牛頓定律

教學基本要求

一.掌握牛頓三定律的基本內容及適用條件；二.掌握隔離體分析方法、應用微積分處理力學問題的方法；三.了解慣性力及非慣性系中的力學問題；1.動力學問題：重點是變力問題(較中學問題復雜；力是時間、位置、速度的函數)；2.受力分析：作受力圖；動力學問題解題步驟；3.微積分、矢量運算、坐標系的應用（微元的選取、較復雜的積分＝線積分；較復雜的矢量運算＝點乘、矢乘；自然坐標系）；4.兩類參照系(慣性、非慣性系)及慣性力問題；2.1牛頓定律2.1.1牛頓第一定律牛頓第一定律：任何物體只要沒有力改變其運動狀態，該物體便會永遠保持其靜止或勻速直線運動狀態。重要概念：慣性、力、慣性系、非慣性系；第一定律還可以表述為：任何物體只要其他物體作用于其合力為零，則該物體就保持靜止或勻速直線運動狀態不變。2.1.2牛頓第二定律牛頓第二定律(Newton’sSecondLaw)：物體所受到的合力等于其動量隨時間的變化率，表示為:

1.定律僅適用于質點，可近似為質點的物體近似成立；2.定律僅在慣性系成立,可近似取地面為慣性系；3.牛頓力學范疇內物體的運動速度遠小于光速；

c.力的疊加原理；a.瞬時關系；b.定律的研究對象是單個質點；

d.僅適用于慣性系；直角坐標系表示：(1)(2)自然坐標系表示：(3)(4)2.1.3牛頓第三定律牛頓第三定律：兩個物體間的作用力和反作用力，沿同一直線，且大小相等，方向相反，分別作用在兩個物體上。該定律可表示為：注意：作用力和反作用力總是同時產生，同時消失，且屬于同種性質的力，并分別作用于不同物體。例如作用力是彈性力，反作用力必定也是彈性力。3.彈性力壓力，張力，彈簧彈性力等；彈簧彈性力：

2.重力2.2幾種常見的力1.萬有引力圖2.4物體間的萬有引力一般情況：

靜摩擦力：

4.摩擦力滑動摩擦力：最大靜摩擦力：摩擦力應用:有利有蔽；其方向與物體相對滑動趨勢相反；

＊以距源處強相互作用的力強度為1力的種類相互作用的物體力的強度力程萬有引力一切質點無限遠弱力大多數粒子小于電磁力電荷無限遠強力核子、介子等＊5.自然界四種基本相互作用自然界四種力1.萬有引力2.電磁力3.強相互作用4.弱相互作用長程力短程力力的分類：經典力學電磁力（彈性力、摩擦力）萬有引力

例1：質量、長為的柔軟細繩，一端系著位于光滑水平桌面上質量為的物體，另一端加力,設繩長不變且質量均布，求：1.繩作用在物體上的力；2.繩上任意點的張力；x0解：分析：選桌面為慣性系，取一維直角坐標，物、繩共作加速運動設為；在點p、o分割，其間張力、及、為作用反作用力，作受力圖：01.求繩作用在物體上的力；對繩、物分別有：(1)此為繩作用于物上的力及物、繩共同的加速度；2.求繩上任意點的張力；繩長不變且質量均布：其密度確定！對任意質元有：得到：(2)0由受力圖得到：對(2)式積分得：(3)最后得到：(4)討論：1.繩中各點的張力是位置的函數；

2.例題2設質量的物體靜止于水平地面上如圖所示，拖車與地面間的滑動摩擦因數為。試問若拖車施力于物體時，該拉力與水平面的夾角多大才能使該物體獲得的加速度最大？解：選為研究對象并視為質點,其受重力，支持力，滑動摩擦力，拉力的作用如圖所示。選固定地面慣性系的直角坐標系，設物體的加速度為，由牛頓第二定律得聯立上述方程求解得：

由上式知：加速度隨夾角變化而變化。求極值得：當時獲得最大加速度。思考：時力沿軸的投影有最大值，但加速度不是最大值，請解釋該問題。

1.2.3牛頓定律的應用；2.2.4牛頓定律的應用范圍；3.第1章習題課；2.3牛頓定律的應用動力學問題分類：1.已知力、初始條件求質點運動；2.已知質點運動求質點受力；3.綜合問題；1.選取研究對象、受力分析、畫受力圖；2.在所選慣性系列定律矢量式；3.在所選坐標系列分量式；4.聯立方程求解；5.討論及小結；動力學問題解題步驟：例題1.細繩跨過定滑輪如圖所示，繩兩端懸掛兩物體，且.若滑輪質量不計，滑輪與轉軸之間摩擦也不計，試求重物釋放后其加速度及細繩張力.將上述裝置固定電梯頂部，當電梯以加速度相對地面上升時，試求兩物體相對電梯的加速度及細繩張力。解：分析（1）以地面為慣性系，為對象，分析受力畫受力圖，取一維直角坐標如圖，繩長不變加速度值相等，設為，由牛頓第二定律可解：選取坐標如圖，列第二定律標量式如下：(1)(2)(3)特點：加速度、繩的張力均為常量.（2）以地面為參考系設兩物體相對于地面的加速度分別為，相對電梯的加速度為，分析受力畫受力圖，選取坐標如圖，列第二定律標量式如下：(4)解得:(5)(6)討論：1.(5)

、(6)式比(2)

、(3)式更普遍；2.電梯向上或下運動時有；3.此時張力增大了!故勻速運動或靜止更安全；例題2以初速度豎直上拋質量的物體，設其所受空氣阻力，為常量，試求物體的速度和其上升高度隨時間的變化關系。解:分析選取質量的物體為研究對象，該物體受到空氣阻力、重力的作用，受力分析如圖所示，設固定于地面慣性系的軸垂直向上為正，并設物體的加速度為，由牛頓第二定律可解：整理上式得：上式兩邊同時積分，且時物體初速度為得到：(1)(2)(3)積分(2)式得到：由速度定義得，且帶入上式可得：兩邊積分得到：(5)(4)a.(3)式為豎直上拋物體的瞬時速度；b.(5)式為豎直上拋物體上升高度隨時間的變化關系；c.瞬時速度、上升高度是否有極值？討論：例題3長為的細繩一端系質量的小球，另一端固定于墻壁的點，開始時小球處于最低位置且具有初速度如下圖所示，小球將在豎直平面內作圓周運動，試求其在任意位置的速率及繩的張力。解：分析變力問題、圓周運動。選自然坐標，小球最低位置為坐標原點，球運動方向為坐標軸正向。取小球為研究對象，受力分析作受力圖，選定點為慣性系：(1)(2)(3)代入切向、法向加速度得：(4)變量替換：由(3)第二式、(4)得：(5)(6)(5)式積分得：討論：小球作變速率圓周運動，且為周期運動，機械能守恒。速率有極大、小值，小球在最低點張力有極大值，此刻繩最易斷開；再代入(3)第一式得：(7)例題4質量為的三棱柱置于光滑桌面上，另一質量為的物體放在斜面上如下圖所示，與間無摩擦，試求：(1)相對地面的加速度；(2)相對于的加速度。解：選擇地面慣性系，取為研究對象。則受重力，正壓力和地面支持力作用.受重力、給予支持力的作用.選取如下圖所示固定于地面上的坐標系，設相對于地面的加速度分別為、，相對于