，使得，如圖2.（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.通過(guò)平面直角坐標(biāo)系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示向量.類似的，我們可以把有序復(fù)數(shù)對(duì)看作一個(gè)向量，記，稱為復(fù)向量.類比平面向量的相關(guān)運(yùn)算法則，對(duì)于，我們有如下運(yùn)算法則：①；②；③；④.（1）設(shè)，求和；（2）類比平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律，得出復(fù)向量的一個(gè)相關(guān)結(jié)論，判斷其是否正確并說(shuō)明理由；（3）設(shè)，集合.求的最小值；并證明當(dāng)取最小值時(shí)，對(duì)于任意的.2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查高一數(shù)學(xué)一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.1.已知向量，若，則（）A.2 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由向量平行的充要條件列出方程即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚遥裕獾?故選：D.2.為了解學(xué)生每日參加體育鍛煉的情況，學(xué)校用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從高一?高二?高三年級(jí)所有學(xué)生中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)查，已知該學(xué)校高一?高二?高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級(jí)的學(xué)生有36人，則抽取的樣本容量為（）A.90 B.100 C.120 D.160【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的抽取比例相同運(yùn)算求解.【詳解】由圖可知高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，抽取的樣本中高三年級(jí)的學(xué)生有36人，所以樣本容量為．故選：C.3.棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特征求出球的半徑，再結(jié)合球的表面積公式即可求解.【詳解】球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，設(shè)球的半徑為，則，所以球的表面積為.故選：B.4.若，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再由代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，所以.故選：A5.已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，且，則C.若，，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線線、線面和面面之間的基本關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，則與可能平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，且時(shí)，平面與可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則，所以，故C正確；對(duì)于D：若，設(shè)，而可能平行，也可能相交，則可能平行，也可能和相交，故D錯(cuò)誤．故選：C．6.已知向量，且，任意點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則（）A. B.6 C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得是的中位線，再由向量模長(zhǎng)的計(jì)算公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿我恻c(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則是的中位線，所以，又，則，則.故選:A7.已知三棱錐平面，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過(guò)平移直線與，將求異面直線所成轉(zhuǎn)化為求，然后求出三角形的三條邊長(zhǎng)，利用余弦定理即可求解.【詳解】如圖，令分別取的中點(diǎn)，并連接,所以,所以異面直線與所成角等于，因?yàn)槿忮F平面，又平面,平面所以,因?yàn)槿忮F平面，所以所以又因?yàn)槿忮F平面，所以，又所以，所以所以在三角形中，，即異面直線與所成角的余弦值為，故選：B.8.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面分別刻有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字，投擲這枚骰子兩次，設(shè)事件“第一次朝上面的數(shù)字是奇數(shù)”，則下列事件中與相互獨(dú)立的是（）A.第一次朝上面的數(shù)字是偶數(shù) B.第一次朝上面的數(shù)字是1C.兩次朝上面的數(shù)字之和是8 D.兩次朝上面的數(shù)字之和是7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件的定義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】拋擲骰子兩次，共有個(gè)基本事件數(shù)，則，共18個(gè)基本事件，則，設(shè)事件為第一次朝上面的數(shù)字是偶數(shù)，則事件與事件是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；設(shè)事件為第一次朝上面的數(shù)字是1，則，故B錯(cuò)誤；設(shè)事件為兩次朝上面的數(shù)字之和是8，則共5個(gè)基本事件，則，且，則，，所以C錯(cuò)誤；設(shè)事件兩次朝上面的數(shù)字之和是7，則，則，且，則，因?yàn)椋允录c事件相互獨(dú)立.故選：D二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.9.已知某地一周每天的最高溫度（單位：）分別為：，則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論中正確的是（）A.眾數(shù)是27 B.極差是4C.中位數(shù)是28 D.平均數(shù)是28【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)、極差、中位數(shù)、平均數(shù)的定義求出對(duì)應(yīng)的值后即可判斷.【詳解】對(duì)于A，這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，這組數(shù)據(jù)中最大值是，最小值是26，極差為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，中間的數(shù)是，所以中位數(shù)是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故D正確.故選：AD.10.已知的半徑為為其內(nèi)接三角形，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則周長(zhǎng)的最大值為C.若，則D.若，則面積的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)，求出，利用向量數(shù)量積公式求出答案；B選項(xiàng)，由正弦定理得，由余弦定理得到，由基本不等式求出最值；C選項(xiàng)，根據(jù)，求出，故；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，，故，，所以，，由余弦定理得到，求出面積最大值.【詳解】A選項(xiàng)，，故，則，A正確；B選項(xiàng)，由正弦定理得，故，由余弦定理得，故，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故周長(zhǎng)的最大值為，B正確；C選項(xiàng)，若，則，故，，C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，，故，因?yàn)椋裕獾茫驗(yàn)闉殇J角，故，由余弦定理得，故，由基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，解得，所以面積的最大值為，D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)的范圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.平面平面C.D.二面角的正切值為【答案】BCD【解析】【分析】借助，而與平面相交，從而可判斷A；利用面面垂直證明線面垂直，再證明面面垂直，可判斷B；做出相應(yīng)的平行線，找到G在位置即可判斷C；利用C選項(xiàng)的結(jié)論，作出二面角的平面角，即可求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)檎襟w中，，且平面，所以與平面不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，取AD中點(diǎn)H，連接BH，F(xiàn)H，BH，易知平面平面，又在平面中，，所以，又平面平面，所以平面，又，所以平面平面，故B正確；對(duì)于C，如圖,取中點(diǎn)M，取中點(diǎn)N，連接EN，，，再取中點(diǎn)G，連接FG，易知正方體中，,在正方形中，,三角形中，,由平行的傳遞性可得，,所以平面與交于點(diǎn)，而點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，所以，故C正確；對(duì)于D，如圖，延長(zhǎng)FG，相交于點(diǎn)K，取中點(diǎn)N，連接EN，過(guò)點(diǎn)E，作，垂足為P,連接NP，易知平面,又平面，所以又,所以平面，又平面，所以,所以是二面角的平面角，如圖，將底面單獨(dú)畫出，在三角形中，，所以，所以，所以,解得，所以，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.12.假設(shè)，且與相互獨(dú)立，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t，且與相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立，所以.故答案為：13.已知圓臺(tái)的上底半徑為2，下底半徑為4，則經(jīng)過(guò)母線中點(diǎn)且與底面平行的平面將圓臺(tái)分成上下兩部分的體積之比為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】將圓臺(tái)還原為圓錐，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓、圓、截面圓的半徑分別為、、，設(shè)圓錐、圓錐、圓錐的體積分別為、、，由圓臺(tái)上、下底面圓和截面圓的半徑之比，可得到體積、、之間的關(guān)系，進(jìn)而可得經(jīng)過(guò)母線中點(diǎn)且與底面平行的平面將圓臺(tái)分成上下兩部分的體積之比.【詳解】設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓的圓心分別為、，將圓臺(tái)還原為圓錐，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，設(shè)經(jīng)過(guò)母線中點(diǎn)且與底面平行的平面所成截面圓的圓心為，設(shè)圓、圓、圓的半徑分別為、、，則，，則，設(shè)圓錐、圓錐、圓錐的體積分別為、、，因?yàn)椋瑒t，，則，所以，，，則經(jīng)過(guò)母線中點(diǎn)且與底面平行的平面將圓臺(tái)分成上下兩部分的體積之比為，.故答案為：.14.已知圓的半徑為1，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，為圓內(nèi)接正2024邊形，則__________，__________.【答案】①.1②.4048【解析】【分析】根據(jù)，可得第一空答案；由、可得第二空答案.【詳解】圓內(nèi)有1012對(duì)對(duì)頂角相等的全等三角形，在每一對(duì)三角形中，如，與中，設(shè)、中點(diǎn)分別為、，則、、一條直線上，且，則，，可得，所以，同理，，所以，所以；.故答案為：①1；②4048.【點(diǎn)睛】思路大家：在第二空中，主要是和可得第二空答案.四?解答題：本大題共5小題，第15題13分，16?17題15分，18?19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.必須把解答過(guò)程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無(wú)效.15.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求角；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角，整理可得，求出；（2）由余弦定理求出，進(jìn)而利用面積公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得，因?yàn)椋裕剩矗驗(yàn)椋裕弧拘?wèn)2詳解】由余弦定理得，即，解得，故.16.某快捷超市計(jì)劃通過(guò)停車收費(fèi)推動(dòng)快速購(gòu)物進(jìn)而提升顧客流量，在制定停車收費(fèi)方案時(shí)，需要考慮顧客停車時(shí)間的長(zhǎng)短.現(xiàn)隨機(jī)采集了100個(gè)停車時(shí)間的數(shù)據(jù)（單位：），按分成5組，其頻率分布直方圖如下.（1）如果該超市計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)的快速購(gòu)物顧客不收取其停車費(fèi)，那么應(yīng)該允許免費(fèi)停車多長(zhǎng)時(shí)間？（2）記，其中為樣本平均數(shù)，為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.如果該超市計(jì)劃對(duì)停車時(shí)長(zhǎng)超過(guò)的客戶征收更高的停車費(fèi)，求（精確到個(gè)位）.（注：假設(shè)頻率分布直方圖中每組數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）40分鐘（2）74【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求出，利用百分位數(shù)的概念求出第35百分位數(shù)得解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出，得解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的面積和等于1，則，解得，設(shè)第35百分位數(shù)為，則，解得，所以可以允許車輛免費(fèi)停車40分鐘不收費(fèi).【小問(wèn)2詳解】車輛平均停車時(shí)間為，，，所以.17.某商場(chǎng)舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：每次抽獎(jiǎng)時(shí)，從裝有2個(gè)白球和3個(gè)紅球（球除顏色外，完全相同）的抽獎(jiǎng)箱中，不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的2個(gè)球顏色相同則為中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)；商場(chǎng)根據(jù)購(gòu)物金額給予顧客一次或多次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)之間相互獨(dú)立.（1）若某顧客有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求其中獎(jiǎng)的概率；（2）若某顧客有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求其至少有一次中獎(jiǎng)的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用列舉法結(jié)合古典概型概率公式求解即可；（2）設(shè)在第次抽獎(jiǎng)時(shí)中獎(jiǎng)為事件，則由（1）可知，設(shè)兩次抽獎(jiǎng)至少有一次中獎(jiǎng)為事件，則,然后利用互斥事件和獨(dú)立事件概率公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)2個(gè)白球?yàn)椋?個(gè)紅球?yàn)椋瑒t不放回地依次摸出兩個(gè)球的情況有：,共有20種情況，其中摸出的2個(gè)球顏色相同的有：，共8種情況，所以某顧客有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，其中獎(jiǎng)的概率為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)在第次抽獎(jiǎng)時(shí)中獎(jiǎng)為事件，由于每次抽獎(jiǎng)的情況相同，由（1）可知，設(shè)兩次抽獎(jiǎng)至少有一次中獎(jiǎng)為事件，則,其中為互斥事件，則，因?yàn)槊看纬楠?jiǎng)之間相互獨(dú)立，所以,，，所以，即若某顧客有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，則至少有一次中獎(jiǎng)的概率為.18.如圖1，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)分別在線段上，且，沿將翻折到的位置，使得，如圖2.（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存